Задачи:

1. Постройте графики следующих функций и уравнений:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) .

Домашнее задание:

2. Постройте графики следующих функций и уравнений:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) .

9. Аналитическое и графическое решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Аналитическое решение простейших уравнений с модулем опирается на определение модуля числа. Графическое решение уравнений состоит в построении графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения и нахождении точек их пересечения. Корнями уравнения при этом являются абсциссы найденных точек пересечения. Графический метод дает точные значения корней уравнения лишь в некоторых случаях. Тем не менее, очень полезно использовать графическую иллюстрацию даже для анализа числа корней и их локализации.

Задачи:

1. Решите следующие уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2. Решите следующие уравнения аналитически и графически:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

Домашнее задание:

3. Решите следующие уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

4. Решите следующие уравнения аналитически и графически:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

10. Системы линейных уравнений. Аналитическое и графическое решение систем, сводящихся к линейным.

Уравнение вида , где a, b, p – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y. В зависимости от значений коэффициентов a, b и p линейное уравнение на координатной плоскости может задавать следующие множества точек:

1. Если a = b = p = 0, то уравнение приобретает вид 0 = 0 – равенства, верного при любых значениях x и y. Поэтому в этом случае линейному уравнению с двумя переменными удовлетворяют все точки координатной плоскости.

2. Если a = b =0, но при этом p ≠ 0, то уравнение приобретает вид 0 = p, и ни при каких значениях x и y оно не обращается в верное равенство. Поэтому в этом случае линейное уравнение с двумя переменными задает на координатной плоскости пустое множество точек.

3. Во всех остальных случаях (то есть когда хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю), линейное уравнение с двумя переменными задает на координатной плоскости прямую. При этом в случае, если b = 0, a ≠ 0, оно приобретает вид и описывает вертикальную прямую. В случае же, когда b ≠ 0, уравнение приводится к виду линейной функции , задающей на плоскости невертикальную прямую.

Замечание: Описанные выше случаи 1 и 2 возникают при решении систем в результате их преобразования (например, в при сложении уравнений системы). Особенно важно помнить об этих особых ситуациях при решении систем линейных уравнений с параметрами.

Система линейных уравнений с двумя переменными имеет вид , где a, b, c, d, p и q – некоторые числа. В случае, когда в левой части каждого уравнения есть хотя бы один ненулевой коэффициент, уравнения системы задают на координатной плоскости две прямые линии, и число решений системы определяется числом общих точек этих прямых. Таким образом, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

• имеет одно решение, если прямые пересекаются в одной точке,

• не имеет решений, если прямые параллельны,

• имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают.

Самыми распространенными методами решения систем являются метод подстановки и метод сложения. Метод подстановки состоит в выражении из какого-либо уравнения системы одной переменной через другую и подстановке полученного выражения во второе уравнение. Метод сложения состоит в домножении уравнений системы на числовые коэффициенты таким образом, чтобы при сложении уравнений получилось уравнение с одним неизвестным.

Графический метод решения систем уравнений с двумя неизвестными состоит в построении на координатной плоскости графиков уравнений системы и нахождении координат точек их пересечения. Особенно эффективен графический метод при анализе числа решений системы уравнений.

Задачи:

1. Решите следующие системы уравнений:

а)

б)

в)

г)

Выделенные ниже номера решить как аналитическим, так и графическим методом:

Гал.: стр. 117-118, №№9.89 (а); 9.90 (б); 9.91 (б); 9.93 (г); 9.96 (б); 9.93 (б); 9.94 (б, г); 9.95 (а).

Домашнее задание:

2. Решите следующие системы уравнений:

а)

б)

в)

г)

Выделенные ниже номера решить как аналитическим, так и графическим методом:

Гал: стр. 117-118, №№9.90 (а); 9.91 (а); 9.93 (в); 9.96 (а); 9.93 (а); 9.94 (а, в).

11. Исследование систем линейных уравнений с параметром.

Исследование систем линейных уравнений с двумя неизвестными и параметром чаще всего проводится одним из двух способов:

1. методом подстановки или сложения задача сводится к исследованию одного линейного уравнения с одним неизвестным;

2. анализируется взаимное расположение прямых, задаваемых уравнениями системы.

Задачи:

1. Найдите значения параметра a, при которых система уравнений

а) имеет единственное решение;

б) не имеет решений;

в) имеет бесконечное множество решений.

2. (экономический факультет МГУ, 1978 г.) Найдите все значения параметра b, при которых система уравнений имеет хотя бы одно решение.

3. (биолого-почвенный факультет МГУ, отделение биологии, 1970 г.) Числа a, b и c таковы, что система имеет бесконечно много решений, причем (1; 3) - одно из этих решений. Найдите числа a, b и c.

4. (биолого-почвенный факультет МГУ, отделение биологии, 1970 г.) При каких значениях a система уравнений не имеет решений?

5. (философский факультет МГУ, отделение социологии, 1989 г.) При каких значениях параметров a и b система имеет бесконечное множество решений?

6. При каких значениях параметров a и b система имеет бесконечное множество решений?