2.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №2

Приклад 2.2.1 Розв’язати рівняння `

(2.8)

Розв’язок: Розв’язавши це рівняння відносно будемо мати

або , , звідки ,

Приклад 2.2.2 Розв’язати рівняння

(2.9)

та знайти особливий розв’язок.

Розв’язок: Вводимо параметр ,

(2.10)

Беремо повний диференціал від обох частин рівності (2.10) та замінюємо на :

або

Розв’язуємо отримане рівняння

(2.11)

а) Якщо , то скорочуємо на : , .

Підставляючи це в (2.10), отримаємо розв’язок у параметричній формі

, (2.12)

В даному випадку розв’язок можна знайти в явному вигляді, виключаючи параметр з рівнянь (2.12)

(2.13)

б) Нехай в (2.11) . Підставляючи в (2.10) отримаємо розв’язок . Знайдемо особливі розв’язки рівняння (2.9). Знайдемо похідну від обох його частин по :

(2.14)

Виключимо з рівнянь (2.9), (2.14). З (2.14) маємо , підставляючи це в (2.9) отримаємо рівняння дискримінантної кривої

(2.15)

Перевіримо, чи буде вона особливим розв’язком. Спочатку перевіряємо, чи є вона розв’язком рівняння (2.9). Підставляючи (2.15) в (2.9) отримаємо тотожність, тобто крива (2.15) - розв’язок.

Далі перевіримо, чи є цей розв’язок особовим, тобто чи дотикаються до нього в кожній точці інші розв’язки. Інші розв’язки описуються рівнянням (2.13). Запишемо умови дотику кривих и в точці з абсцисою :

, (2.16)

Для розв’язків (2.13) та (2.15) ці умови набувають вигляду

,

З другої рівності маємо , підставляючи це в першу рівність, отримаємо . Ця рівність виконується при будь-яких . Значить, при кожному розв’язок в точці дотикається до однієї з кривих сімейства (2.13), а саме до тієї кривої, для якої .

Таким чином, в кожній точці розв’язок дотикається до іншого розв’язку (2.13), який з ним не співпадає. Тому, розв’язок - особливий.

Приклад 2.2.3 Розв’язати рівняння Лагранжа

(2.17)

Розв’язок: Покладемо . Тоді . Диференціюючи, знаходимо . Звідки , або . Отримали рівняння першого порядку, лінійне по . Розв’язуючи його, знаходимо . Підставляючи знайдене значення в вираз для , отримаємо

,

Приклад 2.2.4 Розв’язати рівняння Клеро

, (2.18)

Розв’язок: Покладаючи в (2.18) , отримаємо

(2.19)

Диференціюючи, знаходимо , звідки . Дослідимо обидва множника:

1 . Загальний розв’язок

2

Виключаючи з цього рівняння, та з рівняння (2.19), отримаємо . Це також розв’язок рівняння (2.18). Окрім того він є особливим розв’язком.

3 Рекомендована література

3.1 Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1970.- 280 с.

3.2 Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970.- 332 с.

3.3 Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1958.- 468 с.

3.4 Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- Минск: Вышейш. шк., 1987.- 320 с.

3.5 Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: «Высшая школа», 1967.- 312 с.

3.6 Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1985.- 128 с.