13. Математическая обработка равноточных измерений арифметическое среднее, ско арифмет. Середины.

Имеется ряд равноточ. изм. l₁,l₂…,l_n. За окончательное знач. изм. величины приним. среднее знач или L=(l₁+l₂+…+l_n)/n=[l]/n.

Ряд случ. ош.

∆₁=l₁-x

∆₂=l₂-x

…..

∆_n=l_n-x

где х-точное знач. изм. величины.

Сложим все и получ. [∆]=[l]-nx.

x=[l]/n-[∆]/n.

При бесконечном числе изм. среднее арифм. знач. их находится ближе всего к точному их значению х, чем любой из результатов измерений (l₁,l₂…l_n) поэтому его назыв. вероятнейшим знач. измеренной величины.

Если X-точное значение измеренной величины, а L -вероятн. значение, то М-ошибка арифметического среднего или вероятн. значение и измер. величины.

М= L-x;

Для вывода формулы определим зависимость между ошибками. Воспользуемся рядом истинных ошибок:

∆₁=l₁-x

∆₂=l₂-x

…..

∆_n=l_n-x

Сложим равенства и разделим на n(количество измерений).

[∆]/n=([l]/n)-x

[∆]/n=L-x

M=[∆]/n

Возведем в квадрат:

M²=(∆₁²+∆₂²+…+∆_n²+2∆₁∆₂+2∆₁∆₃+…+2∆₁∆_n+…+2∆₂∆₃+2∆₂∆₄+…+2∆₂∆_n+…+2∆_n-1∆_n)/n²

В числителе этой формулы удвоенные произведения имеют разные знаки и при возрастании числа измерений сумма их стремится к 0 поэтому отбросив их получим приближенные равенства.

M²=(∆₁²+∆₂²+…+∆_n²)/ n²

M²=[∆²]/n²

m_l=√([∆²]/n)

M=m_l/√n

m_L= m_l/√n – среднеквадр. ошибка вероятн. значения через СКО

Средняя ошибка меньше СКО одного измерения.

16.Оценка точности результатов многократных, равноточных измерений одной и той же величины по вероятнейшим поправкам. Формулы, порядок вычислений.

В практике геодез. измерений чаще всего точное значение измеряемой величины бывает неизвестно, следовательно использовать это значение в оценке точности их результатов невозможно(по формулам Гаусса).

Вероятнейшие ошибки которые близки к случайному, т.к L→x и отличаются лишь тем, что их всегда можно получить, следовательно они могут быть использованы для выч-я СКО.

Запишем выражение вероятнейших ошибок:

V₁=l₁-L

V₂=l₂-L (1)ошибок одной и той же величины.

………

V_n=l_n-L

∆₁=l₁-x

∆₂=l₂-x

…… (2)

∆_n=l_n-x

Вычтем из (2)-(1) и получим:

∆₁-v₂=l₁-x-l₂+L

∆₂-v₂=L-x

…… (3)

∆_n-v_n=L-x

L-x=M – это СКО

∆₁=M+v₁

∆₂=M+v₂ (4)

_………..

∆_n=M+v_n

Возведем (4) в квадрат:

∆₁²=M²+v₁²+2Mv₁

∆₂²=M²+v₂²+2Mv₂ (5)

_………..

∆_n²=M²+v_n²+2Mv_n

Складываем равенства почленно и делим их на n:

([∆²]/n)=M²+([v₁²]/n)+2M([v]/n)

где: 2M([v]/n_→∞)→0

При увеличении кол-ва измерений будет стремиться к 0.

M=m²/n; M=m²/√n; m_l=√([v²]/n); m²= (m²/n)+([v²]/n).

Решаем это уравнение алгебраически:

m²-(m²/n)=([v²]/n); m²(1-1/n)=([v²]/n)

m=√([v²]/n-1) –формула Бесселя.

Это если СКО одного измерения по вероятнейшим ошибкам(при n→∞).

При небольшом числе измерений для оценки точности вычисляют ошибку ошибки:

m_ml=m_l/(√2(n-1)).

17.Оценка точности результатов равноточных измерений по разностям двойных измерений. Формулы, порядок вычислений.

На пактике часто произв. 2-ые равноточные изм.

Пусть некоторые однородные величины измерены дважды и получены рез-ты: l₁^',l₂^'…l_n^' и l^"₁,l₂^"…l_n^".

При абсолютно точных знач. разности этих велич. должны быть =0. В следствии влияния различных ошибок этого не получается, если предположить, что влияние оказывают только случайные ошибки, то разности можно считать случайными ошибками. d=l_i^'-l_i^"

Значит по ним как по случайным ошибкам можно вычислить СКО с применением формулы Гаусса:

m_d=√[d²]/n.

Формула для определения СКО одной разности по формуле Гаусса: m_l=√([d]²/2n)

Для оценки прочности требуется вычислить СКО значения получаемого через разность 2ых измерений: m_l=0.5√([d²]/n)

Эти ф. справедливы когда отсутств. систем. ош. Если есть систем. ош. то ее нужно опред. и искл. Если бы не было случ. ош. тогда знач. систематич. ош. можно получить применяя ф. арифм. середнего. Q=d, Q=[d]/n. Исключая значения ошибок из разности получим остаточные разности ∂_i=d_i-Q. В полученном значении остаточные разности имеют тот же смысл, что и вероятнейшие поправки. Поэтому можно применять ф. Бесселя. m_d=√[∂²]/n-1, m_l=√[∂²]/2(n-1), m_l=0.5√[∂²]/n-1. Правильность вычисл. контролируют по ф. [∂]=0, [Q²]=[d²]-[d²]/n, [∂²]=[ ∂d].

18. Ско арифметической середины. Вывод ф.

M=L-x. – ошибка вероятнейшего значения

Для вывода этой формулы примем

∆₁=l₁-x

∆₂=l₂-x

…,

∆_n=l_n-x

Сложим и разделим все и получим [∆]/n=[l]/n-xn/n. Возведем это равенство в квадрат М²=(∆₁²+∆₂²+…+∆_n²+2∆₁∆₂+2∆₁∆₃+…+2∆₁∆_n+2∆₂∆₃+2∆₂∆₄+…+2∆₂∆_n+…+2∆_n-1∆_n)/n²

Т.к. в этой ф. на основании св-ва случ. ош. удвоенные произв. могут иметь разные знаки и при возрастании числа сумма их будет →0, поэтому отбросив их получим приближен. равенство. M²=(∆₁²+∆₂²+…+∆_n²)/n²=[∆²]/n².

М=m_l/√n, - величина ско вероятного значения

M_L=m_l/√n-СКО вероятнейшего знач.

Следовательно СКО арифм. серед. равноточ. изм. одной и тойже велич. √n меньше СКО отдельного изм.→вероятн. знач. будет наиболее точным по сравнению с каждым результатом изм.

19.СКО функции общего вида: U=F(X₁,X₂,…,X_N). Вывод формулы.

U=f(X₁,X₂,…,X_n), где X₁,X₂,X_n непосредственно измеренные величины содержащие ошибки ∆х₁,∆х₂,∆х_n.

Если меняются знач. аргументов ф-и на величину ошибки, то меняется и сама ф-я U+∆U=f(x₁+∆х₁,х₂+∆х₂,…,х_n+∆х_n) Раскладывая правую часть в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми его членами, содержащими лишь первые степени малых ошибок, получим: U+∆U=f(x₁,x₂,…,x_n)+ ∂f/∂x∆x₁+∂f/∂x₂∆x₂+…+∂f/∂x_n∆x_n.

∆U=∂f/∂x₁∆x₁+∂f/∂x₂∆x₂+…+∂f/∂x_n∆x_n, ∂f/∆x₂=k_i

m_L²=(∂f/∂x₁)²mx₁²+(∂f/∂x₂)mx₂²+…+(∂f/∂x_n)mx_n²,

m_U=m_x√∑(∂f/∂x_i)²

20.СКО функции вида U=KX(K-const). Вывод формулы.

U=KX, где K-const, х-непосредственно измеренная величина.

m_U=K*m_x

в частном случае:

U=K₁x₁+K₂x₂+…+K_nx_n

m_U= K₁m_x1+K₂ m_x2+…+K_n m_xn

K₁=K₂=…= K_n

m_U=K√∑ m_x

Если х измерена ошибочно, то и ф-ия будет иметь ош. U+∆U=K(x+∆x), где ∆U-случ. ош. Произведем вычисл. и получ.

∆U=K∆x

m_U=m_x√∑K_i².

21. СКО функцийй вида U=X+Y. вывод формулы.

U=X+Y (1), где х,у- независимые величины, полученные в результате неоднократных измерения величин.

Если измереные величины были определены со случ. ош., то и сумма их будет содерж. ош. U+∆U=(x+∆x)+(y+∆y)(2).

Вычтем из (2)-(1) ∆U=∆x+∆y.

При многократных измерении каждой величины получим многочлен

∆U₁=∆x₁+∆y₁,

∆U₂=∆x₂+∆y₂,

…..,

∆U_n=∆x_n+∆y_n.

Возведем в квадрат и сложим почленно

[∆U²]=[∆x²]+[∆y²]+2[∆x∆y].

Отбросим последнее знач. т.к. оно обладает всеми св-ми случ. ош. и при увелич. числа изм. стремится к 0. [∆U²]/n =[∆x²]/n+[∆y²]/n,

m²_U=m_x²+m_y². СКО суммы двух измеренных величин равна сумме квадратов отдельных аргументов. m=m_x=m_y, m_U= +-m√2, m_U=√(m_x²+m_y²⁾.