Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Геометрия

Файл:

геометрия метод указания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

1.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Решение задачи 76.

Построить проекции линии пересечения поверхностей

À2 =(Â2 )

вращения:

∩ Λ = m,n.

Алгоритм построения.

∩ Λ = m,n (2 плоские кривые-эллипсы)

Зона видимости

(по теореме Монжа)

относительно П1

22 =(22 ′)

А и В - точки двойного соприкосновения.

1. Построение горизонтальной

Λ2

проекции эллипса - п1 .

Íà Ï2

на линии п2

возьмем

несколько точек и найдем их

горизонтальные проекции по

принадлежности конусу .

С учетом видимости соединим

Λ1

точки плавной кривой → ï1 .

21 ′

Â1

(3 )

À2 =(Â2 )

À1

22 =(22 ′)

52 =(52

′)

Зона видимости

относительно П1

2. Построение горизонтальной

проекции эллипса - т1 .

Возьм¸м на т2

несколько точек и

найдем их горизонтальные проекции

по принадлежности конусу

5 ′

2 ′

Λ1

Соединяя их с учетом видимости,

Â1

построим

ò1.

à ê

(6 )

(3 )

íè

îå

òð

ò1

À1

Ð-61

Решение задачи 78.
Построить три проекции конуса с призматическим вырезом,
на виде слева совместить половину вида с половиной разреза.
12
					13
22	=42			43	23
					23
		62
		62			63
					63
			32 =52		33
			32 =52		53
	41
		61	51
11
	21
			31
			Ð-62

Задачи в рабочей тетради на странице 37 графически решаются просто. Такие задачи приводятся для того, чтобы Вы обратили особое внимание на их решение, т.к. в дальнейших сложных (конструктивных) задачах эти решения будут определять "решающее положение оригинала" (Модуль 4, ст. 23).

Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами (Модуль 4, стр. 8)

К таким задачам относятся: задачи на определение расстояний от точки до прямой, до плоскости, до поверхности; между параллельными и скрещивающимися прямыми; между параллельными плоскостями и т. п.

Все эти задачи объединяют три обстоятельства:

во-первых, поскольку кратчайшим расстоянием между такими фигурами является перпендикуляр, то все они сводятся к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

во-вторых, в каждой из этих задач необходимо определять натуральную длину отрезка, то есть решать вторую основную метрическую задачу. в-третьих, это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов, и на каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

Решение задачи 81	Определить расстояние между прямыми.
	Прямые а и в занимают положение горизонтально проецирующих прямых

	à		à2		b		à2		b
	à	b2			2				2
	2	b2						ï2
							12	ï2	22
							12		22
	à1		à1	ï1		à1	=11	ï1
				ï1				ï1
		b1			b1				b1 =21
									b1 =21
Рис. 81.1 Расстояние между			Ðèñ. 81.2			Рис. 81.3 Горизонтальная
прямыми - это перпендикуляр			п-горизонталь, т.к.			проекция п →ï1			есть искомая
прямыми - это перпендикуляр			à è â Ï1 , íî ï		à è â,	проекция п →ï1			есть искомая
ï (ï	,ï ).		à è â Ï1 , íî ï		à è â,	величина, т.к. перпендикуляр
1	2		значит п \|\|Ï1 .			величина, т.к. перпендикуляр
			значит п \|\|Ï1 .			занимает положение горизонтали.

Рис . 81.3 - решающее положение для определения расстояния между параллельными прямыми.

Решение задачи 82

Рис. 82.1 Расстояние между прямыми - это перпендикуляр п (п1 ,ï2 ).

Определить расстояние между прямыми. Прямые с и d параллельны и занимают

положение фронталей.

c2	12
c2
	ï2	d2
	22	d2
	22	d1
	ï21	d1
11	ï21	c1
	1

ï2

21 ï1

ï - натур. вел. расст.

Рис. 82.2 Начинаем построение
ñ ï2 (теорема о проецировании	Рис. 82.3 Определяем п методом
прямого угла), п2 ñ2 ,d2 →ï1	прямоугольного треугольника.
Натуральной величины на чертеже
íåò, ò.ê. ï(ï1 ,ï2 ) - прямая

общего положения

Ð-63

Решение задачи 83

l2	m2
l1	m1

Ðèñ. 83.1

Рис. 83.1 Расстояние между прямыми - это перпендикуляр п (п1 ,ï2 ).

Определить расстояние между прямыми.

Прямые: l - горизонтально проецирующая, т - общего положения.

			ï2	1
				2
l2	m2	l			m
l2		l			2
		2
l1	m1	l			m
	m1	1	ï1		m
	ï1		ï1		1
	Ðèñ. 83.2			1	Ðèñ. 83.3
	11			1
				1
Ðèñ. 83.2 Ò.ê. l \|\|Ï1 , то перпендикуляр			Рис. 83.3 Горизонтальная
к ней - есть горизонталь, и по			проекция п →ï1 åñòü
теореме о проецировании прямого			искомая величина.
угла проводим п1 ò1 , ï ∩ ò →1 (11 ).

Рис . 83.3 - решающее положение для определения расстояния между прямыми.

Решение задачи 84 Определить расстояние от точки до прямой:

Â2	ï2	Â2
à2	à2
		Рис. 84.2 Горизонтальная
B1	ï	B1 проекция п →ï1 есть искомая
	1	величина, т.к. перпендикуляр
a1		величина, т.к. перпендикуляр
a1	a1	занимает положение горизонтали
Рис. 84.1 Расстояние между точкой и	a1	занимает положение горизонтали
Рис. 84.1 Расстояние между точкой и		(аналогично з. ¹81)

прямой - это перпендикуляр п (п1 ,ï2 ).

Рис . 84.2 - решающее положение для определения расстояния между точкой и прямой.

Решение задачи 85 Определить расстояние от точки до прямой:

f2	ï	f	ï2
	2	2
	M2		M2
M2	M2		M2
M2
f1	ï1	f1	ï1
	M1	f1	M1
	M1		M1
M1

ï - натур. вел. расст.




		y	f1
			f1

	Рис. 85.2 Начинаем построение	ñ ï2 ,
Рис. 85.1 Расстояние между	ò.ê. f \|\|Ï1 , ï2 f2 (теорема о	Рис. 85.3 Определяем \|ï \|
Рис. 85.1 Расстояние между	проецировании прямого угла).	методом прямоугольного
прямыми - это перпендикуляр		методом прямоугольного
прямыми - это перпендикуляр		треугольника.
ï (ï1 ,ï2 ).	На чертеже нет натуральной	треугольника.
ï (ï1 ,ï2 ).	На чертеже нет натуральной
	величины п, т.к. п(п1 ,ï2 ) - прямая
	общего положения

Просмотрите решенные задачи, назовите номера задач, в которых сразу получается "решающее положение",

без дополнительных построений. Алгоритм решения написать самостоятельно (Модуль 4).

Ð-64

Решение задачи 86		Построить сферу с центром в точке О, касательную к прямой h.
Если найти точку касания сферы с прямой h(h1 ,h2 ) и соединить ее с центром О(О1 ,Î2 ), то этот отрезок
определит радиус R(R1 ,R2 ) сферы. Кратчайшее расстояние определяется перпендикуляром, следовательно,
проводим	R h (R1 h1 ).				Î
					2
	O2		h2		z					Î2
h2	R2		h2		z		h2
h2	R2		Ê				h2
			2
	Ê2		R-натур. вел.
			R-натур. вел.
	O1		радиуса
	O1		s		Î
			s		1		h1			Î
			K				h1			Î
h1	R1		0						R
				Ê	h1				R
			z	Ê	h1		K
Ê1								0
Ê1
ОК = R - прямая общего положения,			Методом прямоугольного треу-				Построить проекции
поэтому на П1 è Ï2 радиус			гольника определяем натуральную				Построить проекции
поэтому на П1 è Ï2 радиус			гольника определяем натуральную				сферы, замерив полученное
спроецировался с искажением			величину R(ОК) → Î1 Ê0 .				сферы, замерив полученное
спроецировался с искажением			величину R(ОК) → Î1 Ê0 .				значение			R (Î1 Ê0 ).
							значение			R (Î1 Ê0 ).
Решение задачи 87		Через точку М провести прямую п Σ(h 2 k)
	Взаимная перпендикулярность прямой и плоскости подробно рассмотрена
	в Модуле 4, стр. 2,3,4.				n	h
					n	h
	ï Σ n1					f1
	Ì2				2		2
	Ì2					Ì2
h2						Ì2
h2										f2
						n2				f2
k2					h2
k2
					k2

k1										f1
k1
h	Ì1				k1
1
	n1				h1	Ì1
Σ-плоскость общего положения, но задана						n1
двумя параллельными горизонталями,
поэтому сразу можно построитьчерез				В любом месте построить f(f1				,f2	), принадлежащую
ò.Ì1	ï1 , ï1 h1 .			плоскости Σ, затем через М				п провести n			f .
							2		2	2	2
Решение задачи 88		Задачу решить самостоятельно, построив сначала h и f Σ, затем
			ï1 h1 , ï2 f2							Ð-65

Решение задачи 89. Определить расстояние от т.М до плоскости S(h ∩f).

Как уже отмечалось (М4 -8), это сложные по составу задачи, они решаются в несколько этапов,

èна каждом этапе решается отдельная, небольшая конкретная задача.

Âданном случае, эта графически сложная задача состоит из трех задач, которые встречались Вам раньше:

1)Из т.М построить п Σ (ç. ¹87, 88);

2)Найти точку пересечения п ∩ Σ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму);

3) Σ -плоскость общего положения, следовательно, п - прямая общего положения									(Ì4-2,3) .
Методом прямоугольного треугольника найти \|ï\|(ç.¹82,85,86)										Ã2
h				Ã2				Ê0	y	Ã2	h2
h	h			Ã2				Ê0	y
2	h			22
	2			*						*
				*					ï	*
ï				ï2					ï
ï									2
2					натур. вел. расст.
				Ê2	натур. вел. расст.				Ê2
		12	*	Ê2				*	Ê2
M2	M2	12	*					*
f2				f2				M2	f2
				f2				M2	f2
f1		11	*	f1				*			f1
			*					*
ï1				Ê1					Ê1
ï1		ï1					y	ï1
		ï1					y	ï1
h1	M1		h1	21
	M1			21						* h1
M1				*				M1		* h1
M1	Рис. 89.2 Построить точку							M1
	Рис. 89.2 Построить точку							Рис. 89.3 МК-отрезок
Рис. 89.1 Из точки М провести	пересечения п ∩Σ К, 1 ГПЗ-3алгоритм.							Рис. 89.3 МК-отрезок
перпендикуляр к плоскости Σ:	Г-плоскость посредник, Г _ П2							общего положения.
перпендикуляр к плоскости Σ:	Г-плоскость посредник, Г _ П2				Ã =ï			\|ÌÊ\|= Ì2 Ê0 - натуральная
ò.å. ï1 h1 , n2 f2				ï Ã	Ã =ï			\|ÌÊ\|= Ì2 Ê0 - натуральная
ò.å. ï1 h1 , n2 f2				ï Ã	2	2		величина.
					2	2
	Ã ∩ Σ = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ-2 алгоритм,
	Ã ∩ Σ = 1,2 (прямая) 2 ГПЗ-2 алгоритм,

11 21 ∩ ï1 Ê1 , Ê ï Ê2 . МКискомый отрезок.

Решение задачи 90. Определить расстояние от т.М до плоскости Σ(Σ2).

Если плоскость Σ занимает проецирующее положение, то прямая, перпендикулярная ей, является линией уровня (М4-3, рис. 4-8, 4-9).

	S2			h2
	S2			Σ2=f2
M2				Σ2=f2
M2
			M2	f1
				f1
M1				h1
Ðèñ. 90.1	Ò.ê. Σ \|\|Ï2	,	M1	Рис. 90.2 Построить h,f Σ
Ðèñ. 90.1	Ò.ê. Σ \|\|Ï2	,
òî ï Σ - фронталь
òî ï Σ - фронталь

ï2 Σ2 ; ï1 линии связи.

(задача ¹27)

натур. вел. расст. Ê2

Σ2

ï1

Ê1

Рис. 90.3 Построить п1 h1 , ï2 f2 . |ÌÊ|= Ì2 Ê2 - натуральная величина расстояния от точки до плоскости.

Рис . 90.3 - решающее положение для определения расстояния между точкой и плоскостью. Ð-66

Решение задачи 91.

Построить все множество точек, одинаково удаленных от точек А и В.

Все множество точек, равноудаленных от двух точек (т.А и т.В),

это плоскость, например, Σ ( MND), проведенная через середину

(ò.Ñ→АС=СВ) расстояния между ними., Σ ÀÂ

Â2

Ñ2

À2

Ñ1

À1

Построим через т. С плоскость Σ(h ∩ f),

Соединим т.А и т.В,

разделим

пополам графически (циркулем).

h1 À1 Â1 ,

A2 B2 .

Решение задачи 92

Определить расстояние от точки В до прямой а..

В этой задаче нужно построить перпендикуляр к прямой общего положения. (М4 - 4. Взаимная

перпендикулярность двух прямых общего положения). Этапы решения:

1) Из т.В построить Σ(h ∩ f) à (ç. ¹91);

2) Найти точку пересечения

à ∩ Σ К (первая ГПЗ по 3 алгоритму) (з. ¹89);

3) а - прямая общего положения, следовательно, п (ВК) - прямая общего (М4-4)

положения. Методом прямоугольного треугольника найти |ÂÊ|(ç.¹82,85,86)

1 *

Ê2

2 *

Ê1

Ã1

Построим плоскость Σ(h∩f) à,

натур. вел. расст.

Ê0

Решить задачу:

причем h1 à1 ;

f2 . a2 .

Σ ∩ à = Ê 1 ÃÏÇ,

ВК-отрезок общего положения.

3 алгоритм, см. задачу ¹ 89.

|ÂÊ|= Â1 Ê0 - натуральная

Ð-67

величина.

Решение задачи 93.	Через прямую т провести плоскость G, перпендикулярную заданной
	плоскости S.
Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная
другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения
сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости (М4-5).
f2	m2		f2	m2
a2		a2		n
a2		a2	h2	2
h			h2
2				Ê2
b2			b2	Ê2
b2			b2
a1	m1
a1		a	f1	m
f		1	f1	m
1				1
h1			n	Ê1
			1
			h
b1			1
b1			b1
			b1
В плоскости Σ построить в любом месте		Построить Г Σ,	Ã = ò ∩ ï = K,
фронталь и горизонталь - h,f Σ(à ∩â)		Через т.К провести	ï Σ ï1 h1 , n2 f2.
Решение задачи 95.	Построить конус вращения, если S - его вершина, а точка М
Решение задачи 95.	принадлежит основанию, расположенному в плоскости Σ.
Чтобы решить задачу, сначала нужно построить ось вращения конуса ι (ι1 ι2 ) пепендикулярно основанию.
Но основание принадлежит Σ, значит ι Σ, íî Σ \|\|Ï1 , òî îñü ι - прямая уровня (См. з. ¹90), в данном
случае - горизонталь. Следовательно ι1 Σ1 ;		ι2 линиям связи О1	è Î2 ..
Ì2		Ì2
Î2	ι2	Ì2
Î2		S2
			Î2
				S2


S		Σ1
1		S1
	ι1	S1		S1
	ι1			S1
Ì		Ì1
1
Î1		R основания	Î
Î1			Î
			1
Провести ι Σ т.О. Полученное графическое
решение соответствует графическому условию задачи ¹25,
поэтому подробности дальнейшего решения не приводятся.
		Ð-68

Решения задачи 100.

Определить расстояние от точки до прямой.

Вы могли убедиться в графической сложности решения подобной задачи - ¹ 92. Применение способов

преобразования комплексного чертежа упрощает решение (М4 -23).

Такое положение оригинала относительно некоторой плоскости проекций, при котором по проекции

можно непосредственно определить нужную метрическую характеристику, называется "решающим

положением" оригинала.

Ì2

à2

Рис . 84.2 - решающее положение для

à2

ï2

Â2

определения расстояния между точкой

и прямой. Горизонтальная

проекция п →ï1 есть искомая

величина, т.к. перпендикуляр

занимает положение горизонтали

в системе П

- Ï .

à1

Ì1

Прямая а занимает общее положение, чтобы добиться решающего положения,

нужно решить первую и вторую задачи преобразования комплексного чертежа.

Ì2

õ1 2

Ï1

Ì1

à1

Ï2

õ1 2 Ï

à1

Ê4

Ì1

à5 =(15 )=25 =Ê5

Ê4

Ðèñ. 100.1

Ì4

ï5 - натур.

Решение первой задачи

Ï4 24

вел. расст.

преобразования к.ч.

Ì4

1) Фиксируем систему П1 -Ï2 →

4 5

Ï Ï

проводим ось Х1 2

õ4 5

2) Ï2 →Ï4

Ï, Ï4||à Ï1}õ1 4

||à4

Ðèñ. 100.2

Решение второй задачи преобразования к.ч.,

т.е. поставить прямую а в системе П4 -Ï5

à(à4 ) - заняла положение прямой уровня

в проецирующее положение.

в системе П1

- Ï4 , при этом расстояние КМ

Ï1 → Ï5 , ÏÏ4

àÏ5 }õ4 5 à4

будет перпендикулярно а (К4 Ì4 à4 ) ï4

Ð-69

Ì2

ï2

à2

Продолжение задачи 100.

Ê2

Закончить решение задачи - это значит

Ï2

построить проекции точки К на П1

è íà Ï2 ,

т.е. сделать возврат

îò Ê5 → Ê4 → Ê1

→ Ê2 .

1 2

Ï1

Построить МК (прямая общего положения)

à1

в системе П

-Ï .

ï1

Ê1

Ê4

à4

à5 =(15 )=25 =Ê5

s ï5

Ðèñ. 100.3

Ì5

Ì4

õ4 5

Решения задачи 101.

Определить расстояние между прямыми.

â2

à2

Чтобы решить задачу,

à2

ï2

т.е. добиться решающего

положения, нужо решить

первую и вторую задачу

преобразования комплексного

à1 =11

ï1

чертежа.

Подробности см. М4-23

b1 =21

(ðèñ. 4 - 52, 53)

à ||в - прямые общего положения.

Решающее положение для прямых а и в

в системе П1 -Ï2 .

Решения задачи 102. Определить расстояние между прямыми.

Чтобы решить задачу,

т.е. добиться решающего

положения, нужо решить

первую и вторую задачу

преобразования комплексного

чертежа, т.е. одну из прямых

поставить в проецирующее

положение.

ï1

c,d - скрещивающиеся прямые,

Решающее положение для прямых

ñ è d

занимают общее положение.

Ð-70

в системе П1 -Ï2 , êàê â ç. ¹83 (ðèñ. 83.3)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Геометрия

#
26.07.20161.5 Mб23геометрия метод указания.pdf
#
26.07.2016711.97 Кб16геометрия модуль 2.pdf
#
26.07.2016402.34 Кб12геометрия модуль 3.pdf
#
26.07.2016409.33 Кб11геометрия модуль 4.pdf
#
26.07.2016576.48 Кб38геометрия раб тетрадь.pdf
#
26.07.2016556.58 Кб18геометрия.pdf