4.2. Модель идеального вытеснения

Модель ИВ представляет теоретическую модель с идеализированной структурой движущегося потока. В соответствии с ней принимается поршневое течение потока без продольного перемешивания при равномерном распределении концентрации вещества в направлении, перпендикулярном его движению. Время пребывания всех частиц в системе одинаково и определяется как или , где L – длина аппарата, W – скорость потока в аппарате.

Модели ИВ наиболее всего соответствуют процессы, протекающие в аппаратах трубчатого типа: трубчатые реакторы, теплообменники труба в трубе и другие аналогичные аппараты с отношением длины к диаметру L/d > 20 при Re > 2320. Принципиальная схема модели представлена на рис. 4.3.

С_вхWF

С_выхWF

Рис. 4.3. Принципиальная схема модели ИВ

Получим математическое описание модели аппарата ИВ из уравнения материального баланса относительно элементарного объема, равного произведению площади поперечного сечения на толщину элементарного слоя потока Fdz.

При наличии каких-либо превращений или в условиях нестационарного режима изменение количества вещества в элементарном объеме будет равно разности между количеством вещества, поступающего в данный объем и выходящего из него

, (4.4)

где t – текущее время; z – координата, вдоль которой перемещается поток; F – площадь поперечного сечения аппарата.

Раскрыв скобки после некоторых преобразований, получим

(4.5)

Для стационарных условий и при отсутствии каких-либо превращений в аппарате С_вх = С_вых.

Решение модели, удовлетворяющее начальному условию,

C(0, z) = Cн(z) при t = 0 , 0 < z < L; (4.6)

и граничному условию

C(t, 0) = Cвх(t) при z = 0, t > 0, (4.7)

есть

. (4.8)

Рис. 4.4. Отклики модели на типовые возмущения

Из решения системы следует, что любое возмущение на входе повторяется на выходе через время, равное среднему времени пребывания . Отклики модели на типовые возмущения приведены на рис. 4.4.

4.3. Ячеечная модель

Ячеечная модель впервые была предложена для каскада реакторов с мешалками и является одной из самых простых среди реальных моделей. В этом случае аппарат представляют состоящим из ряда n последовательно соединенных ячеек, через которые проходит поток вещества. При этом принимается, что в каждой из ячеек поток идеально перемешан, а между ячейками перемешивание отсутствует. Параметром ячеечной модели, количественно характеризующим продольное перемешивание, служит число ячеек полного перемешивания. При n  , ЯМ  ИВ, а при n  1, ЯМ  ИП.

Ячеечная модель достаточно точно воспроизводит структуру потока в последовательно соединенных аппаратах с мешалками (каскад реакторов), в массообменных колоннах с безпровальными тарелками и, частично, в кипящем слое. При внесении соответствующих изменений в ЯМ (ячеечная с рециркуляцией) она может использоваться и для аппаратов с обратным перемешиванием потока: массообменные колонны с провальными тарелками, барботажные колонны, аппараты с кипящим слоем и т.д.

Принципиальная схема модели представлена на рис. 4.5.

С_вх,

Рис. 4.5. Принципиальная схема ячеечной модели

Математическое описание модели для случая, когда объемы ячеек и среднее время пребывания потока в каждой из них равны, имеет вид

- - - - - - - - - - - - - - - - -

(4.9)

- - - - - - - - - - - - - - - - -

где – объем i-й ячейки.

В условиях стационарного режима и отсутствия каких-либо превращений в аппарате С_вх = С_вых = С_n. Отклики модели на типовые возмущения приведены на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Отклики модели на типовые возмущения

Решения модели:

Импульсное возмущение

Для 1-й ячейки в соответствии с граничными условиями: С_вх = 0 при t = 0 и С₁ = С_н на основании решения модели ИП

. (4.10)

Тогда для 2-й ячейки в соответствии с граничными условиями: С_вх = С₁ и С₂ = 0 при t = 0

. (4.11)

Произведя аналогичные вычисления для всех ячеек, для n-ной будем иметь

. (4.12)

Введя безразмерную концентрацию С() = С_n/С_н и время , функцию отклика (4.12) можно представить в виде

. (4.13)

Ступенчатое возмущение

При ступенчатом возмущении для случая скачкообразного уменьшения концентрации до нуля аналогично получаем

. (4.14)

При ступенчатом возмущении для случая скачкообразного увеличения концентрации

. (4.15)

Оценка параметра n ячеечной модели

Параметр n можно определить через моменты функции отклика на импульсное возмущение:

Начальный момент 2-го порядка .
Центральный момент 2-го порядка . (4.16)
Безразмерный центральный момент 2-го порядка	.

Рассмотрим пример определения параметров и n ячеечной модели.

Для моделирования процесса в аппарате было решено использовать ячеечную модель. Структура потока в аппарате исследована импульсным методом, результаты исследования и расчетов приведены в табл. 4.1. Требуется определить целесообразность использования ячеечной модели.

Таблица 4.1

Результаты исследования структуры потока и расчета параметров модели

t, мин	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Cэ(t), г/л	0	0,25	0,7	1,05	1,05	0,55	0,25	0,1	0,05	0,01	0
С(t), мин–1	0	0,062	0,175	0,262	0,262	0,137	0,062	0,025	0,012	0,0025	0
	0	0,278	0,555	0,833	1,111	1,389	1,666	1,944	2,222	2,499	2,777
C()	0	0,225	0,629	0,943	0,943	0,494	0,225	0,090	0,045	0,009	0
при n = 6	0	0,121	0,734	1,053	0,838	0,483	0,227	0,093	0,034	0,012	0,004

Решение.

Среднее время пребывания индикатора в потоке, мин:

.

Значения нормированной и безразмерной кривых

; .

Безразмерная дисперсия и количество ячеек

.

Принимаем n = 6. Тогда расчетные значения безразмерной кривой при шести ячейках

.

Среднее значение безразмерной кривой

.

Дисперсия относительно среднего значения безразмерной кривой

.

Дисперсия адекватности

.

Расчетное значение критерия Фишера

,

где критическое значение F_к взято по таблице (приложение 5) для 5 %-ного уровня значимости. Вывод: F_к < F – модель использовать целесообразно.