Пример 1.1

1)        Множество студентов группы.

2)        Множество жителей РФ на 24 часа 31 декабря 2006 года.

3)        Множество целых чисел.

Символом   обозначается отношение принадлежности. Запись x  S означает, что элемент  x  принадлежит множеству  S.  Запись x  S означает, что элемент    x   не принадлежит множеству  S. Элементы множества, если их можно перечислить, будем помещать в фигурные скобки.

Пример 1.2

S = {a, b, c},    a  S,   но  d  S.

Пустым множеством  называется множество , не содержащее элементов.

Интуитивные принципы

Принцип объемности. Множества  A и B считаются равными, если  они состоят из одних и тех же элементов. Записывают: A = В, если А равно В, и в противном случае записывают: А  В.

Пример 1.3

Пусть A множество положительных четных чисел, а  В – множество чисел представимых в виде суммы двух положительных нечетных чисел. Докажем, что A = В.

Пусть  x  A, тогда по определению множества А элемент x = 2m, где m – некоторое целое положительное число. Этот элемент можно представить и так х = (2m – 1) +1, т.е. в виде суммы двух положительных нечетных чисел. Следовательно, x  В. С другой стороны, пусть x  В, тогда по определению множества В:  х = (2p – 1) + (2q – 1), где   p  и  q – некоторые целые положительные числа. Раскрывая скобки, находим:        х = 2p + 2q – 2 = 2(p + q – 1),  т.е.  x  А.  Таким образом, из x  А следует, что x  В, а из  x  В следует, что x  А. Отсюда множества A и B состоят из одних и тех же элементов, т.е. A = B.

Пример 1.4

Согласно принципу объемности множества {1,2,3} и {1,1,2,3,3} равны, а множества {1,2} и {{1,2}} – нет. Обычно повторяющиеся элементы множеств не пишут, поскольку они не различимы.

Для более эффективной записи множества, вернее его определения (задания), используется понятие  "формы от x".

Формой от  x   называется последовательность, состоящая из слов и символов  x  такая, что если каждое вхождение  x  в этой последовательности заменить одним и тем же именем некоторого объекта соответствующего рода, то получим истинное или ложное высказывание.

Пример 1.5

1)   Являются формами от  x  предикаты:  "x – родственник Иванова", "x > 1".

2)   Не является формой от  x  "для всякого x   x² – 1 = (x – 1)(x + 1)".

Форма от  x  обозначается через   P(x).

Принцип абстракции.. Любая форма  P(x)  определяет некоторое множество А, а именно множество тех и только тех объектов  a, для которых Р(a) является истинным предложением. В этом случае множество А  обозначается, как  А = {x | Р(x)}.

Пример 1.6

1)   {х | х – целое положительное число меньшее 5} = {1,2,3,4};

2)  {х | x  – нечетное число}.  

Подмножество. Множество-степень (булеан)

Символом  обозначается отношение включения между множествами, т.е. А  В, если каждый элемент множества А есть элемент множества  В. Иначе, из утверждения  x  А и А  В следует, что x  В.

Подмножеством множества В называется любая его часть A (в том числе не содержащая элементов, а также содержащая все его элементы), определенная как множество. Подмножество A называется собственным подмножеством множества B, если A  B и A  .

Нетрудно убедиться в том, что между множеством и его подмножествами существует отношение включения, верно также и обратное.

Если  А  В, то говорят, что А  является подмножеством B. Кроме того, если А  В и А  В, то используется обозначение А  В.