- •Донецкий университет экономики и права
- •Экономико-математические методы и модели: оптимизационные методы и модели
- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1 концептуальные аспекты математического моделирования экономики
- •1.1. Понятие модели. Классификация моделей
- •Тема 2 оптимизационные экономико-математические модели
- •2.1. Понятие оптимизационной модели
- •2.2. Примеры постановки оптимизационных задач
- •Вопросы для самоконтроля по темам 1, 2
- •Вопросы для самостоятельного изучения по темам 1, 2
- •Тема 3 задачи линейного программирования и методы их решения
- •3.1. Графический метод решения задач линейного программирования
- •3.2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •3.3. Метод искусственного базиса
- •3.4. Специальные случаи решения задач линейного программирования
- •Вопросы для самоконтроля по теме 3
- •Тема 4 теория двойственности и анализ линейных моделей оптимизационных задач
- •4.1. Понятие и экономический смысл двойственной задачи
- •4.2. Двойственный симплекс-метод
- •Вопросы для самоконтроля по теме 4
- •Вопросы для самостоятельного изучения по теме 4
- •Тема 5 целочисленное программирование
- •5.1. Понятие задачи целочисленного программирования
- •5.2. Метод отсекающих плоскостей (Гомори)
- •Вопросы для самоконтроля по теме 5
- •Вопросы для самостоятельного изучения по теме 5
- •Тема 6 нелинейное программирование
- •Вопросы для самостоятельного изучения по теме 6
- •Задания для индивидуальной работы студента
- •Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Питання до екзамену
- •Литература
- •Відповідальний за випуск: завідувач кафедри вищої математики та інформаційних технологій к.Ф-м.Н., доцент л.М. Харламова
- •83048, М. Донецьк, вул. Університетська, 77
Вопросы для самоконтроля по теме 5
-
Какая задача называется целочисленной?
-
Что такое линейно-ослабленная задача?
-
Как связано решение целочисленной задачи с решением линейно-ослабленной задачи?
-
Какие существуют подходы к решению задач целочисленного программирования?
-
Назовите алгоритм метода отсекающих плоскостей (Гомори)?
-
Как построить отсечение?
-
Какими свойствами обладает отсечение?
Вопросы для самостоятельного изучения по теме 5
-
В чем суть метода ветвей и границ?
-
Алгоритм метода ветвей и границ.
Тема 6 нелинейное программирование
Изучить материал по теме изложенный в курсе лекций по данной дисциплине и составьте конспект лекций по следующим вопросам.
Вопросы для самостоятельного изучения по теме 6
-
Что называется классической задачей математического программирования?
-
Что называется задачей нелинейного программирования?
-
Назовите основные трудности, решения задач классического и нелинейного программирования?
-
Назовите методы решения задач нелинейного программирования.
-
В чем суть метода множителей Лагранжа?
-
Как составить функцию Лагранжа?
-
Как определить характер экстремума функции Лагранжа?
-
Какую интерпретацию имеют множители Лагранжа?
-
В чем суть обобщенного метода множителей Лагранжа?
Задания для индивидуальной работы студента
Индивидуальные работы выполняются по вариантам. Вариант определяется по последней цифре номера зачетной книжки или указывается преподавателем.
Задание 1
Составить математическую модель задачи линейного программирования.
Вариант № 1
Плановые фонды продуктов и нормативы их затрат на приготовление ста блюд четырёх видов, а также получаемая от их продажи прибыль представлены в таблице.
Продукты |
Нормы затрат продуктов на изготовление 100 блюд |
Плановый фонд продуктов |
|||
1 вид |
2 вид |
3 вид |
4 вид |
||
Мясо, кг |
6 |
9 |
|
|
3800 |
Рыба, кг |
3 |
|
4 |
|
4200 |
Молоко, л |
5 |
|
|
20 |
5100 |
Макаронные изделия, кг |
2 |
3 |
2 |
4 |
2300 |
Овощи, кг |
4 |
5 |
3 |
|
6700 |
Прибыль от продажи 100 блюд, ден. ед |
200 |
100 |
300 |
150 |
|
Определить такую структуру приготовления блюд, которая обеспечит максимальную прибыль.
Вариант № 2
Завод выпускает два вида продукции, используя при этом 4 вида сырьевых ресурсов. Нормы затрат сырья, его запасы, а также доход от выпуска единицы продукции приведены в таблице.
Виды сырья |
Нормы затрат на единицу продукции |
Запасы сырья, кг |
|
1-го вида |
2-го вида |
||
1 |
0,3 |
0,4 |
165 |
2 |
0,6 |
0,4 |
240 |
3 |
0,8 |
0 |
280 |
4 |
0 |
0,1 |
35 |
Доход от единицы продукции, грн |
6 |
5 |
|
Определить такой план выпуска продукции, при котором будет достигнут максимальный доход.
Вариант № 3
Для производства столов, шкафов и тумбочек мебельная фабрика использует ресурсы древесины двух видов. Нормы затрат этих ресурсов, их общее количество, а также доход от реализации одного изделия приведены в таблице.
Ресурсы древесины |
Нормы затрат ресурсов на одно изделия, м3/изд. |
Общее количество ресурсов, м3 |
||
стол |
шкаф |
тумбочка |
||
1 вида |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
50 |
2 вида |
0,1 |
0,4 |
0,2 |
80 |
Доход от реализации одного изделия, грн/изд. |
50 |
80 |
30 |
|
Определить, сколько столов, шкафов и тумбочек должна изготовить фабрика, чтобы обеспечить себе наибольший доход.
Вариант № 4
Составить оптимальный план (минимум капитальных затрат) застройки микрорайона города жилыми домами трёх различных типов. Наличие квартир и их стоимость приведены в таблице.
Тип дома |
Наличие квартир |
Стоимость дома, тыс. грн. |
||
на 2 человека |
на 3 человека |
на 4 человека |
||
1 тип |
50 |
50 |
60 |
804 |
2 тип |
30 |
100 |
50 |
832 |
3 тип |
120 |
60 |
40 |
602 |
Требуемое количество квартир, шт. |
750 |
1700 |
450 |
|
Вариант № 5
Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. В таблице приведено количество вагонов разных типов, из которых ежедневно можно комплектовать поезда и количество пассажиров, на которое рассчитаны вагоны. Определить оптимальное число скорых и пассажирских поездов, при котором количество перевозимых пассажиров будет максимальным.
Вагон |
Парк вагонов |
Потяг |
Число пассажиров |
|
Скорый |
Пассажирский |
|||
Багажный |
12 |
1 |
1 |
- |
Почтовый |
18 |
1 |
- |
- |
Жесткий |
89 |
5 |
8 |
58 |
Купейный |
79 |
6 |
4 |
40 |
Мягкий |
35 |
4 |
2 |
32 |
Вариант № 6
Необходимо оптимальным образом распределить общую площадь посева под различные культуры, если известны общий объём производительных ресурсов, нормы их затрат на 1 га, а также урожайность каждой культуры и её цена представлены в таблице.
Виды ресурсов |
Нормы затрат на 1 га |
Объёмы ресурсов |
||
І |
ІІ |
ІІІ |
||
Механизированный труд, ч/га |
1,5 |
1,4 |
5 |
8000 |
Ручной труд, ч/га |
2,5 |
2,2 |
18 |
9000 |
Цена продукции, грн/ц |
10 |
8 |
5 |
|
Урожайность, ц/га |
20 |
22 |
110 |
|
Вариант № 7
На трёх типах технологического оборудования предприятие может производить пять видов изделий для каждого из которых задано минимально необходимое количество их выпуска. Затраты времени на единицу продукции, фонд времени по группам оборудования, а также прибыль от выпуска одного изделия приведены в таблице. Определить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли.
Тип оборудования |
Нормы затрат времени на 1 изделие, ч/изд. |
Фонд времени, ч |
||||
І |
ІІ |
ІІІ |
IV |
V |
||
1 2 3 |
4 2 1 |
3 1 3 |
5 3 6 |
1 6 2 |
4 2 1 |
2000 2500 1800 |
Минимальный план выпуска продукции |
70 |
200 |
80 |
30 |
100 |
|
Прибыль от продажи 1 изделия, грн/шт |
7 |
6 |
4 |
3 |
5 |
|
Вариант № 8
Процесс изготовления кожаных брюк, курток и пальто предусматривает прохождение изделий через дубильный, раскройный и пошивочный цехи. Фонд времени работы каждого из них составляет соответственно 1340, 1280 и 11520 часов. Нормы времени обработки изделий в каждом из цехов, а также прибыль получаемая предприятием от выпуска единицы продукции приведены в таблице.
Участки |
Нормы затрат времени на единицу продукции, ч/изд. |
||
|
брюки |
куртка |
пальто |
Дубильный |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
Раскройный |
0,7 |
0,5 |
0,9 |
Пошивочный |
0,8 |
0,7 |
0,9 |
Прибыль от единицы продукции, грн/изд. |
24 |
20 |
36 |
Составить план выпуска изделий, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль.
Вариант № 9
Для откорма животных используются три продукта П1, П2, П3, содержащие белок, кальций, витамины. Содержание этих питательных веществ в продуктах откорма, цены на продукты и минимально потребляемое количество питательных веществ представлены в таблице.
Продукт |
Содержание питательных веществ в 1 кг продукта, г/кг |
Цена продукта, грн/кг |
||
белок |
кальций |
витамины |
||
П1 |
100 |
12 |
4 |
3 |
П2 |
40 |
8 |
2 |
2 |
П3 |
360 |
6 |
2 |
5 |
Минимальный объём питательных веществ |
3000 |
180 |
60 |
|
Определить оптимальный рацион кормления из условия минимальной стоимости.
Вариант № 10
В студенческой столовой для изготовления бутербродов трёх видов используются четыре вида ресурсов, общие объёмы которых и нормы расхода указаны в таблице. Известна также прибыль, получаемая столовой от реализации одной партии бутербродов каждого вида.
Ресурсы |
Нормы расхода ресурсов на одну партию бутербродов, кг/парт. |
Имеющийся объём, кг |
||
1 вида |
2 вида |
3 вида |
||
1 вид |
4 |
3 |
1 |
42 |
2 вид |
2 |
5 |
4 |
56 |
3 вид |
3 |
6 |
2 |
38 |
4 вид |
5 |
7 |
3 |
40 |
Прибыль от реализации одной партии бутербродов, грн |
5 |
7 |
8 |
|
Запланировать выпуск партии бутербродов в таких количествах, чтобы общая прибыль столовой была максимальной. При этом необходимо учесть, что бутербродов первого вида необходимо подготовить не менее 4 партий.