- •7. Дані вершини трикутника: m(0;1); n(6;5) та с(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини с.
- •10. Провести серединний перпендикуляр відрізка ав, де а(0; -2), в(4; 0).
- •11. Дані рівняння сторін трикутника:
- •12. Знайти проекцію точки р(4;9)на пряму, що проходить через точки а(3; 1) та в(5; 4).
- •Рівняння другої прямої запишемо, скориставшись рівнянням
- •13. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку м0(2;3;5) і перпендикулярно вектору .
- •15. З точки р(2;3;-5) на координатні площини опущені перпендикуляри. Скласти рівняння площини, що проходить через їх основи.
- •16. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно прямій
- •17. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку м(5; 3; 4) і паралельна вектору .
- •Тоді канонічні рівняння прямої будуть мати вид
- •31. Нехай
- •32. Дослідити на екстремум функцію
- •33. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння
31. Нехай
Знайти: 1) 2)
Розв’язання. 1) Знаходимо похідну за напрямком:
2) Знаходимо градієнт функції в точці М:
32. Дослідити на екстремум функцію
Розв’язання.
Знаходимо стаціонарні точки функції:
Розв’яжемо систему рівнянь
Знаходимо х = -2; у = -1
Маємо одну стаціонарну точку (-2; -1).
Знаходимо частинні похідні 2-го порядку:
2, -1, 4, звідки А=2, В= -1, С=4, ∆=АС-В2=8-1=7>0, А>0, отже, точка (-2; -1) – точка мінімуму даної функції.
33. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння
,
що задовольняє початковій умові .
Розв’язання. Запишемо дане рівняння в диференціальній формі1 .
Тепер відокремимо змінні:
.
Виконуємо інтегрування цього рівняння:
,
,
.
Отримали загальний розв’язок вихідного рівняння.
Використаємо тепер початкові умови і визначимо довільну постійну:
, .
Отже, частинний розв’язок вихідного рівняння має вигляд
.
34. у΄΄+ у΄-2y=0, y(0)=1, y(0)=0.
Розв’язання.
Характеристичне рівняння: к2+к-2=0.
Знаходимо корені: .
Загальний розв’язок у = C1 e х + C2 e-2х.
З умови y(0)=1 маємо: C1 + C2=1,
з умови y(0)=0 маємо: C1 + 2C2=0 (оскільки y¢= C1 e х + 2C2 e-2х),
звідки отримуємо: C1 =2, C2=-1.
Отже, шуканий розвязок задачи Коши: у = 2e х - e-2х.
35. у΄΄-4 у΄+4y=0.
Розв’язання.
Характеристичне рівняння к2-4к+4=0. Корені к1= к2 =2. Загальний розв’язок
у = C1 e2 х + C2 хe2х = e2x(C1+ C2х).
36. Розглянемо ряд .
Маємо:
.
Отже, даний ряд абсолютно збігається при < 1 або при . При маємо ряд , котрий розбігається. При маємо ряд , котрий за ознакою Лейбніца збігається (умовно). Таким чином, область збіжності даного степеневого ряду: .
1