5. Неявные методы Хемминга

Многошаговый неявный метод Хемминга четвертого порядка может быть реализован тремя различными способами:

Для начала расчетов по любой из выше приведенных формул требуется иметь три «разгонные» точки X₀, X₁, X₂.

6. Методы дифференцирования назад

При решении жестких систем уравнений распространенными являются методы основанные на формулах дифференцирования назад (ФДН).

Общий вид метода таков:

где - коэффициенты выбираются из условий аппроксимации метода. В отличие от методов типа Рунге - Кутты, при использовании ФДН - методов нелинейная система алгебраических уравнений для определения имеет меньшую размерность, следовательно, требуется меньшее число операций для нахождения решения.

К очевидным недостаткам методов ФДН (как, впрочем, и других многошаговых) является необходимость разгонного участка и трудности при автоматическом выборе шага.

7. Неявные методы Рунге-Кутта

Неявные методы Рунге-Кутта также как и методы ФДН эффективно применяются и являются важным классом методов решения жестких систем уравнений, имеющие следующий вид:

где .

Значения коэффициентов , , (i, j = 1, 2, …, m) вычисляются после разложения функций , в ряд Тейлора и сведения невязки метода к минимуму путем приравнивания членов при степенях к нулю, где р — порядок аппроксимации схемы.

3. Описание математической модели солнечной системы и параметры ее траектории.

1. Определение и свойства моделей

Известно, что термин математическое моделирование применяется по отношению к области прикладной математики, включающей в себя как построение и исследование математических моделей, так и создание вычислительных алгоритмов и программ, реализующих эти алгоритмы на ЭВМ.

Процесс построения математической модели проходит через несколько стадий, первой из которых является наблюдение. В результате наблюдения интересующих нас свойств реального объекта мы формулируем их на языке той отрасли науки, которая изучает эти свойства – строим механическую, физическую, химическую, биологическую, экономическую или иную модель объекта. Такая модель называется содержательной. При построении содержательной модели формулируются и используются соответствующие гипотезы (или постулаты). При этом несущественное для описания интересующих нас свойств отбрасывается. На основе содержательной модели и принятых определяющих соотношений мы выписываем соответствующие ей уравнения, переводя тем самым модель на формальный математический язык.

В качестве определяющих соотношений, например, в физике, используются универсальные физические законы (законы сохранения, симметрии, правила размерности – π-теорема Букингема) + феноменологические законы, присущие данной более узкой отрасли науки (типа законов Гука, Фурье, Стефана).

Дальнейшие этапы моделирования относятся уже к сфере решения полученных уравнений и нами не рассматриваются. Заметим только, что, как правило, параметры, входящие в уравнения, имеют “прозрачный” физический смысл, поэтому в процессе решения мы можем привлекать дополнительные сведения.

Если мы нашли решение модельного уравнения, нужно провести анализ полученного решения с точки зрения физического смысла. По существу, это следующий (и необходимый!) этап математического моделирования – интерпретация (истолкование) результата исследования математической модели. Этот этап, как правило, включает в себя и верификацию модели – контроль правильности модели на основе сравнения результата с другими известными фактами, в частности, с экспериментальными данными.

Все указанные этапы взаимосвязаны – при построении математической модели мы априори ориентируемся на предполагаемый метод решения математической задачи и на качественные свойства получаемого решения (например, точное аналитическое решение, пригодное для глубоких исследований зависимостей от различных параметров, или численный результат для непосредственного применения в конструировании).