Пример №7. Определить силу тока, протекающего по вольфрамовой проволоке, диаметром d = 0,8 мм, температура которого в вакууме поддерживается постоянной и равной t = 2800 0 С. Поверхность проволоки считать серой с поглощательной способностью АТ = 0,343. Удельное сопротивление проволоки при данной температуре ρ = 0,92 * 10 –4 Ом см. Температура окружающей проволоку среды t0= 17 0 С.
Дано: |
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
d = 0,8 мм = 8 10 –4 м |
Ризл = АТ σ T4 S |
|
|
|
|
|
||
t = 28000 С |
Рпогл = АТ σ T0 4 S |
|
|
|
|
|
||
Т = 3073 К |
Р = (Ризл - Рпогл) = АТ σ S (T4 - T0 4) |
|||||||
АТ = 0,343 |
Р = I 2 R |
|
|
|
|
|
||
ρ = 0,92 10 –4 Ом см = |
S = π d l; R = ρ l / Sсеч; Sсеч = π d 2 / 4 |
|||||||
= 9,2 10 –7 Ом м |
I = P = ATσ S(T |
4 |
4 |
2 |
d |
3 |
||
t0= 17 |
0 |
С |
|
−T0 )π |
|
|
||
|
R |
4ρ |
|
|
|
|||
T0 = 290 К |
|
|
|
|||||
Расчет: I = 48,8 А. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
I = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: I = 48,8 А. |
|
|
|
|
|
|
Занятие №34. Фотоэффект. Волны де Бройля
Основные формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергия кванта света (фотона): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = hυ, |
|
|
|
(1) |
|||||||
где h = 6,626·10-34 Дж·с постоянная Планка, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ (Гц) – частота колебания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Импульс и масса фотона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pγ = |
hυ |
|
, |
|
|
(2) |
|||||
|
c |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
mγ = |
hυ |
, |
|
|
(3) |
||||||
c2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где с = 3·108 м/с – скорость распространения света в вакууме. |
|
||||||||||
Длина волны де Бройля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если v << c, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = h |
= |
|
h |
, |
(4) |
||||||
mv |
|||||||||||
p |
|
|
|
|
|
||||||
если υ ≈ с, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
m0 v |
|
|
, |
|
||||||
|
|
|
|
v |
2 |
|
(5) |
||||
1− |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
c2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и
9
|
2π= |
1− |
v2 |
(6) |
|
λ = |
c2 |
. |
|||
|
m0v |
|
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:
|
m |
v 2 |
|
(7) |
|
hυ = AВЫХ + |
e |
|
, |
||
2 |
|||||
|
|
|
где АВЫХ – работа выхода электрона из металла, me = 9,1·10-31 кг – масса электрона.
Wк мах = e·Uз ,
где Uз – задерживающая разность потенциалов.
Максимальная скорость электронов вылетевших с поверхности.
vMAX = |
2WK = |
2eU . |
|
me |
me |
Длина волны, соответствующая красной границе фотоэффекта.
λКР.ГР = Ahc . ВЫХ
Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии:
λ = |
h |
(1−cosϕ) , |
|
mec |
|||
|
|
(8)
(9)
(10)
(11)
где φ – угол рассеивания электрона.
Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность
p = [ Ee / c ] ( 1 + ρ ) = ω ( 1 + ρ ), (12)
где Ee = N h υ – облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени);
ρ - коэффициент отражения; |
|
|
|
|
|
ω - объемная плотность энергии излучения. |
|
|
|
|
|
Связь дебройлевской волны частицы с импульсом p: |
|
||||
λ = h / p, |
(13) |
||||
где h – постоянная Планка. |
|
|
|
|
|
h = 6,63 * 10 – 34 Дж * с. |
|
|
|
|
|
Фазовая скорость волны де Бройля: |
|
|
|
|
|
υфаз = ω / k = E / p = c2 / υ, |
(14) |
||||
где E = ħ ω – энергия частицы (ω - круговая частота); |
|
||||
p = ħ k - импульс ( k = ( 2 π ) / λ - волновое число). |
|
||||
Групповая скорость волны де Бройля: |
|
|
|
|
|
u = |
dω |
= |
dE |
. |
(15) |
dk |
|
||||
|
|
dp |
|
Примеры решения задач
Пример №1. Электрическая лампа мощностью 100Вт испускает 3% потребляемой энергии в форме видимого света (λ=550 нм) равномерно по всем направлениям. Сколько фотонов види-
10
мого света попадает за 1с в зрачок наблюдателя (диаметр зрачка 4 мм), находящегося на расстоянии 10 км от лампы?
11
Дано: |
Решение: |
r = 10000 м |
Полная световая энергия, приходящаяся на единицу площади поверхно- |
Pл = 100 Вт |
сти, удаленной от источника на расстояние r, равна: |
λ = 550 нм = |
Sср=4πr2, |
= 5,5·10-7 м |
Wсв=0,03·100вт·1с/4πr2. |
d = 4·10-3 м |
Энергия одного кванта света |
t = 1 c |
εγ = hυ=hc/λ. |
|
Число фотонов, попадающих на единицу площади поверхности, удален- |
Nγ=? |
|
|
ной на расстояние r от источника: |
|
N`γ=0,03·P·t·λ/4·π·r2·h·c. |
Площадь зрачка наблюдателя
Sзр=π·d2.
Тогда
Nγ= N`γ· Sзр =0,03·P·t·λ·π·d2/4·π·r2·h·c.
Проверка единицы измерения расчетной величины
Nγ =1=Дж·м2·м·с/м2·Дж·м·с=1
Расчет числового значения: Nз=8,3·104 фотонов. Ответ: Nз=8,3·104фотонов.
Пример №2. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой υ1 = 2,2·1015, полностью задерживается разностью потенциалов
Uз1 = 6.6 В, а вырываемые светом с частотой υ2 = 4,6·1015 Гц разностью потенциалов
Uз2 = 16.5 В.
Дано: |
Решение: |
|
υ1 = 2,2·1015 Гц |
Запишем уравнение Эйнштейна для явления внешнего фотоэффекта: |
|
Uз1 = 6.6 В |
h·υ1 |
= Aвых+е·Uз1, |
υ2 = 4,6·1015 Гц |
h·υ2 |
= Aвых+е·Uз2. |
Uз2 = 16.5 В |
|
|
h = ? |
|
|
|
|
|
Выразим изАвых:
Авых = h·υ1- е·Uз1,
и подставим в уравнение Эйнштейна
h·υ2 = h·υ1 -е·Uз1+ е·Uз2.
Преобразуем так:
h·( υ2-υ1) = е·(Uз2-Uз1).
И получим:
h = e·(Uз1-Uз2)/( υ2- υ1).
Проверим единицу измерения:
(h) = Дж·с=Кл·В/с-1= Дж·с
Расчет: h=1,6·10-19Кл·9,9В/2,4·1015=6,6·10-34Дж·с Ответ: h=6.6·10-34 Дж·с.
12
Пример №3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь прошел ускоряющую разность потенциалов U=30кВ. Найти длину волны де Бройля.
Дано:
v0 = 0 me=9.1*10-31кг
Uуск.=30·103=3·104В
λ=?
Решение:
По определению длина волны де Бройля равна:
λ = h/p.
Определим, классически или релятивистки движется электрон. Для этого найдем кинетическую энергию электрона и сравним ее с энергией покоя.
Е0=m0·c2.
Если Тк =< T0 , то движение электрона является релятивистским, если Тк<<T0, то классическим.
Т = е·U1 = 1.6·10-19 ·3·104Дж = 4.8·10-15Дж = 3·104 эВ; еU = me ·v2 / 2.
V = 2eU .
me
E0 = m0·c2=0.5 МэВ = 5·105эВ
Т. к Т<<Е0- имеем дело с классическим случаем движения электрона. Тогда
λ = |
h |
= |
h . |
m |
2eU |
|
2emU |
m |
|
|
|
|
|
|
Расчет числовой величины:
λ= 11, 61 10 –25 м.
Ответ: λ = 11, 61 * 10 –25 м.
Пример №4. Определить максимальную скорость υмах фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ1 = 0,155 мкм; 2) γ – излучением с длиной волны λ2 = 2,47 пм.
Дано: |
Решение: |
λ1 = 0,155 мкм = |
Максимальную скорость фотоэлектронов определим из уравнения Эйн- |
= 0,155 10 –6 м |
штейна для фотоэффекта: |
λ2 = 2,47 пм = |
ε = А вых + Ек мах. |
= 2,47 10 –12 м |
Энергия фотона: |
А вых = 4,7 эВ |
ε = h c / λ. |
|
Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, какая ско- |
υмах |
|
|
рость ему сообщается, может быть выражена по классической формуле: |
|
Ек = m0 υ2 / 2, |
или по релятивистской:
Ек = ( m - m0 ) с2.
Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона во много раз меньше энергии покоя электрона, то может быть применена классическая формула; если же энергия фотона сравнима с энергией покоя электрона то вычисление по классической формуле приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по релятивистской формуле.
ε1 = h c / λ1. ε1 = 8 эВ.
13
Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая:
ε1 = А вых + m0 υ2 / 2,
откуда:
v = 2(ε1 − Aвых ). |
|
max |
m0 |
|
Расчет:
υмах = 1,08 Мм/с.
Вычислим энергию фотона γ – излучения:
ε2 = h c / λ2 = 8,04 * 10 –15 Дж = 0,502 МэВ.
Работа выхода электрона пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ – фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:
Ек мах = ε2 = 0,502 МэВ.
Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии:
Ек мах = Е0 ( 1/ 1−β2 – 1 ),
где Е0 = m0 с2, выполнив преобразования получим:
β = 1−β2 (2 Е0 + Ек мах) Ек мах / ( Е0 + Ек мах) = 0,755
Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ – излучением:
υмах = с β = 226 Мм/с.
Ответ: 1) υмах = 1,08 Мм/с. 2) υмах = 226 Мм/с.
Пример №5. Определить красную границу λ0 фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ= 400 нм максимальная скорость фотоэлектронов равна υмах = 0,65 Мм/с?
Дано:
λ= 400 нм = = 4 * 10 –7 м
υмах =0,65мм/с = = 6,5 * 10 5 м/с
λ0 = ?
отсюда:
Решение:
При облучении светом, длина волны λ0 которого соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следовательно и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна для фотоэффекта запишется в виде:
ε = А вых + Ек;
h c / λ0 = А,
λ0 = h c / А.
Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйнштейна:
А вых = ε - Ек = h c / λ - m υ2 / 2 = 3,05 * 10 –19 Дж,
тогда:
λ0 = 640 нм.
Ответ: λ0 = 640 нм.
Пример №6. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ = 90 0. Энергия ε, рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.
14
Дано: |
Решение: |
θ = 90 0 |
Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой |
ε, = 0,4 МэВ |
Комптона в виде: |
|
λ, - λ = 2 * (2 π ħ / m с ) sin 2 θ/2, |
ε = ? |
преобразуем, с учетом:
ε= 2 π ħ с / λ,
адлины волн λ, и λ выразим через энергии ε, и ε соответствующих фотонов:
2 π ħ с / ε, - 2 π ħ с / ε = (2 π ħ с/ m с2 ) 2 sin 2 θ/2
ε = ( ε, m с2 ) / m с2 - ε, 2 sin 2 θ/2 = ε, Е0 / Е0 – 2 ε, sin 2 θ/2, где Е0 = m0 с2
Расчет: ε = 1,85 МэВ.
Ответ: ε = 1,85 МэВ.
Пример №7. Параллельный пучок света длиной волны λ = 500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление р = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию фотонов n в пучке; 2) число фотонов n1 , падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1 с.
Дано:
λ = 500 нм S = 1 м2
р = 10 мкПа t = 1c
n = ? n1 = ?
И получим:
Решение:
Концентрация фотонов n в пучке может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии ω на энергию одного фотона ε
n = ω / ε .
Из формулы
p = ω * ( 1 + ρ ),
определяющей давление света, где – коэффициент отражения найдем:
ω = p / ( 1 + ρ ).
n = p / ( 1 + ρ ) ε .
Энергия фотона зависит от частоты, а следовательно и от длины световой волны:
ε = h υ = h c / λ.
Получим искомую концентрацию фотонов:
n = p λ / ( 1 + ρ ) h c.
Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности принимаем равным нулю. Расчет:
n = 2,52 * 10 13 м –3 .
Число фотонов n1, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1 с, найдем из соотношения n1 = N / S t , где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S.
Но N = n c S t, следовательно, n1 = n c S t / S t = n c
Расчет:
n1 = 7, 56 * 10 21 м –2 с –1 Ответ: n = 2,52 * 10 13 м –3, n1 = 7, 56 * 10 21 м –2 с –1.
15