4.2. Системы линейных уравнений. Основные понятия

Системой m линейных уравнений с n неизвестными (или линейной системой) в линейной алгебре называют систему m линейных уравнений канонического вида с n неизвестными вида

(4.6)

В (4.6) x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, a₁₁, a₁₂, …, a_mn — постоянные линейные коэффициенты системы (задающие матрицу системы), b₁, b₂, … b_m — свободные члены (задающие вектор свободных коэффициентов). Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Систему (4.6) называются однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (4.6) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных. Число n= m называют порядком системы.

Решение системы (4.6) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (4.6) обращает все её уравнения в тождества. Найти решение системы означает выяснить, существует ли у системы решения, и если они существуют, найти их.

Система (4.6) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Совместная система вида (4.6) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (4.6) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (4.6) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

В технических приложениях, как правило, рассматриваются системы с квадратными матрицами (m = n). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только этот случай.

Множество коэффициентов (a_ij) квадратной системы образуют ее матрицу А, а множество коэффициентов (b_i) – вектор В свободных коэффициентов системы. Обозначив вектор (x₁, x₂, …, x_n) неизвестных черезХ, в векторном виде систему представляют в виде:

AХ =В. (4.7)

Вопросы для проверки знаний.

1. Какие системы линейных уравнений называют однородными, а какие – неоднородными ?

2. Какие системы линейных уравнений называют квадратными ?

3. Что называют решением системы линейных уравнений ?

4. Какие системы линейных уравнений называют определённой, неопределённой и переопределёнными ?

5. Как системы линейных уравнений представляют в векторной форме ?

4.3. Определители (детерминанты) квадратных матриц

Главной характеристикой квадратной матрицы является определитель (детерминант) - численная характеристика матрицы, которая может быть определена двумя способами - 1) либо рекурсивно по порядку матрицы n либо 2) при помощи перестановок. Обозначается определитель матрицы А как (А) либо det(A).

Рекурсивное определение определителя матрицы А по ее порядку n.

n=1. Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

(4.8а)

n2. Для матриц второго порядка и выше детерминант задаётся рекурсивно формулой, которая называется разложением определителя по первой строке:

,    (4.8б)

где  — дополнительный минор к элементу a_1j. - определитель матрицы порядка (n-1), которая получается из А вычеркиванием в ней первой строки и столбца с номером j .

Определение определителя при помощи перестановок. Для квадратной матрицы А порядка n справедлива формула:

, (4.9)

где α₁,α₂,...,α_n — перестановка чисел от 1 до n, N(α₁,α₂,...,α_n) — число инверсий (нарушений порядка) в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Поскольку общее их число равно n!, то в сумму (4.9) войдут n! слагаемых, которые называют членами определителя.

Используя рекурсивное определение, найдем расчетные формулы для определителей матриц порядков n=2 и n=3.

(4.10)

(4.11)

Примеры 1. Расчет определителей: