1.7 Приклади виконання задач самостійної роботи №1

Приклад 1.7.1 За допомогою ізоклін побудувати інтегральні криві рівняння

Розв’язок: Покладемо , отримаємо рівняння сімейства ізоклін .

Таким чином, ізоклінами є прямі, які проходять через початок координат. При отримаємо ізокліну , при - ізокліну , при = ізокліну . Розглядаючи перевернуте рівняння знайдемо ізокліну , у всіх точках якої інтегральні криві мають вертикальні дотичні. За допомогою отриманих ізоклін будуємо інтегральні криві, як на рис.1.

Рисунок 1.1 – Наближений графік розв’язку рівняння

Приклад 1.7.2 Розв’язати рівняння

(1.17)

Розв’язок: Перетворимо рівняння (1.17) до вигляду

=>

Ділимо обидві частини рівняння на . Отримаємо

Змінні розділені. Інтегруємо обидві частини

=>

При діленні на могли бути втрачені розв’язки і . Перевіркою з’ясовуємо, що - є розв’язком рівняння (1.17), а -ні.

Приклад 1.7.3 Знайти розв’язок рівняння

, (1.18)

який задовольняє початковій умові

(1.19)

Розв’язок: Маємо . Інтегруючи останнє рівняння, отримуємо

(1.20)

Вважаючи в (1.20) , будемо мати . Підставляючи С в (1.20), отримаємо або .

Приклад 1.7.4 Знайти розв’язок задачі Коші

, (1.21)

Розв’язок: Приведемо рівняння до вигляду та зробимо заміну змінних . Тоді , і рівняння набуває вигляду .

Розділяємо змінні та інтегруємо => => .

Повертаємось до старої змінної , - загальний розв’язок рівняння (1.21).

Знайдемо розв’язок в точці , : . Отже, частинний розв’язок має вигляд .

Приклад 1.7.5 Розв’язати рівняння

(1.22)

Розв’язок: Функції , мають другий ступень, тому рівняння однорідне. Покладемо . Тоді . Підставляючи в (1.22), отримаємо => .

Розділяємо змінні та інтегруємо => =>

Повертаючись до старої змінної, отримаємо загальний інтеграл рівняння .

Окрім того, маємо розв’язок , який було втрачено при діленні на .

Приклад 1.7.6 Розв’язати рівняння

(1.23)

Розв’язок: Знайдемо точку перетину прямих

,

Зробимо заміну змінних . Рівняння (1.23) набуде вигляду

(1.24)

Рівняння (1.24) є однорідним. Покладемо . Отримаємо . Звідки . Розділимо змінні . Інтегруючи, знаходимо , .

Повертаємось до змінних :

, або

Приклад 1.7.7 Розв’язати рівняння

(1.25)

Розв’язок: Зробимо підстановку , . Підставимо в (1.25)

або .

Рівняння буде однорідним, якщо ступені усіх доданків однакові . Звідки , . Отже, маємо і рівняння (1.25) набуває вигляду , яке є однорідним. Покладемо . Тоді , або .

Розділюючи змінні, отримуємо або .

Повертаючись до старих змінних, отримуємо загальний інтеграл рівняння (1.25)

Приклад 1.7.8 Розв’язати рівняння

, (1.26)

Розв’язок: Зробимо заміну змінних .

Рівняння (1.26) набуде вигляду , або

(1.27)

Рівняння (1.27) – лінійне неоднорідне. Відкидаючи праву частину, розв’язуємо лінійне однорідне рівняння

(1.28)

Розділимо змінні . Інтегруючи, отримуємо => =>

Вважаючи функцією, залежною від , застосовуємо метод варіації довільної сталої.

(1.29)

(1.30)

Підставимо (1.29), (1.30) у рівняння (1.26)

=> => .

Звідки

Підставимо в рівняння (1.29) та одержимо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (1.27). Повернемося до змінної

.

Приклад 1.7.9 Розв’язати рівняння 21ік каті

(1.31)

Розв’язок: Знайдемо частинний розв’язок рівняння 21ік каті і зробимо заміну змінних

(1.32)

Підставимо (1.32) в рівняння (1.31)

, або

(1.33)

Одержали рівняння Бернуллі з . Зробимо заміну

або

Знайдемо розв’язок лінійного неоднорідного рівняння.

,

=>

(1.34)

Застосуємо метод варіації довільної сталої

(1.35)

Підставимо і в лінійне неоднорідне рівняння

Інтегруючи, одержимо

(1.36)

Підставляючи (2.36) в рівняння (1.35) одержимо загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння

(1.37)

Послідовно повертаємось до змінних та

,

.

Приклад 1.7.10 Знайти загальний розв’язок рівняння

(1.38)

Розв’язок: , . Перевіримо виконання умови : , . Умова виконується. Знаходимо загальний розв’язок рівняння (1.38)

Приклад 1.7.11 Знайти загальний розв’язок рівняння

(1.39)

Розв’язок: , . Перевіримо виконання умови : , . Умова не виконується. Підберемо інтегруючий множник, так щоб виконалася умова , або . Звідки

(1.40)

Припустимо, що і рівняння (1.39) набуває вигляду

.

Рівняння є рівнянням в повних диференціалах. Його ліву частину можна звести до вигляду . Звідки і загальний інтеграл даного рівняння є .