- •1. Статика
- •1.1. Равновесие сходящихся сил
- •1.2. Равновесие плоской системы сил
- •1.3. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду
- •1.4. Равновесие пространственной системы сил
- •1.5. Центр тяжести
- •2. Кинематика
- •2.1. Траектория и уравнение движения точки
- •2.2. Скорость и ускорение точки
- •2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •2.4. Скорость точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр скоростей
- •2.5. Сложное движение точки
- •3. Динамика материальной точки
- •3.1. Дифференциальные уравнения движения. Две задачи динамики
- •3.1.1. Прямая задача
- •3.1.2. Обратная задача
- •3.2. Колебательное движение
- •3.2.1. Свободные колебания материальной точки
- •3.2.2. Вынужденные колебания
- •3.3. Теоремы об изменении количества движения и момента количества движения точки
- •3.4. Работа и мощность силы
- •3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •3.6. Метод кинетостатики для материальной точки
- •4. Динамика системы материальных точек
- •4.1. Геометрия масс и теорема о движении центра масс
- •4.2. Теорема об изменении кинетического момента системы
- •4.3. Дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси
- •4.4. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
- •4.5. Метод кинетостатики для системы (принцип Даламбера)
- •5. Аналитическая динамика
- •5.1. Принцип возможных перемещений
- •5.2. Основное уравнение аналитической динамики
- •5.3. Уравнения Лагранжа 2-го рода
- •Рекомендательный Библиографический список
- •Оглавление
2.5. Сложное движение точки
Скорость точки в сложном движении (теорема сложения скоростей)
,
где – скорость точки относительно условно неподвижной системы отсчета Оxyz (абсолютная скорость); – скорость точки относительно подвижной системы отсчета О1x1y1z1 (относительная скорость); – скорость той точки тела, с которым связана подвижная система координат О1x1y1z1, через которую в данный момент проходит рассматриваемая точка (переносная скорость).
Для определения относительной скорости точки следует мысленно остановить переносное движение и вычислить относительную скорость по правилам кинематики точки.
Для определения переносной скорости надо мысленно прекратить относительное движение и искать переносную скорость по правилам кинематики точки как скорость той точки тела, с которым связана подвижная система координат и с которой совпадает в данный момент рассматриваемая точка.
Для определения ускорения точки в сложном движении следует рассматривать два случая:
при поступательном переносном движении
,
где – ускорение точки относительно условно неподвижной системы отсчета Оxyz (абсолютное ускорение); – ускорение той точки тела, с которым связана подвижная система координат О1x1y1z1, через которую в данный момент проходит рассматриваемая точка (переносное ускорение); – ускорение точки относительно подвижной системы отсчета О1x1y1z1 (относительное ускорение);
при вращательном переносном движении
,
где – поворотное ускорение, или ускорение Кориолиса, ; – угловая скорость подвижной системы отсчета (переносного движения).
Решение. Корабль, находящийся в точке В, участвует одновременно в двух движениях:
переносном – вращении вместе с Землей вокруг оси ON с угловой скоростью с-1. В переносном движении точка В земной поверхности описывает окружность с центром в точке А и радиусом АВ;
относительном – корабль описывает дугу CBN окружности радиусом R с центром в точке О.
Абсолютная скорость корабля .
Переносная скорость по модулю
м/с = 232 м/с
и направлена по касательной к 60-й параллели с запада на восток.
Относительная скорость согласно условию vr = 36 км/ч = = 10 м/с и направлена по касательной к меридиану CBN с юга на север.
Абсолютное ускорение . Так как переносное движение – равномерное вращение вокруг оси, то переносное ускорение является переносным нормальным ускорением:
we = eАВ = eRcos60 = 0,017 м/с2
с направлением от точки В к точке А.
Относительное движение осуществляется с постоянной по величине скоростью по дуге окружности радиусом R. Следовательно, относительное ускорение будет нормальным относительным ускорением:
м/с2,
направленным от точки В к точке О.
Кориолисово ускорение
wc = 2evrsin= 7,2710-5sin60 = 1,2610-3 м/с2.
Кориолисово ускорение направлено по касательной к 60-й параллели северной широты с востока на запад.
Задача 2.24. Вращение диска вокруг своей оси соответствует закону = 1,5t2 рад. Вдоль радиуса диска в направлении от центра к его ободу движется точка М. Определить величину абсолютной скорости этой точки в момент t = 1 с, если ее движение относительно диска задано уравнением s = OM = 0,1(1 + t2) м.
Ответ: м/с.
Задача 2.25. Определить величину абсолютной скорости точки ротора паровой турбины, ось которого горизонтальна и лежит в диаметральной (продольной) плоскости симметрии судна, идущего со скоростью 20,6 м/с. Расстояние данной точки от оси вращения 60 см. Скорость вращения ротора 3000 мин-1.
Ответ: v = 189 м/с.
Ответ: .
Ответ: wa = 4,12 м/с2.
Задача 2.28. Башенный кран со стрелой ОС (рис.2.23) вращается равномерно с угловой скоростью = 2 рад/с. Тележка А имеет в данный момент скорость v1 = 3 м/с и ускорение w1 = 4 м/с2 по отношению к стреле ОС. Груз В опускается равномерно вертикально вниз. Чему равна величина абсолютного ускорения груза в тот момент, когда расстояние ОА = 3 м?
Ответ: wa = 14,42 м/с2.
Задача 2.29. Плоскость xOy , в которой движется точка согласно уравнениям x = t2, y = 4 – t2 (x, y – в метрах, t – в секундах), вращается с постоянной угловой скоростью рад/с вокруг оси Oz. Найти абсолютное ускорение точки, когда она находится на кратчайшем расстоянии от оси вращения.
Ответ: при вращении плоскости по движению часовой стрелки wa = 17,2 м/с2; при вращении в противоположном направлении wa = 6,325 м/с2.
Ответ: 1 рад/с.