Асимптоты

Определение 6. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если - БМФ при , т.е. .

Теорема 6. Функция имеет наклонную асимптоту тогда и только тогда, когда , а .

Доказательство:

Необходимость. Пусть функция имеет наклонную асимптоту. Тогда по определению . Разделим обе части равенства на и получим: .

Перейдем к пределу при :

. Следовательно,

Рассмотрим . Перейдем к пределу:

.

Достаточность. Пусть , . Тогда рассмотрим функцию в окрестности бесконечно удаленной точки :

где

=>

. ■

Замечание. Если , то говорят, что функция имеет горизонтальную асимптоту .

Замечание. Если на отрезке функция имеет разрыв второго рода в точке , то прямая называется вертикальной асимптотой.

Алгоритм исследования функции и построения графиков

1. Находим область определения функции и точки разрыва.

2. Находим и наклонные асимптоты.

3. Исследуем функцию на четность / нечетность, периодичность / непериодичность.

4. Находим нули функции ().

5. Строим сетку и эскиз графика.

6. Находим критические точки.

7. Из критических точек выбираем точки экстремума, находим значения функции в этих точках.

8. Находим точки перегиба () и значения функции в этих точках.

9. Исследуем вторую производную (где функция выпукла / вогнута).

Определение 7. Функция , заданная на симметричном интервале , называется четной, если и нечетной, если .