2.5. Випадкові сигнали та завади. Основні поняття.

Сигнал є детермінованим, тобто таким, що може бути описаний функцією, лише в області джерела інформації. На приймальному кінці сигнал наперед не заданий, а його замішування з шумом взагалі робить його випадковим. Одна із задач теорії імовірності вказати, для випадкових сигналів, залежності, які не є випадковими! Це дозволяє встановити методи математичного аналізу випадкових величин, відповісти на питання: яка імовірність того чи іншого прийнятого сигналу? Створити апарат визначення, рішення про те який сигнал прийнято: 0 чи 1, при передачі інформації двійковим кодом.

Для забезпечення надійної передачі інформації її передають багато раз в одних і тих же умовах. Оскільки інформація кожен раз інша, отримуємо масив даних, який необхідно аналізувати статистичними методами.

Усі випадкові явища в теорії імовірності діляться:

• випадкові події;

• випадкові величини;

• випадкові процеси.

Тому для визначення способу розв‘язку задачі необхідно вказати:

1. до якого типу випадкових явищ віднести сигнал.

2. визначити необхідну сукупність статистичних характеристик, що описують дане явище.

Випадкові події полягають в можлиості реалізації даної події або її відсутність.

Приклади: передача інформації без помилок. Робота каналу без пошкодження на протязі не менше часу спостереження.

Випадкові події, як правило позначаються великими буквами: А, В, С і т.д. Числовою характеристикою події є частота появи та імовірність події. Якщо «n» спроб дали «m» позитивних результатів то:

- частота появи події.

Імовірність формула Бернуллі. Вивчалась в теорії ймовірності.

В більшості випадків на практиці рахують, що коли загальний об’єм спроб то частота надзвичайно близько до значення імовірності події .

Для характеристики залежних випадкових подій А і В вводиться умовна імовірність Р(А/В), що означає ймовірність події А коли В за відомо реалізувалась .

Випадкові величини - це величини, значення яких можуть змінюватись від спроби до спроби.

Приклади: кількість помилок в тексті;

число зайнятих каналів в багатоканальному зв'язку;

потужність сигналу на виході лінії зв'язку в даний момент часу, і т.п.

Випадкові величини, як правило, позначаються кінцевими великими буквами латинського алфавіту X, У, Z, а конкретна реалізація, значення, що вони набули у випадку дискретних значень.

Для неперервних значень сигналу використовують x, y, z та інтервал їх зміни. Аргументом випадкової функції в ТЕЗ являється час. Для незмінних умов досліду величина Х(t) може приймати довільні значення

Сукупність усіх можливих реалізацій даної випадкової функції називається ансамблем.

Ансамбль - це конкретна, повна сукупність, і не являється випадковою. Нехай Х(t) - випадковий процес. Тоді вводиться одномірна функція розподілу, або інтегральний закон розподілу як імовірність того, що випадкова величина не перевищить задане значення .

(1)

Частинна похідна від інтегральної функції розподілу

(2)

дає одномірну густину ймовірності процесу для моменту часу .

Функція розподілу має властивості:

1. 

2. 

Ця функція не спадна і має характерний графік.

Функція - безрозмірна еличина, бо безрозмірна ймовірність (частота) появи події.

Графік густини ймовірності - як правило дзвіноподібний бо , для малих «»

та для великих «».

причому - бо учасники горизонтальних прямих ліній F дають нульову похідну.

Фізичний зміст густини ймовірності наступний: це ймовірність попадання випадкового значення x в інтервал . На графіку це відношення відпоідних площ

Зрозуміло, що

(3)

Математичне сподівання, (середнє значення) обчислюється за формулою

p(x,t)- густина ймовірності, - імовірність значення «», в момент часу t.

За фізичною природою M(X,t) - це середнє арифметичне значення випадкової величини в момент t (t - довільна величина, поточний час).

Наприклад: якщо випадкова величина Х це напруга - чи величина струму, то M(X) - має зміст їх постійної складової. [M(X,t)] - розмірність співпадає з розмірністю випадкової величини.

Випадкові процеси.

Випадковим процесом X(t)- називають функцію, значення якої при довільному значенні аргументу «t» є випадковим.

Прикладом випадкових процесів є спостереження миттєвого значення струму чи опору мікрофону при розмові в будь-які моменти часу,

Якщо в одних і тих же умовах спостерігати зміну випадкової величини, то ми будемо мати весь час різні часові залежності. Сукупність - набору усіх можливих варіантів функцій називається ансамблем!!!

Сукупність усіх можливих варіантів функцій не є випадковою, вона повністю детермінована.

Звернемо увагу, що навіть визначена функція, в якої якийсь аргумент є випадковим, описує випадковий процес, конкретну реалізацію. Випадкові процеси є стаціонарними в широкому змісті коли характеризуються конкретними функціями розподілу. Нестаціонарні - якщо функція розподілу, і, відповідно, моменти випадкової величини залежить від часу.

Наприклад математичне сподівання, дисперсія:

залежать від часу.

Квазістаціонарні процеси – це процеси, в яких функція розподілу слабо змінюється з часом. І на даному відрізку часу спостереження можна прийняти її певною, визначеною, а процес рахувати, як майже стаціонарним.

В теорії електрозв'язку, розглядаються здебільшого стаціонарні в широкому змісті, випадкові процеси. Якщо розглянути певну реалізацію випадкового процесу на дуже довгому відрізку часу, то можна встановити його функцію розподілу, розрахувати перші моменти М(х),D(x) т.д.

Цю ж процедуру можна зробити з допомогою ансамблю, який описує випадковий процес.

Так от, процес називають ергодичним тоді, коли усереднення по часу однієї реалізації співпадає з усередненням по ансамблю функцій в довільний момент часу. Тобто, коли виконується співідношення:

=

=

Стаціонарні процеси в вузькому змісті, описуються «n» - мірними функціями розподілу,

Довільний канал зв'язку характеризується великим числом параметрів , що випадковим чином змінюється в часі. Система змінюється в часі і описується рухом точки в фазовому просторі

І

Якщо спроектувати на вісь значення параметрів в деякі моменти часу то у нас появиться різна густина точок на осі, як зображено на рисунку.

Можна ввести поняття функції розподілу параметрів X:

- яка пропорційна густині точок в фазовому просторі і задає ймовірність попадання значень в певні точки .

,

причому функція розподілу залежить не від певного, поточного моменту часу , а тільки від різниці часів, від інтервалів часу: наприклад: Це означає, що щільність розподілу не залежить від початку відліку часу.

Отже, в широкому змісті стаціонарні процеси описуються незалежними від часу функціями розподілу по ансамблю. Від часу не залежать ні М(х) ні D(x) іт. д., тобто жодна числова характеристика процесу.

Зміст ергодичних процесів:

Можна аналізувати середнє значення струму на одному номері телефонної станції довгий час. Вимірювання дадуть певне значення струму. Можна також об'єднати багато станцій і виміряти струм в деякий довільний момент часу. Якщо процес ергодичний, то струм отриманий обома способами співпаде по величині. Отже щоб не досліджувати випадкову величину при конкретній реалізації надто довго, простіше провести усереднення по ансамблю систем, і навпаки, якщо ансамбль реалізувати важко - то досить розглядати одну реалізацію дуже довго.

Випадкові процеси можуть бути залежними і не залежними.

Випадкові процеси називають незалежними , якщо n - мірна функція розподілу може бути представлена добутком одномірних:

В противному випадку процеси будуть залежними.

Величину зв'язку описують кореляційною функцією:

=

Функцією взаємної кореляції Х(t) та Y(t) процесів називають величину, що описується співвідношенням

=

- коефіцієнти кореляції.

Відмітимо, що для незалежних процесів:

*.

Для стаціонарних процесів функція розподілу залежить лише від різниці часів, і для них, для більшості випадків, реалізується ергодична теорія. Тому кореляційна функція також залежить лише від різниці часів.

Фізична суть кореляційної функції.

Якщо х(t) - електрична напруга то зрозуміло, що для малої зміни інтервалу часу малоймовірна велика змінанапруги. Якщо ж інтервал достатньо великий, то зміна x(t) може бути довільною.

Мірою зв'язку між x(t) та може служити - середньоквадратичне відхилення, що визначається виразом

==-+

Якщо врахувати, що:

=

тоді

=

Тобто середнє квадратичне відхилення визначається через кореляційну функцію.

Крім того, існують реальні функції - фізичні величини, які визначаються квадратом випадкової величини: це потужність сигналу та його енергія.

Спектральна густина потужності або визначається з графіка

де ,

або ж з врахуванням

Розмірності даних величин

Для ергодичних випадкових процесів спектральна густина потужності

пов'язана з кореляційною функцією згідно теореми Вінера - Хінчина

інтегральними перетвореннями Фур'є

.