которых моделируемый показатель не меняется. Выбор способа интерполяции зависит от представления исходных данных и всегда необходима его оценка с точки зрения достоверности получаемых результатов.

5.2.2. Подготовка исходных данных для создания модели

В основе алгоритмов интерполяции лежит критерий наилучшего приближения каждой точки построенной поверхности к реальной, зависящий от представления явления в точках измерений и от их распределения. Применение разных методов интерполяции предполагает учет ряда факторов:

•числа исходных точек;

•расположения исходных точек;

•области размещения точек относительно области исследования.

Способы цифрового представления непрерывных поверхностей ориентированы на использование конечного количества данных. Но считается, что чем больше число исходных точек, чем, соответственно, плотнее их измерения, тем лучше результат моделирования. Чаще всего это приводит к увеличению времени вычислений, а избыточные точки, создавая неравномерные распределения, могут даже исказить результаты. Число точек должно быть функцией формы поверхности. Когда пространственные данные для моделирования представлены в изобилии, разные методы аппроксимации и интерполяции дают близкие результаты. Другое дело, когда данных мало или они сильно разбросаны территориально. Как правило, в этом случае модель только подчеркивает различия, заложенные в данных.

Расположение исходных точек особенно важно в случаях, когда они представляют некоторые области, например, при создании картограмм. Размещение точек необходимо планировать. Для моделирования физических поверхностей это сделать проще, поскольку можно визуально контролировать процесс, выбирая точки, отражающие структуру поверхности. Для других поверхностей точки целесообразно располагать регулярно с выбранным шагом, соответствующим объекту моделирования, например, площади минимального водосбора. Обычно рекомендуется размещать точки вблизи центров ареалов.

Взависимости от положения исходных точек выделяют три типа их организации: 1) регулярное расположение на прямоугольных сетках; 2) полурегулярное размещение точек по структурным линиям, профилям, изолиниям; 3) нерегулярное расположение по центрам площадей, характерным точкам, случайным сеткам.

Воснове большинства способов подготовки исходных данных для создания ЦМР лежит преобразование горизонталей, которые, в свою очередь, являются средством моделирования рельефа земной поверхности. Для этого сканируют расчлененные оригиналы, используемые для печати карт, полученные растровые изображения переводят в векторный формат. Изображения горизонталей редактируют и «привязывают» к высотам (атрибутируют). Горизонтали могут быть также оцифрованы вручную на дигитайзере. Дополнительные данные о высотах получают: из гидрографического слоя БД — береговая линия служит дополнительной горизонталью; из геодезических каталогов, содержащих данные о пунктах геодезических сетей; из материалов полевых съемок или получаемых с помощью систем спутникового позиционирования. Применяют и фотограмметрический способ с использованием стереопар снимков

вручном и автоматизированном вариантах. При работе вручную оператор наблюдает стереопару на стереоприборе и перемещает две марки до тех пор, пока они не превратятся для него в одну, лежащую на земной поверхности. В автоматизированном режиме инструментально рассчитываются разности параллаксов для большого количества точек (до нескольких тысяч).

Определение высотных отметок затруднено по фотоизображениям плоских поверхностей и в тех случаях, где поверхность скрыта зданиями, деревьями. Для любого метода сбора исходных данных характерны типичные погрешности, например, неправильного обозначения высот горизонталей при их сканировании, которые сказываются на качестве ЦМР.

Если созданная сеть точек является прямоугольной и регулярной, то при подходящем шаге сетки ее можно рассматривать как ЦМР всей поверхности. Однако чаще приходится применять сгущение сети — уменьшать шаг сетки, для чего используют простые с точки зрения программирования методы интерполяции по соседним узлам сетки. Регулярная сетка удобна для выполнения вычислений, но она с одинаковой дискретностью представляет и плавные и резкие

204 Глава 5. Географический анализ и пространственное моделирование

формы рельефа, что может привести к искажениям в представлении поверхности в ЦМР. Модели ЦМР на основе регулярной сетки аналогичны растровому представлению поверхности; каждая ячейка соответствует значению высоты.

Во многих ГИС-пакетах, пакетах программ автоматизированного картографирования и построения горизонталей широко используется модель треугольной нерегулярной сети (TIN). Она была разработана в начале 70-х гг. как способ построения поверхностей на основе набора неравномерно расположенных точек. В TIN-моделях нерегулярная сеть точек может размещаться в соответствии с особенностями территории (больше точек в районах пересеченного рельефа, меньше — на равнинной местности). Такая нерегулярная выборка лучше отражает характер поверхности. Выбранные дискретно расположенные точки соединяют линиями, образующими треугольники — выполняют интерполяцию методом триангуляции. В качестве элементов мозаики иногда используют более сложные многоугольники, которые всегда можно разбить на треугольники.

Несмотря на простоту TIN, необходимо решить множество вопросов: как отбирать точки, как соединять точки в треугольники, как моделировать поверхность в пределах каждого треугольника. Характерные точки поверхности во многих случаях приходится выбирать из уже существующих регулярных сеток, растровых ЦМР или оцифрованных горизонталей. Для этого используют методы выбора и кодирования локальных вершин, впадин и перевалов в пределах окна и последующего прореживания полученных точек, метод упорядочения расстояний между всеми парами точек [Core, 1991]. Обычно TIN на основе 100 точек отражает особенности поверхности так же хорошо, как ЦМР с несколькими сотнями точек.

Для особого случая создания TIN — триангуляции Делоне - строят наименьший многоугольник, включающий все измеренные точки, который разбивается прямыми линиями на участки путем отнесения каждого из них к ближайшим точкам так, чтобы он содержал только одну измеренную точку. Линии проводят чере^ середины отрезков, соединяющих две соседние точки, перпендикулярно к ним. Границы, созданные в этом процессе, образуют набор многоугольников, называемых полигонами Тиссена (областями Вороного, Дирихле) (рис. 5.3). Основное свойство таких полигонов заключается в том, что расстояние от любой точки в его пределах до

измеренной меньше, чем до любой другой из множества измеренных

Рис. 5.3. Полигоны Тиссена (а) и триангуляция Делоне (б)

Отобранное множество точек образует вершины сети треугольников. Существует несколько способов их соединения в треугольники. Предпочтительнее строить «компактные» треугольники с углами, близкими к 60°, так как при этом любая точка поверхности имеет наименьшее расстояние до какой-либо его вершины. Это важно, поскольку именно вершины треугольников точнее всего отражают высоту поверхности.

Обычно для построения треугольников применяют метод Делоне построения сети непересекающихся треугольников. По определению три точки образуют треугольник Делоне тогда и только тогда, когда окружность, проходящая через них, не содержит точек, не принадлежащих данному треугольнику; построением полигонов Тиссена это обеспечивается. Создавать треугольники начинают, двигаясь от внешней границы полигонов внутрь, вплоть до завершения пост-

роения сети. Две измеренные точки соединяются и образуют узлы сети в том случае, если включающие их полигоны Тиссена имеют общую сторону. Недостатком метода является то, что треугольники Делоне не иерархичны и не могут быть объединены в более крупные треугольники.

Основное преимущество TIN-моделей состоит в том, что стороны треугольников можно совместить с известными орографическими линиями. Поэтому иногда при триангуляции точек в сеть треугольников в качестве сторон вводятся «характерные линии» рельефа (рис. 5.4). Результат обычно не совпадает с триангуляцией Делоне, поскольку такие линии не обязательно совпадают со сторонами треугольников Делоне. В настоящее время такой подход используется в некоторых программах, например, в модуле TIN системы Arclnfo.

Рис. 5.4. Представление поверхности — модель TIN (по [Core, 1991])

Модель TIN по существу является векторно-топологическим представлением поверхности. Она состоит из узловых точек, соответствующих измерению на местности, соединенных отрезками прямых (дугами). Плоскости треугольников образуют систему полигонов, которые можно сопроводить атрибутом уклона.

После формирования сети точек с регулярным или произвольным их расположением приступают к построению ЦМР, используя выбранный алгоритм интерполяции высот для каждой точки сети. Математический аппарат таких алгоритмов рассматривается