- •1. Статика
- •1.1. Равновесие сходящихся сил
- •1.2. Равновесие плоской системы сил
- •1.3. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду
- •1.4. Равновесие пространственной системы сил
- •1.5. Центр тяжести
- •2. Кинематика
- •2.1. Траектория и уравнение движения точки
- •2.2. Скорость и ускорение точки
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •2.4. Скорость точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр скоростей
- •2.5. Сложное движение точки
- •3. Динамика материальной точки
- •3.1. Дифференциальные уравнения движения. Две задачи динамики
- •3.1.1. Прямая задача
- •3.1.2. Обратная задача
- •3.2. Колебательное движение
- •3.2.1. Свободные колебания материальной точки
- •3.2.2. Вынужденные колебания
- •3.3. Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения точки
- •3.4. Работа и мощность силы
- •3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •3.6. Метод кинетостатики для материальной точки
- •4. Динамика системы материальных точек
- •4.1. Геометрия масс и теорема о движении центра масс
- •4.2. Теорема об изменении кинетического момента системы
- •4.3. Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси
- •4.4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •4.5. Метод кинетостатики для системы (принцип Даламбера)
- •5. Аналитическая динамика
- •5.1. Принцип возможных перемещений
- •5.2. Основное уравнение аналитической динамики
- •5.3. Уравнения Лагранжа 2-го рода
- •Рекомендательный Библиографический список
- •Оглавление
3. Динамика материальной точки
3.1. Дифференциальные уравнения движения. Две задачи динамики
Основной закон динамики для точки массой m, находящейся под действием сил , в векторной форме имеет вид
,
где – вектор ускорения точки.
В проекциях на инерционные прямоугольные оси координат получим дифференциальные уравнения динамики в декартовых координатах:
,
где – проекции ускорения на оси координат.
Аналогично можно записать дифференциальные уравнения движения в проекциях на направление касательной и главной нормали n к траектории точки
,
где v – скорость точки; – радиус кривизны траектории.
3.1.1. Прямая задача
Различают две задачи динамики материальной точки – прямую и обратную. В прямой задаче по заданным закону движения точки и ее массе определяется равнодействующая сила или одна из сил, приложенных к точке. В обратной задаче по заданным силам и массе определяется закон движения точки либо ее скорость.
Решение. На вес груза действуют нормальная реакция плоскости и сила трения . Поскольку в направлении, нормальном к плоскости, движения нет, сумма проекций сил на это направление равна нулю, отсюда . Дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х имеет вид
Тогда , так как . Отметим, что, поскольку Fтр > 0, sin > 2a. Согласно закону трения Кулона, Fтр = fN, где f – коэффициент трения скольжения. Заменив здесь Fтр найденным значением, получим
.
Укажем, что при малом трении, когда , эта формула позволяет установить связь между углом и параметром а: .
Задача 3.1. Шахтная клеть массой 8000 кг спускается вниз с ускорением , где g – ускорение свободного падения. Определить натяжение троса, поддерживающего клеть, если сила сопротивления движению составляет 0,2 от веса клети.
Ответ: 31,4 кН.
Задача 3.2. Определить силу сопротивления воды R при движении лодки по инерции, если эта сила является функцией лишь скорости лодки, а движение осуществляется согласно уравнению где m – масса лодки; v0 – начальная скорость лодки; t – время движения; а – некоторый постоянный коэффициент, кг/с.
Ответ:
Задача 3.3. Автомобиль весом 12 кН движется по мосту со скоростью v = 36 км/ч. Определить давление автомобиля на мост в наивысшей точке, если радиус закругления моста в этой точке равен 50 м. Определить также скорость, с которой должен двигаться автомобиль, чтобы в наивысшей точке оторваться от моста. Считать автомобиль точечной массой. Силами сопротивления движению пренебречь.
Ответ: N = 9,55 кН; при отрыве автомобиля N = 0, v = 79,7 км/ч.
Ответ: Т = 4 Н; v = 2,1 м/с.
Задача 3.5. Поршень в двигателе совершает горизонтальные прямолинейные колебания, определяемые уравнением , где r и l – длина соответственно кривошипа и шатуна; – постоянная угловая скорость вала двигателя; t – время. Найти максимальную силу, действующую на поршень, если его масса равна m.
Ответ: .
Задача 3.6. Вес кузова вагона 200 кН, с помощью рессор вагон установлен на двух колесных тележках весом 20 кН каждая. При движении по прямолинейному горизонтальному участку пути вагон совершает вертикальные колебания по закону м. Определить наибольшее (N1) и наименьшее (N2) давление вагона на рельсы.
Ответ: N1 = 322 кН; N2 = 158 кН.
Задача 3.7. Вагонетка с грузом, имеющая полную массу 700 кг, опускается на канате в выработке с уклоном = 15 , имея начальную скорость v = 1,6 м/с. Определить натяжение Т1 каната при равнозамедленном спуске вагонетки, если время движения до остановки 4 с. Определить также натяжение Т2 каната после остановки вагонетки.
Ответ: Т1 = 1,43 кН; Т2 = 1,72 кН.
Ответ: 0,06 МН.
Задача 3.9. Груз весом 10 Н подвешен к тросу длиной 0,25 м и совершает колебания в вертикальной плоскости (рис.3.3), описываемые уравнением , где – угол отклонения троса, рад; t – время, с. Определить силу натяжения троса в наинизшем и наивысшем положении груза (Т1 и Т2 соответственно).
Ответ: Т1 = 12,76 Н; Т2 = 8,66 Н.