2

ex

6

0

а) ∫ dx ∫ f(x, y) dу ; б) ∫dy

∫ f (x, y) dx .

−1

0

1

− 6 y− y2

2. Вычислить

а) ∫∫

(4y + 3) dx dy ,

если D: x + y = 2, y = 0, y = x ;

D

б) ∫∫

e y dx dy ,

если D: x = 1, x = 2, y = 0, y = ln x.

D

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫ cos x2 + y2 dx dy , если D: x2 + y2 = π 2, x2 + y2 = 4π 2.

D

4. Найти массу пластинки D, если плотность μ = x y ,

D: y = 3x,

x = 3y,

x + y = 4.

= 4 − x ,

x = 0, y = 0.

6. Вычислить

∫∫∫

1

dx dy dz ,

x

y

z

3

V

1

+

+

+

2

3

4

если V: x ≥ 0,

y ≥ 0, z ≥ 0, 6x + 4y + 3z ≤ 12.

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

∫∫∫

(x2 + z2) dx dy dz ,

если V: x2 + z2 = 2y,

y = 2.

V

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫ x y dx dy dz ,

если V: x2 + y2 + z2 = z,

x ≥ 0, y ≥ 0.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x2 + y2 = z2 - 4,

z = 4.

D

2

б) ∫∫

y

dx dy ,

если D: y = 2, x = y, x y = 1.

2

D

x

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫ (x2 + y2)2 dx dy ,

если D: x2 + y2 = 4, x ≤ 0, y ≤ 0.

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = 6x3 y3,

D: x2 + 4y2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y = ln

x,

y = 1,

x = 0,

y = 0.

6.

Вычислить

∫∫∫

y2 cos π xy dx dy dz ,

V

2

если V: x = 0, y = -1,

y = x,

z = 0, z = 2 π 2 .

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

∫∫∫ z2 (x2 + y2) dx dy dz ,

если V: x2 + y2 + 2x = 0, z = 0, z = 4.

V

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫ x2 + y2 + z2 dx dy dz ,

если V: x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 10 - x,

x2 + y2 = 6x,

x2 + y2 = 8x.

e

2+

1− x

3

9− y2

а) ∫ dx ∫e−1

f(x, y) dу ; б) ∫dy ∫ f (x, y) dx .

1

ln x

0

y−3

2.

Вычислить

а) ∫∫

x sin (x + y) dx dy ,

если D:

0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π

;

D

2

б) ∫∫

3e

x

dx dy ,

если D: x = 0,

y = 2,

y = ex.

2

D

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

x2 y dx dy ,

если D: y = 0, y = 2ax − x2 .

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = 3x + y,

D: y = 2x,

x = 2y,

x y = 2.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями

x = - 2, y = 0,

y = e-x – 1.

6.

Вычислить

∫∫∫

x cos (y + z) dx dy dz ,

V

если V: x = 0,

z = 0,

x =

y ,

y + z =

π .

2

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

∫∫∫

2z dx dy dz ,

если V: z = 0,

z = 4 - x2 - y2,

z = 4(1 - x2 - y2).

V

1.

Вычислить ∫ xydl по дуге окружности r = b sin 2ϕ лежащей в первой четверти.

L

2.

Вычислить∫ yzdx + xzdy + xydz , где L – дуга кривой x = t, y = t 2 , z = t 3 от t = 0 до

4.

Вычислить ∫∫ 1+ x2 + z2 dσ по конечной части поверхности 2z = 1 − x2 − y 2 .

σ

5.

Вычислить ∫∫(ax2 + by + cz2 )dxdz , где σ - внутренняя сторона поверхности

σ

Вариант № 2

1.

Вычислить ∫ xyzdl по дуге кривой x = t 2

2 , y = t ,

z = 8t 3

3 ,

L

от t = 0 до t = 1.

2.

Вычислить∫cos2 xdx + dy

y

3 , где L – дуга кривой y = tgx от

L

x = π

4

до x = π

3

.

3.

Применив формулу Грина, вычислить ∫dy − ydx ,

где L – эллипс x 2

4 + y 2

9 = 1 .

4.

Вычислить ∫∫(x2 + y2 + z2 )dσ по верхней половине сферы x2 + y2 + z 2

= R2 .

σ

4.

Найти момент инерции полусферы z = a 2 − x 2 − y 2 относительно оси oz.

5.

Вычислить ∫∫(2x + 3y + 4z)dxdy , где σ - верхняя сторона

σ

плоскости x + y + z − 6 = 0 , вырезанной цилиндром x 2

4

+ y 2

9

= 1.

Вариант № 4

1.

Вычислить ∫ xy2 dl по дуге окружности x = a cost, y = a sin t , лежащей в первой

L

четверти.

2.

Вычислить∫ xdx + ydy + zdz , где L – дуга кривой x = 2t 2 , y = 2

t 3 , z = t 5

от

L

5

t = 0 до t = 2 .

3.

Найти массу участка линии y = ln x между точками с абсциссами

3 и 8 , если

плотность линии в каждой точке равны квадрату абсциссы точки.

4.

Вычислить ∫∫dσ (1+ x + y + z)2 по поверхности тетраэдра

σ

x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 .

5.

Вычислить ∫∫(x2 − 2y2 + 6z)dxdy , где σ - внешняя сторона

σ

1. Вычислить ∫ x2 + y2 dl по дуге лемнискаты r = 0,5

sin 2ϕ

L

от

ϕ = π

4 до

ϕ = π

3 .

2.

Вычислить∫ xydx + x2 dy , где L – дуга кривой x =

t 3 , y = t 3

L

2

от t = −1 до t = 0 .

(2;1)

3.

Вычислить

∫[(x + y + 1)l x − l y ]dx + [l x − (x + y + 1)l y ]dy .

(1;0)

4.

Вычислить ∫∫xyzdσ , где σ - часть поверхности z = x2 + y2 , расположенной

σ

между плоскостями z = 0 и z = 1.

5.

Вычислить ∫∫(x2 + y2 + z2 )dxdz , где σ - внешняя сторона полусферы

σ

y =

1 − x2 − z 2

, вырезанной конусом y = x2 + z 2 .

2.

Вычислить ∫sin3 xdx + dy

y

2 , где L – дуга кривой y = ctgx

L

от

x = π

4

до x = π

3

.

3.

Показать, что работа, производимая силой f f = {3x2 + 4xy;2x2 − 3y2}не зависит от

пути с началом в точке M 1 (0;0) и концом в точке M 2 (1;1) . Вычислить величину работы.

4.

Вычислить ∫∫(x2 + y2 )dσ по канонической поверхности z2 = x2 + y2 ,

σ

заключенной между плоскостями z = 0 и z = 1 .

5.

Вычислить ∫∫ yzdydz + xzdxdz + yxdxdy, где σ - внешняя сторона треугольника,

σ

Вариант № 13

1.

Вычислить ∫

1+ cos4 xdl по дуге y = tgx от x = π 3 до x = π 4 .

L

2.

Вычислить ∫ x2 dx + xy2 dy , где L – отрезок прямой от точки A(0;1) до точки B(1;-2).

L

3.

Применив формулу Грина, вычислить ∫ 2xy(dx − dy) , где L – контур, образованный

L

линиямиx = 2y − y 2

и x = 0 .

4.

Вычислить ∫∫(3x2 + 3y2 + 3z2 )dσ по части поверхности y = x 2 + z 2 ,

σ

Вариант № 14

1.

Вычислить ∫cos2 x

1+ cos

2

dl по дуге кривой от x = 0 до x = π .

L

x

2.

Вычислить∫ xyz(dx + dy + dz) , где L – дуга кривой

x = t , y = 1

t

, z = t

от t = 1

до

L

t = 2.

3.

Вычислить работу, производимую силой f = 4x6i

+ xy j вдоль дуги кривой

y = x3 от точки O(0;0) до точки B(1;1).

4.

Вычислить ∫∫ 1+ y2 + z2 dσ по части поверхности x = zy , вырезанной

σ

цилиндром (x2

+ y 2 ) = 2zy .

5.

Вычислить ∫∫(x2 + z2 + y)dxdz , где σ - внешняя сторона

σ

поверхности y =

x 2 + z 2

, отсеченной плоскостями y = 0 и y = 5 .