Приложение 6. Пример использования модели ип для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации

Рассмотрим процесс непрерывной кристаллизации в аппарате с мешалкой, который имеет структуру потока, близкую к идеальному перемешиванию. Для начала введем понятие функции плотности распределения частиц по размеру – f(r), ее приближенный график может быть построен на основании данных ситового анализа. Порядок построения функции f(r) следующий. Полидисперсный материал рассевают на фракции. Для каждой фракции определяют количество кристаллов N и делят его на разность между максимальным и минимальным размерами частиц данного класса крупности – r = r_max – r_min. Полученные значения в виде точек откладывают по оси ординат против соответствующих значений среднего диаметра фракций на оси абсцисс. Соединив проставленные точки между собой, мы получим график, отображающий зависимость плотности распределения частиц материала от их размера f(r) – r. Таким образом, f(r) = N/r или для бесконечно узкого диапазона фракций f(r) = N/dr.

Найдем связь между функцией f(r) и скоростью линейного роста кристаллов w. Из уравнения материального баланса кристаллизатора по числу частиц размера r при f_вх(r) = 0 имеем

,

(1)

разделив переменные и проинтегрировав уравнение (1), получим зависимость между функцией плотности распределения f(r) и линейной скоростью роста кристаллов (w)

	,	(2)
, (3)

где f(0) – скорость образования зародышей.

Рассмотрим схему кристаллизатора (рис. 1) и составим на ее основе уравнение материального баланса.

, (4)

для стационарных условий

, (5)

где М_а – прирост массы кристаллов в аппарате в ходе процесса.

Рис. 1. Принципиальная схема кристаллизатора

Таким образом, количество вещества, перешедшего из раствора в твердую фазу , должно быть равно приросту массы М находящихся в аппарате кристаллов. Рассмотрим сначала изменение массы одного кристалла размером r, считая условно, что он имеет шаровидную форму. Если в начальный момент времени размер кристалла r, то через время dt его размер достигнет величины r + dr, а масса соответственно увеличится на величину

, (6)

где  – удельная плотность кристаллов. Входящее в уравнение (6) dr можно заменить выражением , тогда уравнение (6) перепишется в виде

, (7)

где величина dt принята равной единице.

Прирост массы всех кристаллов размером r в единице объема на основании уравнения (5.7) и условия определяется как

. (8)

Прирост массы всех кристаллов размера от r = 0 до r = r_max в единице объема

. (9)

Прирост кристаллов во всем объеме аппарата составит

. (10)

Таким образом, окончательное уравнение материального баланса для стационарных условий примет вид

. (11)

Используя уравнение (11), являющееся математическим описанием непрерывной кристаллизации в аппарате со структурой потока, близкой к идеальному перемешиванию, можно было бы определить оптимальные условия протекания процесса. Однако на данном этапе мы не можем этого сделать, так как неизвестна зависимость линейной скорости роста кристаллов w от режимных параметров: температуры – T, пересыщения – (C – C*) и энергии активации – E_a, зависящей от природы вещества кристаллов. Найдем эту зависимость. Из теории известно, что линейная скорость роста кристаллов связана с пересыщением зависимостью вида

, (12)

где n – коэффициент, зависящий от природы вещества, С и С* соответственно текущая и равновесная концентрации, К – константа,

, (13)

где K₀ – константа, Е_а – энергия активации, Т – температура, R – универсальная газовая постоянная.

Таким образом, скорость роста кристаллов w можно определить с помощью уравнений (12, 13), если известны параметры n, K₀ и Е_а. На сегодняшний день нет точных методов расчета этих параметров, поэтому их определяют в основном экспериментально.

Выразим скорость кристаллизации через функцию плотности распределения кристаллов по размерам. Для этого уравнение (3) приведем к виду

. (14)

Уравнение (14) является уравнением прямой линии, выраженным в полулогарифмических координатах . Определив выше описанным способом функцию и прологарифмировав ее, получим линейную зависимость, где есть значение при (рис. 2). Значение скорости w в этом случае можно определить через тангенс угла наклона прямой линии к оси абсцисс,

. (15)

Рис. 2. Зависимость логарифма функции плотности

распределения от размера частиц

Таким образом, на основании экспериментально полученной функции распределения кристаллов по размерам мы можем определить значение линейной скорости кристаллизации и функцию f(0), которая характеризует скорость образования зародышей. Но полученное значение скорости будет справедливо только для условий проведения опыта.

Для определения зависимости w – (C – C*) уравнение (12) приводят к виду

, (16)

вычисляют значение скорости кристаллизации для нескольких опытов с различным пересыщением и строят зависимость в координатах .

На полученной зависимости значение ln w в точке есть lnK, а коэффициент n есть тангенс угла наклона полученной прямой к оси абсцисс . Таким образом, определив коэффициенты K и n, мы сможем рассчитать скорость кристаллизации для различных значений пересыщения (С – С^*).

Чтобы определить зависимость скорости кристаллизации от температуры T, уравнение (13) следует привести к виду

(17)

и проделать аналогичные опыты, но для нескольких значений температуры раствора. По результатам опытов построить зависимость в координатах lnK – 1/T, где lnK₀ есть значение lnK при 1/T  0, а величина E_a определяется через тангенс угла наклона прямой .

Таким образом, можно найти зависимость скорости кристаллизации от параметров процесса. Решая совместно уравнения (11) и (12), можно определить оптимальные условия протекания процесса непрерывной кристаллизации в аппарате со структурой потока, близкой к идеальному перемешиванию.