3.2 Основные характеристики статистики.

Средний расход коэффициент вариации

коэффициент асимметрии

а также дисперсия и стандарт, или среднеквадратическое уклонение

Определение закона распределения вероятностей конкретной гидрологической характеристики сводится к выбору типа кривой распределения и оценке параметров распределения для выбранного типа кривой. Эти задачи являются взаимосвязанными, поскольку применимость отдельных методов оценки параметров за­висит от выбранного типа кривой распределения.

При выборе типа кривой распределения необходимо определить область изменения рассматриваемой гидрологической характеристики, например годового стока реки в конкретном створе. Как правило, для гидрологических характеристик эта область ограничивается от нуля до бесконечности.

Ограничение нулем объясняется тем, что теоретически имеется возможность полного пересыхания или же перемерзания реки. Такая возможность для малых рек и рек, протекающих в суровых климатических условиях, подтверждается данными наблюдений.

Ограничение сверху определить сложнее, поскольку нет данных, позволяющих фиксировать возможный в историческом аспекте максимальный расход воды. Неопределенность максимального расхода обычно учитывают применением верхнего предела равным бесконечности с обеспеченностью, равной нулю. Такое допущение не противоречит физической сущности явления.

Для распространения закономерности колебаний речного стока, наблюденных в прошлом, на будущий период эксплуатации, гидроэнергетического объекта случайному процессу, аппроксимирующему колебания, приписывают свойства стационарности и эргодичности.

Стационарность стокового процесса означает, что его вероятностные характеристики не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности своих аргументов во времени.

Эргодичность означает, что любая достаточно длительная реализация случайного процесса в определенной степени отражает закономерности, присущие процессу в целом. Допущение об эргодичности процесса колебаний речного стока позволяет рассматривать наблюденный стоковый ряд как репрезентативный (представительный) по отношению ко всему стоковому процессу в данном створе. Стационарность процесса является необходимым условием эргодичности, другими словами, существуют процессы стационарные, но не эргодичные.

Рис 7.Функция распределения вероятности, обеспеченность

Закон распределения вероятностей при математическом описании процесса стока

В настоящее время в водохозяйственной и гидроэнергетической практике обычно исследуется поведение процесса в отдельном пункте. В этом случае одним из основных вопросов, возникающих при математическом описании процесса стока, является выбор наиболее подходящего для данного процесса теоретического закона распределения вероятностей.

Для одномерных процессов в гидрологии функции распределения исследовались на протяжении многих лет, и в настоящее время имеется несколько теоретических кривых распределения вероятностей, которые используются в гидрологических расчетах. В нашей стране чаще всего используются двух – и трехпараметрическое гамма-распределения. Первое из них часто называют кривой Пирсона третьего типа, второе – распределением Крицкого-Менкеля. И то и другое распределения имеют область, где функция отлична от нуля: (0, 8). Принимая в качестве верхней границы +8, гидрологи считают, что такое событие имеет практически нулевую вероятность. Появление нуля в качестве нижней границы рассматривается как чрезвычайно маловероятное событие, тождественное абсолютному пределу снижения расходов воды в реке.

Наибольшее распространение в гидрологии получило трех-параметрическое гамма-распределение Крицкого—Менкеля, которое названо в честь авторов, его предложивших.

где х—расходы; у, b — параметры, каждому сочетанию которых соответствуют определенные значения коэффициента вариации С_v и коэффициента асимметрии C_s; Г (γ)—гамма-функция Эйлера.

Гамма-функцией или интегралом Эйлера второго рода называется функция вида

Г(1) =Г(2) = 1;

Г(α +1) = α Г(α );

Г(1/2) =

Кроме трехпараметрического гамма-распределения в гидрологических расчетах используют теоретические кривые распре­деления других типов: распределение Пирсона III типа, нормальное распределение или распределение Гаусса, логарифми­чески нормальное распределение и т. д. Более подробную информацию по этим вопросам можно найти в специальной литературе по гидрологии.

Кривая Пирсона III типа

Нетрудно видеть, что данное выражение – это частный случай трехпараметричекого распределения Крицкого-Менкеля при b=1.

Распределение Гаусса или нормальное распределение

Если коэффициент асимметрии равен нулю, то кривая распределения становится симметричной. Наиболее разработанным и известным в статистике и теории вероятностей симметричным распределением является распределение Гаусса, или нормальное распределение. В непосредственном виде это распределение в гидро­логии употребляется редко. Однако его разработанность и простота привлекают к нему внимание многих гидро­логов. Одним из возможных приемов его использования является нормализация или трансформация гидрологи­ческих величин.

Логарифмически нормальное распределение описывается функцией

В непосредственном виде это распределение в гидро­логии употребляется также редко.

Точность теоретических кривых распределения зависит от числа учитываемых параметров. Задача гидрологических расчетов и заключается в определении этих параметров, причем желательно определить эти параметры так, чтобы они были близки к тем параметрам речного стока, которые будут иметь место на рассматриваемых реках в течение расчетного периода эксплуатации ГЭС. Поскольку период наблюдения за стоком ограничен, то любые оценки параметров распределения стока являются случайными.

Применительно к гидрологическим расчетам существует не­сколько критериев оценки качества параметров — состоятельность, несмещенность и эффективность.

Состоятельность подразумевает сходимость оценки по вероятности с увеличением объема выборки п, что приводит к повышению точности оценки при удлинении периода наблюдений за стоком.

Несмещенность состоятельных оценок подразумевает равенство центрального значения параметра по выборке истинному ее значению для генеральной совокупности (или ряду бес­конечной длительности). Для оценки меры качества используют дисперсию оценки, характеризующую степень отклонения парамет­ра от истинного значения.

Эффективность оценки параметра определяется при наличии нескольких методов оценки. При этом оценка считается эффективной, если она обладает наименьшей дисперсией.

В гидрологических расчетах наибольшее распространение получил метод моментов. Теоретические кривые обеспеченности, получившие наибольшее распространение в гидрологических расчетах, определяют параметрами: средней величиной X, коэффициентом вариации С_v, коэффициентом асимметрии C_s.

Таким образом нужно вычислить: 1. Средний расход реки, где n – объем выборки. В математической статистике аналогичная характеристика называется математическим ожиданием. Второй параметр коэффициент изменчивости или вариации, который связан с параметром гамма соотношением: 1: на квадрат коэффициента вариации. Коэффициент изменчивости является одной из характеристик интенсивности колебаний расходов реки вокруг среднего значения.

Другими такими характеристиками (т.е. определяющими интенсивности колебаний расходов вокруг среднего значения), имеющими важное значение при статистической оценке параметров, являются дисперсия D и стандарт σ. Эти характеристики определяются из следующих соотношений:

Три параметра распределения Крицкого-Менкеля

1. Средний расход реки

2. Коэффициент изменчивости или вариации ;; ; ; ; .

3. Коэффициент асимметрии ; .

Третий параметр характеризует степень асимметричности распределения. Если положительные отклонения (многоводные годы) повторяются реже, чем отрицательные (но зато обладают более значительным размахом), то асимметрия считается положительной. Положительная асимметрия имеет место на большинстве рек на территории бывшего СССР.

Для надежного вычисления коэффициента асимметрии по формуле (3) необходимо располагать весьма длительным рядом наблюдений, что практически невозможно. По­этому обычно коэффициент C_s принимается кратным значению C_v, Значение α для различных гидрологических характеристик принимается различным. Для среднегодовых расходов, как правило, C_S=2C_V, для максимальных расходов C_s= (3~4)C_V.