Графическое изображение закона распределения

Для наглядности сгруппированные статистические ряды представляют графиками и диаграммами. Наиболее распространенными графиками являются полигон, гистограмма. Этот график взят из конкретного примера результатов исследования прочности 200 образцов бетона на сжатие.

В результате испытания образцов была получена следующая таблица

Интервалы прочности, кг/см2	Частоты mi	Частости
190-200	10	0,05
200-210	26	0,13
210-220	56	0,28
220-230	64	0,32
230-240	30	0,15
240-250	14	0,07

Для построения гистограммы относительных частот (частостей) на оси абсцисс откладываем частичные интервалы наблюденных значений случайной величины X, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна частости данного частичного интервала. Высота элементарного прямоугольника частостей равна m_ц/nh, где h— длина интервала.

На рис. 2 изображена гистограмма частостей данного статистического ряда. Если на гистограмме частостей соединить середины верхних сторон элементарных прямоугольников, то полученная замкнутая ломаная образует полигон распределения частостей. Из принципа построения гистограммы и полигона частостей следует, что площадь под гистограммой и полигоном частостей S = l (ед²). В теории вероятностей гистограмме и полигону частостей соответствует график плотности распределения.

Плотность распределения

Плотность распределения случайных величин с положительной (1),

отрицательной (2) и нулевой (3) асимметрией.

Рис. 3

Как мы только что отмечали, это то же самое, что статистический закон распределения случайной величины, который есть ни что иное, как перечень наблюденных значений случайной величины и соответствующих им частостей. Рассмотрим этот перечень несколько с другой стороны, теперь нас будут интересовать частость событий не внутри каждого интервала, а всех событий, у которых Х<х текущего. Т.е. построим некую интегральную функцию от графика плотности вероятности – это будет функция распределения вероятности (рис.4).

у

Рис.4

Значения функции распределения вероятности в точке х равны вероятности всех событий Х, меньших х.

Возвращаясь к примеру с испытанием бетонных образцов. Мы рассмотрели полигон и гистограмму, теперь рассмотрим так называемую кумуляту (рис.5).

Рис. 5

Для построения кумуляты на оси абсцисс откладывают наблюденные значения случайной величины X, на оси ординат — накопленные частости. Накопленной частостью в точке х называется суммарная частость членов статистического ряда, значения которых меньше х, т. е. значения накопленных частостей являются значениями эмпирической функции распределения F*(x). В теории вероятностей кумуляте соответст­вует график функции распределения F(x) = Р(Х<х).

Если при построении кумуляты оси координат поменять местами, т. е. на горизонтальной оси откладывать значения эмпирической функции распределения F*(x), а на вертикальной — наблюденные значения случайной величины X, то полученная ломаная линия называется огивой (рис 6).

Рис.6

В гидрологии обеспеченность определяется выражением P(x)=1-F(x). И кривая обеспеченности соответственно выглядит, как зеркально отраженная огива.

Теперь перейдем к описанию речного стока как вероятностного процесса, где будем использовать аппарат математической статистики.