- •Математическое моделирование (Катанов Юрий Евгеньевич) Лабораторная работа №1.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №2.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №3.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №4.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №5.
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №6.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №7.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №8.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №9.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
- •Лабораторная работа №10.
- •Варианты заданий:
- •Варианты заданий:
Варианты заданий:
1 вариант |
, , , , . |
2 вариант |
, , , , . |
3 вариант |
, , , , . |
4 вариант |
, , , , . |
5 вариант |
, , ,, . |
6 вариант |
, , , , . |
7 вариант |
, , , , . |
8 вариант |
, , , , . |
9 вариант |
, , , , . |
10 вариант |
, , , , . |
11 вариант |
, , , , . |
12 вариант |
, , , , . |
13 вариант |
, , , , . |
14 вариант |
, , , , . |
15 вариант |
, , , , . |
Задача 3: Определить равновесный размер популяции, если на особей в единицу времени, особей рождается, а гибнет . Предполагается при этом, что начальная численность популяции равна особям. Построить график логистической кривой.
Решение: Определим величины , , , , . Тогда согласно модели Мальтуса , найдем соответствующие составляющие, при этом разделим переменные и проинтегрируем: .
Работаем с правой частью последнего равенства:
.
Подставляя в последнее равенство: , ,
, .
, .
Чтобы не путать с рождаемостью, обозначим параметр , стоящий под степенью экспоненты как , являющийся характеристикой пропорциональности роста численности популяции. Для его нахождения, используем тот же подход, что и в задачи 1.
а) если , , .
б) если , , .
.
, поэтому используем формулу .
Варианты заданий:
1 вариант |
, , , , . |
2 вариант |
, , , , . |
3 вариант |
, , , , . |
4 вариант |
, , , , . |
5 вариант |
, , , , . |
6 вариант |
, , , , . |
7 вариант |
, , , , . |
8 вариант |
, , , , . |
9 вариант |
, , , , . |
10 вариант |
, , , , . |
11 вариант |
, , , , . |
12 вариант |
, , , , . |
13 вариант |
, , , , . |
14 вариант |
, , , , . |
15 вариант |
, , , , . |
Лабораторная работа №9.
Цель: математические модели прикладных задач (растворение веществ)
Задача 1: Нерастворимое вещество, содержащее в своих порах кг соли, подвергается действию л воды. Через время , кг соли растворяется. Через сколько времени растворится первоначальной массы соли, если концентрация насыщенного раствора равна .
Решение: Пусть - масса нерастворенной соли в момент времени . Процесс растворения веществ описывается уравнением:
, (9.1)
где - коэффициент пропорциональности; - первоначальная масса соли.
Тогда для примерных расчетных данных: , , , , , , , .
Величина , получилась из тех соображений, что изначально нерастворимое вещество содержало 2кг соли, а поскольку необходимо определить время растворения 99 % первоначальной массы соли, то на оставшийся 1 % нерастворенной соли останется как раз .
Подставляя в (9.1) примерные данные, находим:
, , , .
Разделим переменные и проинтегрируем последнее равенство:
.
Левую часть равенства получим с помощью метода неопределенных коэффициентов: , . Поскольку знаменатели равны, приравняем и числители: .
Раскроем скобки в последнем равенстве, сгруппируем коэффициенты при соответствующих степенях переменной и приравняем данные сгруппированные коэффициенты в правой части к степеням в левой части равенства: , , .
Подставляя в исходное равенство найденные коэффициенты:
. Интегрируя до конца (7.5), получаем
, , ,
, , . (*)
Используя начальные условия, находим неизвестные величины, используя равенство (*):
, , .
, , , , , .
Итоговый вид уравнения (*) следующий:
.
Теперь подставляя вместо величину , находим итоговое время для растворения 99 % первоначальной массы соли:
, , , .