Свойства определителей

1. Определитель линеен по всем строкам (столбцам):

, где и т. д. — строчки матрицы,  — определитель такой матрицы.

2. При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

3. Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

4. Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

5. Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

6. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя (строки или столбца) можно вынести за знак определителя.

7. Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

Расчет определителей

Непосредственный расчет определителя на основании его определения (как суммы по перестановкам, или с использованием рекурсивного разложения Лапласа по определителям меньшего порядка) затрачивает слишком много операций. Например, при использовании перестановок, не рассматривая генерации самих перестановок на формирование каждого слагаемого уходит (n-1) умножение. Поскольку всего таких перестановок n!, то общее число умножений равно (n-1)n!. Отсюда случает, что данный алгоритм имеет экспоненциальную сложность и для матриц высокого порядка не подходит.

Расчет определителя можно выполнять более эффективно, с использованием алгоритмов, имеющих полиномиальную сложность, которые будут рассмотрены далее.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие существуют два способа задания определителей ой вид уравнений называют линейным ?

2. Как формулируется рекурсивное задание определителя ?

3. Как формулируется задание определителя при помощи перестановок?

4. Всегда ли останется неизменным определитель квадратной матрицы, если:

а) к ее первой строке прибавить все остальные,

б) прибавить все коэффициенты первой строки к первому коэффициенту второй,

в) вычесть из первой строки вторую и третью,

г) циклически переставить местами первый, второй и третий столбцы (13,32,21) ?

Практические задания.

1. Рассчитать определители второго порядка:

а) б) в)

2. Рассчитать определители третьего порядка:

а) б) в)

4.4. Необходимо и достаточное условие существования решения системы линейных уравнений. Методы решения

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей вида:

AХ =В (4.12)

Теоретически необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы (4.12) является условие:

det(A)0. (4.13)

Если det(A)=0, то матрица А называется вырожденной, а система линейных уравнений либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество. При выполнении практических расчетов на ЭВМ из-за округления результатов вычислений точное равенство определителя, как правило, не выполняется. Поэтому вместо условия (4.12) необходимо использовать условие вида:

det(A)   >0, (4.14)

в котором  > 0 - малое число, учитывающее возможные погрешности вычислений.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений делятся на две большие группы – прямые (точные) и итерационные.

Прямые методы используют либо определенные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных либо алгоритмы, в которых точно определены все действия. При этом решение получается после выполнения заранее известного количества арифметических операций. Эти методы сравнительно просты и наиболее универсальны, т.е. пригодны для решения широкого класса систем линейных уравнений. В тоже время прямые методы имеют и ряд недостатков. Как правило, они требуют хранения в оперативной памяти сразу всей матрицы, и при больших значениях n расходуется много места в памяти компьютера. Кроме этого более существенным недостатком прямых методов является накапливание погрешностей в процессе решения, поскольку вычисления на любом этапе используют результаты предыдущих операций. Второе название прямых методов - точные выражает тот факт, что решение выражается в виде точных формул через коэффициенты системы. Однако идеальное точное решение может быть получено лишь при точном выполнении вычислений (и, разумеется, при точных коэффициентах системы). На практике же при использовании компьютеров вычисления проводятся с погрешностями. Поэтому неизбежны погрешности и в окончательных результатах, вызванные погрешностями вычислений (например, погрешностью округления).

Итерационные методы позволяют определить искомое решение системы путем выполнения последовательных приближений. Для начала вычислений необходимо задать некоторое приближенное решение – начальное приближение, после чего с помощью заданного алгоритма проводится один цикл вычислений, называемый итерацией. В результате итерации находят новое приближение. Итерации проводят до тех пор, пока не будет получено решение с заданной точностью. Важное достоинство итерационных методов состоит в том, что погрешности окончательных результатов не накапливаются, поскольку точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации и практически не зависит от ранее выполненных вычислений.

Вопросы для проверки знаний.

1. Как формулируется теоретический вариант необходимого и достаточного условия существования единственного решения линейной системы ?

2. Как формулируется практическое необходимое и достаточное условие существования единственного решения линейной системы ?

3. На какие два группы делятся методы решения линейных систем ?

4. В чем заключаются преимущества и недостатки прямых методов решения линейных систем ?

5. В чем заключаются преимущества и недостатки итрационных методов решения линейных систем ?