Дифференцирование функций, заданных неявно
Определение 2. Пусть для каждой точки и плоскости существует единственное число. Тогда говорят, что на плоскости задана функция двух переменных и .
Определение 3. Придавая постоянные значения числу z (), получим уравнения, задающие линии в пространстве. Тогда функция , заданная уравнением , называется заданной неявно.
Для того, чтобы продифференцировать неявно заданную функцию , необходимо продифференцировать обе части уравнения . Пример. Если , то уравнение задает окружности с центром на оси . Найдем производную функции , заданной уравнением : .
Формулы дифференцирования
1)
Доказательство:
Рассмотрим функцию . Так как
, то
. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■
2) .
Доказательство:
Рассмотрим функцию . Так как , то . Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 4 из второго замечательного предела. ■
3) .
Доказательство:
Рассмотрим функцию . Так как , то
. Для доказательства этой формулы мы воспользовались следствием 3 из второго замечательного предела. ■
4) .
Доказательство:
Рассмотрим функцию . Так как
, то . Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции . ■
5) .
Доказательство:
Рассмотрим функцию . Так как
, то
. Для доказательства этой формулы мы воспользовались первым замечательным пределом и непрерывностью функции . ■
6).
Доказательство:
Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим
. ■
7) .
Доказательство:
Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим
■
8) .
Доказательство:
Рассмотрим функцию . Используя правила дифференцирования, получим . ■
9) .
10) .
11) .
Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование применяется для вычисления производной дробных (целых) выражений, имеющих много скобок и выражений вида . Для начала необходимо прологарифмировать выражение, затем взять производную от обеих частей, учитывая, что - функция.
Пример. Вычислим производную функции :
,
.
Пример. Вычислим производную функции :
,
,
.
п. 3 Дифференциал функции
Пусть функция дифференцируема в точке , тогда ,.
Определение 1. Дифференциалом функции называется главная часть приращения и обозначается. . Дифференциалом аргумента (вне зависимости от переменной) называют его приращение . Таким образом, дифференциал функции равен . Тогда производная функции равна .
Геометрический смысл дифференциала
(рисунок)
Так как , то дифференциал функции равен . Таким образом, .
Физический смысл дифференциала
Пусть тело движется по закону . Тогда дифференциалом перемещения является то приращение расстояния за промежуток времени , пройденное со скоростью в промежутке. Таким образом, .
Инвариантность дифференциала функции
Если функция является сложной, то ее дифференциал равен . Тогда или .
Замечание. С дифференциалами обращаются также как и с производными, поэтому для дифференциала справедливы те же правила дифференцирования. На практике дифференциал применяют для приближенных вычислений:
,, т.е. .
Пример. Вычислим . Для этого рассмотрим функцию в точке . Приращение , тогда , , .
п. 5 Производные и дифференциалы высших порядков
Определение 1. Пусть функция имеет производную порядка. Тогда производной -го порядка называется .
Пример. .
Для нахождения производной произведения -го порядка пользуются аналогом бинома Ньютона:
; .
Заметим, что , тогда .
Определение 2. Дифференциалом -го порядка называется
.
В частности,
.
п. 6 Свойства дифференцируемых функций
Определение 1. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции локальным максимумом (минимумом), если найдется -окрестность точки такая, что . Точки локального минимума и максимума называются точками локального экстремума.
Теорема 1. Теорема Ферма
Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , причем - точка локального экстремума функции . Тогда .
Доказательство:
Для определенности пусть - точка локального экстремума, т.е. . Рассмотрим производную .
Так как , то получим, что . ■
Замечание. Теорема Ферма является необходимым условием экстремума. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Пример. Рассмотрим функцию . Производная функции равна нулю при , но эта точка не является точкой экстремума функции.
Пример. Для квадратичной функции абсцисса вершины параболы является точкой экстремума, а ордината - экстремумом функции. Исходя из этого, найдем координаты вершины параболы. Так как и , , то .