- •7. Дані вершини трикутника: m(0;1); n(6;5) та с(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини с.
- •10. Провести серединний перпендикуляр відрізка ав, де а(0; -2), в(4; 0).
- •11. Дані рівняння сторін трикутника:
- •12. Знайти проекцію точки р(4;9)на пряму, що проходить через точки а(3; 1) та в(5; 4).
- •Рівняння другої прямої запишемо, скориставшись рівнянням
- •13. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку м0(2;3;5) і перпендикулярно вектору .
- •15. З точки р(2;3;-5) на координатні площини опущені перпендикуляри. Скласти рівняння площини, що проходить через їх основи.
- •16. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно прямій
- •17. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку м(5; 3; 4) і паралельна вектору .
- •Тоді канонічні рівняння прямої будуть мати вид
- •31. Нехай
- •32. Дослідити на екстремум функцію
- •33. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння
15. З точки р(2;3;-5) на координатні площини опущені перпендикуляри. Скласти рівняння площини, що проходить через їх основи.
Розв’язання.
Основами перпендикулярів, опущених на координатні площини, служать такі точки: М1(2;3;0), М2(2;0;-5), М3(0;3;-5).Застосуємо рівняння площини, що проходить через три точки
, які не належать одній прямій:
=0
Тоді маємо:
або 15х +10у –6z-60=0.
16. Скласти рівняння площини, яка проходить через початок координат перпендикулярно прямій
Розв’язання.
З умови задачі випливає, що напрямний вектор прямої
є вектором нормалі для шуканої площини.
Тоді, аналогічно попередній задачі, маємо:
2(x-0) –1(y-0) +2(z-0)=0, звідки 2x –y + 2z =0.
17. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку м(5; 3; 4) і паралельна вектору .
Розв’язання.
Скористаємося канонічним рівнянням прямої, яка проходить через точку М0(x0; y0; z0) та має напрямний вектор .
18. Написати рівняння прямої, що проходить через точку М0(1,-1,2) перпендикулярно площині х-2у-1=0.
Розв’язання.
В якості напрямного вектора візьмемо нормальний вектор заданої площини.
Тоді канонічні рівняння прямої будуть мати вид
.
Тут 0 у знаменнику означає, що пряма перпендикулярна осі OZ.
19. Знайти точку перетину прямої і площини 3х +5у –z –2=0.
Розв’язання.
Перетворивши канонічні рівняння прямої до параметричного виду
х = 4t + 12, y = 3t + 9, z = t +1 і підставивши їх в рівняння площини, знайдемо:
3(4t +12) + 5(3t +9)- (t—1)-2 = 0, звідки 26t=-78, t =-3.
Задані пряма і площина перетинаються в точці з координатами
х= 4×(-3)+12=0; у=3×(-3)+9=0; z=-3+1=-2.
Отже, пряма і площина перетинаються у початку координат.
20. Знайти
Розв¢язання. Підстановка значення х=1 під знак границі приводить до невизначеності Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на х-1 (х ≠ 1):
21. Знайти
Розв¢язання. Помножимо чисельник і знаменник дробу
на суму
22. Знайти .
Розв¢язання. Згідно відомій тригонометричній формулі,
cos 3x-cos x= -2sin 2x sinx.
Оскільки sinx ~ x, sin2x ~ 2x, arcsin23x ~(3x)2, (див. (1),(3))
23. Знайти
Розв¢язання. Оскільки ~ при х® 0, (див.(4)), а
e-2x-1 ~(-2x) при х®0 (див.(10)), то
24. Знайти y’x з рівняння y/x=arctg y/x.
Розв’язання. Рівняння визначає у як неявну функцію від х. Продиференціюємо обидві частини по х:
Звідси
Після перетворення правої частини маємо
25. Скласти рівняння дотичної до кривої y=arcsinx в точці її перетину з віссю OX.
Розв’язання.
Знайдемо координати точки перетину кривої з віссю ОХ:
y=arcsinx=0, x0=0.
Обчислимо значення y’(x) при одержаному значенні змінної:
Підставимо у рівняння дотичної y-y0=y’(x0)(x-x0)одержані значення
Рівняння дотичної буде мати вигляд y=x.
26. y=3x3+4,5x2-4x+1. 1) Дослідити на монотонність і екстремуми дану функцію. 2) Знайти найьільше і найменше значення функції на відрізку 0;1.
Розв’язання. 1) D(y)=(-∞;+∞),
y′=9x2+9x-4=(3x-1)(3x+4),
y′=0: x= -D(y), x=D(y) – критичні точки функції.
Відповідь: функція зростає при x(-∞; -) та при x(; +∞),
функція спадає при x( -; );
x= - - точка максимуму, x= - точка мінімуму.
2) Обчислимо значення даної функції на кінцях даного відрізка і в отриманих критичних точках, які належать цьому відрізку:
Тоді
27. Знайти dy, якщо y=x2tg2x.
Розв’язання.
.
Приклад. Обчислити інтеграл .
Застосуємо підстановку : х+2=t2; x=t2-2; dx=2t dt. Тоді
Підставимо t= :
28.
(Скористалися формулою інтегрування частинами: ).
29.
(Скористалися формулою заміною змінної.)
30. Знайти площу фігури, обмеженої кривими у =х2, у = х +2.
Розв”язання: У загальному випадку, коли фігура обмежена зверху кривою знизу кривою з боків – прямими х = а, х = b (див.мал.1), її площа обчислюється за формулою (1)
Щоб зробити малюнок, побудуємо дані криві та знайдемо абсциси точок перетину кривих, що обмежують фігуру, для цього розв”яжемо рівняння
х2 = х+2 :х2- х – 2 = 0, х1 = -1, х2 = 2.
Тоді за формулою (1) маємо:
.