Пример 1.29

Встречаются как коммутативные, так и некоммутативные операции.

      Коммутативные операции – умножение, сложение чисел, сложение матриц и др.

      Некоммутативные операции – векторное произведение, умножение матриц порядка n  2 и др.

Операция называется ассоциативной, если для любых элементов a, b и с множества М справедливо равенство  a(bc) = (ab)c .

Пример 1.30

Встречаются как ассоциативные операции, так и не ассоциативные операции.

      Ассоциативные операции – сложение, умножение чисел, умножение матриц, операция сдвига (см. рис. 1.9 а) дизъюнкция, композиция отображений и др.

      Не ассоциативные операции – векторное произведение векторов и др.

Порядок выполнения алгебраических операций

Пусть дана упорядоченная система а₁, а₂, …, а_n , элементов множества М. Расстановка скобок указывает на порядок выполнения операций над этими элементами.

Левонормированным произведением элементов а₁, а₂, …, а_n  множества М называется произведение: ((…(а₁а₂)а₃…)а_n.

Правонормированным произведением – называется произведение:  а₁(а₂(…(а_n+1а_n)…).

Если результат умножения не зависит от порядка расстановки скобок, то их не используют.

Теорема 1.1. Если операция, определенная на М, ассоциативна, то результат ее последовательного применения к n элементам множества не зависит от расстановки скобок.

Доказательство теоремы проведем индукцией по числу множителей n в выражении.

1.           Для n = 3 теорема следует из закона ассоциативности.

2.           Предположим, что теорема верна для  n – 1 и менее членов.

3.           Докажем теорему для n членов.

Исходя из пункта 2 очевидно, что для этого достаточно доказать, что

(а₁а₂…а_m)(а_m+1…a_n) = (a₁a₂…a_k)(a_k+1…a_n)                          ()

для всех  m k , 1  m, k  n-1.

Для этого левую и правую части равенства приведем, напрмер, к левонормированному произведению. Начнем с левой части равенства, учитывая, что в каждой скобке равенства () элементов меньше, чем n.

Пусть m = n – 1, тогда

(а₁а₂…а_m)(а_m+1…a_n) = (а₁а₂…а_n-1)a_n = ((a₁a₂…a_n-2)a_n-1)a_n = (…(a₁a₂)a₃…)a_n -

левонормированная форма.

Пусть теперь m < n-1, имеем:

1) (а₁а₂…а_m)(а_m+1…a_n) = (а₁а₂…а_m)((а_m+1…a_n-1)a_n) – согласно индуктивному предположению.

2) (а₁а₂…а_m)((а_m+1…a_n-1)a_n) = ((а₁а₂…а_m)(а_m+1…a_n-1))a_n  – согласно закону ассоциативности.

3) Внешняя скобка выражения правой части предыдущего шага содержит n – 1 сомножитель, следовательно, согласно индуктивному предположению оно может быть приведено к левонормированной форме:

((…(а₁а₂)…)а_m)а_m+1 )…)a_n-1)a_n.

Аналогично рассуждая для правой части равенства (), приведём её к левонормированному произведению. Таким образом, справедливость равенства () доказана, а с ним и теорема.

Нейтральный элемент

Нейтральным (единичным) элементом множества M для операции умножения называется элемент e  M, такой, что для всех a  M выполняются соотношения: ae = ea = e.

Множество, на котором задана алгебраическая операция, может иметь, а может и не иметь единичный элемент, удовлетворяющий соотношению, используемому в определении.