Занятие №35. Соотношения неопределенностей. Урав- нение Шредингера
Основные формулы |
|
|
|
Соотношение неопределенностей для координаты и импульса частицы: |
|
||
|
x |
px ≥ h, |
(1) |
|
y |
py ≥ h, |
(2) |
|
z |
pxz≥ h, |
(3) |
где x, |
y, z – неопределенности координат; |
|
|
px , |
py , px - неопределенности соответствующих проекций импульса частицы на оси ко- |
||
ординат; |
|
|
|
Соотношение неопределенностей для энергии и времени: |
|
||
|
E |
t ≥ ħ/2, |
(4) |
где E – неопределенность энергии данного квантового состояния; |
|
||
t - время пребывания системы в данном состоянии. |
|
||
Вероятность нахождения частицы в объеме dV |
|
||
|
dW = Ψ Ψ* dV = | Ψ |2 dV, |
(5) |
|
где Ψ = Ψ ( x, y, z, t ) – волновая функция, описывающая состояние частицы; |
|
||
Ψ* - функция, комплексно сопряженная с Ψ; |
|
||
| Ψ |2 = Ψ Ψ* - квадрат модуля волновой функции. |
|
||
Для стационарных состояний |
|
|
|
|
dW = Ψ Ψ* dV = | Ψ |2 dV, |
(6) |
|
где Ψ = Ψ ( x, y, z )– координатная (амплитудная) часть волновой функции. |
|
||
Условие нормировки вероятностей |
|
|
|
|
∫ | Ψ |2 dV = 1, |
(7) |
|
|
V |
|
|
где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам x, y, z от - ∞ до + ∞.
Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до x2:
|
|
W = |
∞∫ | Ψ ( x )|2 dx. |
|
|
(8) |
|
|
|
−∞ |
|
|
|
Среднее значение физической величины L, характеризующей частицу, находящуюся в со- |
||||||
стоянии, описываемом волновой функцией Ψ: |
|
|
|
|||
|
|
< L > = ∫ L | Ψ |2 dV. |
|
|
(9) |
|
|
|
|
V |
|
|
|
Общее уравнение Шредингера (зависящее от времени): |
|
|
|
|||
− |
=2 |
ΔΨ +U (x, y, z, t)Ψ = i= |
∂Ψ |
, |
(10) |
|
2m |
∂t |
где Ψ = Ψ ( x, y, z, t ) – волновая функция, описывающая состояние частицы;
ħ = h / 2 π;
16
m- масса частицы;
-оператор Лапласа (ΔΨ = ∂2Ψ / ∂x2 + ∂2Ψ / ∂y2 + ∂2Ψ / ∂z2 );
i = −1 - мнимая единица;
U = U ( x, y, z, t ) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется. Уравнение Шредингера для стационарных состояний:
ψ + |
2m |
(E −U )ψ = 0 , |
(11) |
|
=2 |
||||
|
|
|
где ψ = ψ ( x, y, z ) – координатная часть волновой функции
Ψ ( x, y, z, t ) = ψ ( x, y, z ) e – i * ( E / ħ ) * t );
U = U ( x, y, z ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором частица дви-
жется; E - полная энергия частицы. |
|
Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы: |
|
Ψ(x, t) = A e−=i (E t − px x), |
(12) |
где A – амплитуда волны де Бройля; px = k ħ - импульс частицы;
E = ħ ω - энергия частицы.
Собственные значения энергии En частицы, находящейся на n–м энергетическом уровне в
одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками" |
|
En = n2 (π2 ħ2) / ( 2 m l2 ), ( n = 1, 2, 3, …), |
(13) |
где l – ширина ямы.
Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному собственному значению энергии:
Ψ (x) = 2 |
sin nπ x , (n = 1, 2, 3, …). |
(14) |
|
n |
l |
l |
|
|
|
Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины l:
D = D e− |
2l |
2m(U −E ) |
, |
(15) |
= |
||||
0 |
|
|
|
|
где D0 – множитель, который можно приравнять единице; U - высота потенциального барьера;
E - энергия частицы.
Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора в квантовой механике:
2 |
|
2m |
|
2 |
2 |
|
|
∂ ψ |
|
|
mω0 x |
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
|
||
∂x2 |
+ |
E − |
2 |
|
ψ = 0 |
, |
где ( m* ω02 * x2 ) / 2 = U – потенциальная энергия осциллятора; ω0 - собственная частота колебаний осциллятора;
m - масса частицы.
Собственные значения энергии гармонического осциллятора: En = ( n + 1 / 2 ) ħ ω0, ( n = 0, 1, 2, …).
Энергия нулевых колебаний гармонического осциллятора: E0 = 1 / 2 ħ ω0.
(16)
(17)
(18)
17
Примеры решения задач
Пример №1. Кинетическая энергия Е электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношения неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.
Дано: |
Решение: |
Е = 10 эВ |
Неопределенность координаты и импульса электрона связаны соотноше- |
|
нием: |
l min = ? |
|
|
x p ≥ ħ, |
где x – неопределенность координаты электрона; p – неопределенность его импульса.
Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью x = l / 2. Соотношение неопределенностей можно записать в этом случае в виде
l/2 p≥ ħ,
откуда |
|
l ≥ 2ħ / |
p. |
Физически разумная неопределенность импульса |
p, во всяком случае, не должна превы- |
шать значение самого импульса р, т. е. p ≤ p. Импульс р связан с кинетической энергией Е соотношением
p = 2mE .
Заменим p значением 2mE (такая замена не увеличит l ).
Тогда: l min = 2ħ / 2mE .
Расчет: l min = 124 пм.
Ответ: l min = 124 пм.
Пример №2. Определить неопределенность х в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью ν = 1.5*106 м/с, если допускаемая неопределенность Δν в определении скорости составляет 10 % от ее величины.
Дано: |
Решение: |
vx = 1.5*106м/с |
Запишем соотношение неопределенностей для координаты х и проекции |
me = 9.1*10-31кг |
импульса рx и найдем ответ на вопрос задачи. |
vx = 10% vx = |
х * vx * me ≥ h /(2*π); |
= 0.15*106 м/с |
х = h/(2*π * me * vx). |
х = ? |
|
|
|
Ответ: х = 0.77 м
Пример №3. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике (яме) шириной L = 0.5 нм на первом энергетическом уровне. Найти вероятность нахождения электрона в интервале L / 4 , равно удаленном от стенок ящика.
18
Дано: |
Решение: |
L=0.5*10-9м |
Вероятность обнаружения частицы в интервале от х1 до х2 равна: |
n = 1 |
W = P = ∫│φ (х)│2*dx |
L = L / 4 |
Выразим х1 и х2 через L. |
W = P = ? |
|
|
х1 = L/2 – L/8 = 3*L/8; |
|
х2 = L/2 + L/8 = 5*L/8. |
Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ (x) = |
|
|
|
|
2 |
sin nπ x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т.к по условию задачи n = 1, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ (x) = |
|
|
|
2 |
|
sin π x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = |
5L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = P = |
|
∫8 |
|
|
2 |
|
sin2 π x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
3L L |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Преобразуем, произведя замену для вычисления интеграла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π x |
|
L |
|
|
|
|
|
2π x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1−cos |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
2 |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и разобьем на два интеграла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
2π x |
|
|
2π x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = P |
= |
|
|
|
|
|
∫dx |
− |
|
|
|
|
∫cos |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 2 |
|
2π |
|
|
|
L |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведем расчет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
L |
|
2π5L |
|
|
2π3L |
|
|
|
1 |
L |
|
|
L |
|
5π |
|
3π |
|
||||||||||||||||||||||||||
W = P = |
|
|
|
|
|
L − |
|
L − |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
−sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
sin |
|
−sin |
|
|
= |
||||||||||||
L |
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
L |
|
4 |
|
|
|
4 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
1 |
|
L |
− |
|
L |
= |
1 |
|
− |
π |
= 0.2485 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 |
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
L |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: W = P = 0,2485 ≈ 0,249.
Пример №4. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной
d = 0.5 нм Высота барьера U больше энергии Е электрона на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности D если энергия электрона Е = 100 эВ.
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E= 100 эВ |
|
По определению коэффициент прозрачности D равен: |
||||||||||
U = Е + 1%Е |
|
|
|
|
D = e |
− |
2d |
2m(U −E ) |
. |
|||
-10 |
м |
|
|
|
= |
|
|
|
||||
d = 0.5нм = 5*10 |
Подставив данные, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
D = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = e |
− |
2 5 10−10 |
2 9.1 10−31 (1.6 10−19 ) |
= 6.5 10 |
−3 |
. |
|
|||
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: D = 6.5*10-3.
19
Пример №5. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками". Запишите уравнение Шредингера в пределах "ямы" 0 ≤ Х ≤ l и решите его.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ Х ≤ l |
|
|
2 |
Ψ |
|
2m |
|
||
X < 0, U→ ∞ |
|
|
∂ |
+ |
(E −U )Ψ = 0 . |
||||
|
|
∂x2 |
|
|
|||||
|
|
|
=2 |
|
|||||
X > l, U→ ∞ |
|
|
|
|
|
0 ≤ Х ≤ l, U = 0, |
|||
Ψ(x) - ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2Ψ |
+ |
2m |
EΨ = 0 . |
|||||
|
∂x2 |
=2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
k2 = 2=m2 E ,
∂2Ψ + k2Ψ = 0 . ∂x2
Ψ(x) = A sin kx + B cos kx .
Ψ(0) = 0 , B = 0, Ψ(x) = A sin kx , k = nlπ ,
Ψ(x) = A sin |
nπ x |
. |
|
||
|
l |
Ответ: Ψ(x) = A sin |
nπ x |
. |
|
||
|
l |
Прмер №6. Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U, причем Е < U. Принимая А1 = 1 и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе областей 1 и 2, определить плотность вероятности | Ψ2(0) | 2 обнаружения частицы в точке х = 0 области 2.
U
E < U
U
1 2
x
Дано: Решение:
Е < U А1 = 1
Ψ1(0) = Ψ2(0)
Ψ1′(0) = Ψ2′(0) | Ψ2(0) | 2 = ?
Ψ (x) = eik1x + B e−ik1x , k |
= 2mE . |
|||
1 |
1 |
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
Ψ (x) = A eik2 x , k |
2 |
= 2m(E −U ) . |
||
2 |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
Ψ1′(x) = ik1eik1x + B1(−ik1)e−ik1x ,
20