2. Упражнения

   1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и и сделать чертеж:

1) , ; 2) , .

2. Составить параметрические уравнения прямой .

3. Прямая задана параметрическими уравнениями

Найти нормальный вектор этой прямой и записать общее уравнение этой прямой.

4. Дана прямая . Составить уравнения прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно данной прямой.

5. Известны вершины треугольника , , .

Требуется:

1) написать уравнения сторон этого треугольника;

2) написать уравнение высоты AD и найти её длину;

3) написать уравнение медианы BF и найти её длину;

4) найти угол при вершине A треугольника;

5) найти угол между высотой AD и медианой BF.

1. Вычислить расстояние от точки до прямой .

2. Написать уравнение прямой, проходящей посередине между параллельными прямыми и .

3. Написать уравнение прямой, параллельной прямой и отстоящей от неё на расстоянии

4. Записать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к прямой .

5. Известны уравнения одной из сторон ромба и одной из его диагоналей: , . Известна точка пересечения его диагоналей . Найти уравнения остальных сторон ромба.

1. Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 2, §2–3], [2, гл. 5, §5.1–5.7].

1. Даны вершины треугольника , , .

Требуется:

1) написать уравнения сторон этого треугольника;

2) написать уравнение высоты CD, проведённой из вершины C;

3) написать уравнение медианы BF, проведённой из вершины B;

4) найти угол при вершине A треугольника;

5) построить на чертеже , высоту СD и медиану BF.

1. Вычислить расстояние от точки до прямой .

2. Известно уравнение одной из сторон параллелограмма и уравнение двух его диагоналей , . Найти уравнения остальных сторон параллелограмма.

1. Плоскость в пространстве

Цель занятия: усвоение способов задания плоскости в пространстве, выработка навыков решения задач, связанных с построением плоскостей в пространстве.

1. Основные способы задания плоскостей

Считаем, что в пространстве задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки M обозначаем, как правило, . Основной результат о задании плоскости в пространстве заключается в следующем.

1. Теорема. Любая плоскость в пространстве может быть задана линейным уравнением вида

. (20)

Наоборот, каждое уравнение вида (20) задает в пространстве некоторую плоскость.

Отметим, что вектор ортогонален плоскости (20) и называется нормальным вектором этой плоскости. Уравнение (20) называют общим уравнением плоскости. Различные модификации уравнения (20) связаны с различными способами задания плоскости. При решении задач, связанных с использованием плоскостей, следует выбирать тот способ задания плоскости, который в данном случае наиболее эффективен. Перечислим основные способы задания плоскостей.

2. Плоскость П определяется одной своей точкой и своим нормальным вектором . Уравнение имеет вид:

. (21)

3. Плоскость П определяется тремя своими точками , , . Её уравнение имеет вид:

(22)

4. Плоскость П определяется двумя своими точками , и вектором , параллельным этой плоскости. Уравнение плоскости имеет вид:

(23)

5. Плоскость П определяется одной своей точкой и двумя векторами , , параллельными этой плоскости. Уравнение плоскости П имеет вид:

(24)

При решении задач полезно использовать признаки взаимного расположения плоскостей. Пусть П₁:  и П₂:  – две плоскости. Эти плоскости:

1) совпадают, если ;

2) параллельны, если , т.е. если векторы и коллинеарны;

3) пересекаются, если их нормальные векторы и неколлинеарны.

Угол между двумя плоскостями П₁ и П₂ следует искать как угол между их нормальными векторами и .

6. Пример. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и перпендикулярна плоскостям , .

Решение. Нормальные векторы , непараллельны, поэтому плоскости П₁ и П₂ пересекаются. Плоскость П, перпендикулярная к каждой из плоскостей П₁ и П₂ , перпендикулярна и к линии их пересечения (рисунок 8). На основании этого найдем нормальный вектор искомой плоскости П как векторное произведение и :

Используя (21), запишем уравнение плоскости П:

, .

Возможен и другой вариант решения. Пусть произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы , , компланарны, поэтому

, .