§16. Преобразование декартовых координат.

Известно, что положение точки М некоторого пространства V можно однозначно определить, задав координаты x, y и z этой точки относительно некоторой системы координат OXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координат XOYZ точка М будет иметь координаты М(x; y; z), а в другой системе X’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’; y’; z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.

Задача сводится к нахождению трех функций:

позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZ и X’O’Y’Z’ - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:

где точка - начало координат новой системы X’O’Y’Z’; - направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:

.

Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:

и определяют поворот системы.

Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:

На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:

Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x, y, z любой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координат x’, y’, z’ той же точки относительно другой системы.

§17. Полярная система координат.

Определение положения точки М с помощью декартовых координат не является единственным способом. Пусть дана некоторая плоскость. Выберем на ней точку О, из нее проведем луч ОЕ. На этом луче выберем единицу масштаба. Тогда любая точка М плоскости будет однозначно определена, если известно ее расстояние от точки О, то есть длина отрезка ОМ, и угол φ, образованный лучом ОЕ и отрезком ОМ. Пара чисел и называется полярными координатами точки М: φ – полярный угол, ρ – полярный радиус, луч ОЕ – полярная ось, точка О – полюс. Угол φ считается положительным, если он отсчитывается от полярной оси в направлении, противоположном направлению часовой стрелки. Область изменения полярных координат определяется системой неравенств: .

Если полюс полярной системы координат совместить с началом некоторой декартовой системы, заданной на той же плоскости, а полярную ось направить по оси ОХ, то полярные координаты и некоторой точки М будут связаны с декартовыми координатами х и у следующими соотношениями:

Если известны полярные координаты и , то декартовы координаты х и у точки М вычисляются по формулам:

Пример 25. Найти полярные координаты точки М(1; -), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс.

Решение.

Имеем

угол находится в четвертой четверти, то есть

Ответ: М().