- •Высшая математика Методические указания к практическим занятиям по теме «Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии» для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей
- •212005, Г. Могилев, пр. Мира, 43
- •Содержание
- •Введение
- •1 Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов.
- •Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов
- •Линейные операции над векторами
- •Линейная зависимость и независимость векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов
- •Базисы и координаты векторов
- •Скалярное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов
- •Векторное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая на плоскости
- •Основные способы задания прямых на плоскости
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Плоскость в пространстве
- •Основные способы задания плоскостей
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Прямая в пространстве
- •Основные способы задания прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Упражнения
- •Контрольные задания
- •Список литературы
-
Вычислить , если , , где и – единичные векторы, угол между которыми равен .
-
Даны точки и . Найти , направляющие косинусы вектора , величину проекции вектора на базисный вектор .
-
Найти неизвестную координату вектора , если .
-
Найти угол между векторами и .
-
При каких векторы и ортогональны?
-
Даны вершины четырехугольника , , , . Доказать, что его диагонали и взаимно перпендикулярны.
-
Найти , если , , .
-
Доказать, что векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда .
-
Даны три силы , и , приложенные в одной точке. Вычислить какую работу производит равнодействующая этих сил, когда точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения в положение .
-
Контрольные задания
Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §2–3], [2, гл. 2, §2.5, 2.6, 2.10–2.12], [3, гл. 1, §1.3, 1.4].
-
Доказать, что векторы и пространства равны тогда и только тогда, когда их координаты равны в любом базисе.
-
Векторы , заданы в некотором базисе пространства. Показать, что векторы образуют базис пространства, и найти координаты вектора в базисе .
1) , , , ;
2) , , , .
-
Найти скалярное произведение векторов (–3+4) и (2+3), где .
-
При каких векторы и ортогональны?
-
Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий равенству .
-
Даны векторы и . Найти проекцию вектора на вектор .
-
Вычислить работу силы при перемещении материальной точки под действием этой силы из точки в точку вдоль .
-
Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов
Цель занятия: усвоение понятий векторного и смешанного произведений векторов, выработка навыков вычисления векторного и смешанного произведений и использование их в приложениях.
-
Векторное произведение векторов
-
Определение. Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор, обозначаемый ×, удовлетворяющий следующим требованиям:
-
1) длина вектора × равна , где , ;
2) вектор × ортогонален обоим векторам и ;
3) тройка векторов , , × является правой.
Если векторы и коллинеарны, то полагают ×=.
При вычислении векторного произведения полезно использовать его свойства. Перечислим их.
-
×= − ×.
-
×=, R.
-
××+×.
-
Если ×=, то векторы , коллинеарны.
-
Длина векторного произведения × равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.
Пусть векторы и заданы своими координатами относительно правого ортонормированного базиса , т.е. , . Тогда
×=. (9)
Приложения векторного произведения в механике и физике связаны с понятием момента силы. Моментом силы , приложенной к точке B, относительно некоторой точки А называется векторное произведение .
-
Пример. Заданы векторы , . Найти координаты векторов , .
Решение. Вычисляем координаты вектора по формуле (9):
=.
Координаты вектора определим с помощью свойств векторного произведения векторов. Имеем = =2 (поскольку =0).
-
Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если ; .
Решение. Имеем
(поскольку ). Итак (кв. ед.).
-
Смешанное произведение векторов
-
Определение. Пусть , , – произвольные векторы. Возьмем векторное произведение ×. Далее возьмем скалярное произведение (×) векторов × и . Полученное число называется смешанным произведением векторов , , (в указанном порядке) и обозначается (×)или .
-
Перечислим основные свойства смешанного произведения.
-
Если векторы , , некомпланарны и образуют правую тройку, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах, т.е.
(×)=V.
Если же векторы , , некомпланарны и образуют левую тройку, то
(×)=–V.
Векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда
(×)=0.
-
(×)=(×)=(×).
Пусть , , заданы в ортонормированном базисе , , , . Тогда
(×)= (10)
Свойство (п.3.2.2) позволяет непосредственно или с помощью формулы (10) вычислять объемы некоторых тел. В частности, объем пирамиды с вершинами в точках , , , выражается следующим образом:
. (11)
Свойство (п.3.2.3) позволяет устанавливать, компланарны или некомпланарны векторы , , . Если векторы , , некомпланарны, то с помощью свойства (п.3.2.2) можно установить, какую тройку они образуют. А именно, если (×)>0, то тройка векторов , , правая, если же (×)<0, то тройка , , левая.
-
Пример. Доказать, что точки А(5, 7, 2), B(3, 1, –1), C(9, 4, –4), D(1, 5, 0) лежат в одной плоскости.
Решение. Найдем координаты векторов: , . Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
-
Пример. Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .
Решение. Рассмотрим векторы (рисунок 5): , , .
У пирамиды, построенной на векторах , , , та же высота, что и у параллелепипеда, а площадь основания в 2 раза меньше, поэтому
.
Заметим, что векторы , , образуют правую тройку, т.к. (×)>0. Объём пирамиды можно было найти прямо по формуле (11), однако, если нужно найти и другие параметры тела, удобнее начинать решение с построения векторов , , .