математика индивид дом задания

2.

Вычислить

а) ∫∫

(x + 2y) dx dy , если D: y2 = x + 4 , x = 5;

D

б) ∫∫

1 − x2 − y2

dx dy , если D: x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0 , y ≥ 0.

D

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫ (y +1) dx dy ,

если D: x2 + y2 = y ;

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = 5x2 + y , D: y2 = 4x ,

x = 1 , y = 0.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями r = a

(1 – sinϕ ).

6.

Вычислить ∫∫∫

(3x+6y) dx dy dz , если V: z = x2 + y2, z = 0, y = x ,y = 0,

x = 1.

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

1

1− x2

1− x2 − y2

∫ dx

∫ dy ∫

(x2 + y2) dz.

0

0

0

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

x2 + y2 + z2

dx dy dz если V – шар x2 + y2 + z2

≤ z, z ≥

1

.

2

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x2 + y2 = 4x, z = 4 - y2,

z = 0.

2

2x

1

y

а) ∫ dx

∫

f(x, y) dy;

б) ∫ dy

∫ f(x, y) dх.

1

x

0

0

2.

Вычислить

а)

∫∫

x dx dy ,

если D: y+ x ≥ 2 , x2 + y2 ≤ 2y;

D

∫∫

x

если D: x = y2,

б)

e y

dx dy ,

x = 0, y = 1.

D

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

(x +1) dx dy ,

если D: x2 + y2 = x;

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ =x + 3y2,

D: x2 = 2y , x ≤ 0 , y = 2

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями r = a

(1 + sinϕ ).

6.

Вычислить ∫∫∫

(x+y) dx dy dz , если V: z = 30x2 + 60y2,z = 0,y = x , y = 0,

x = 1.

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

2

4− x 2

4− x′2 − y2

∫

dx ∫

dy

∫

(x2 + y2) dz.

− 2

0

0

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

x2 + y2 + z2

dx dy dz ,

если V – шар x2 + y2 + z2 + z = 0.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z + y2 = 4.

x = 0,

y = 0,

z = 0,

x + y = 2,

10. Найти массу тела плотностью μ =z, ограниченного поверхностями:

x2 + y2 + z2 ≤ 4,

x2 + y2 ≤ 3,

z ≥ 0.

∫∫ (x - 2) dx dy ,

если D: x2 + y2 = 4x , x + y ≥ 0.

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = y2 + 2x и D: x = 0, y2 = 4 – x.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x y =

5, x + y = 6.

6.

Вычислить

∫∫∫ x sin (z + y) dx dy dz , если V: x =

y , x = 0, z = 0, y + z =

π .

V

2

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

3

9− x2

9− x′2 − y2

∫ dx

∫

dy ∫

(x2 + y2) dz.

−3

0

0

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

dxdydz

2 ,

если V: x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 2z, x ≥ 0.

x

2

+ y

2

+ z

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x = 0,

z = 0,

x – y = 3,

2z = 9-y2.

10. Найти массу тела плотностью μ = 2y, ограниченного поверхностями:

x2 + y2 + z2 ≤ 4,

x2 + z2 ≤ 2, y ≥ 0.

2

x

−1

2− x2

а) ∫ dx

∫ f(x, y) dy;

б)

∫ dy

∫

f(x, y) dx.

−1

x2 −2

−

2

0

2.

Вычислить

а) ∫∫

(12x2y2+16x3y3) dx dy ,

если D: x = 1, y = x2, y = - x ;

D

б) ∫∫

xy

ye

2

dx dy ,

если D: y = ln2, y = ln3, x = 2, x = 4.

D

.3

Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫ (x – 1) dx dy ,

если D: x2 + y2 - 2ay ≤ 0 , y ≤

3 x.

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ =7x2y3,

D: 4x2 + 9y2 = 36, x ≥ 0 ,

y ≥ 0 .

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y = 4

– x2,

y = 0.

6.

Вычислить

∫∫∫ x2z cos x y dx dy dz , если V:

x = 1, y = 2x,

y = 0, z = 0, z = 3.

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

a

a

2 − x2

a2 − x′2 − y2

∫ dx

∫

dy

∫

(z + 1) dz.

−a

0

− a2 − x2 − y2

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

dxdydz

2 ,

если V: x

2

+ y

2

+ z

2

x ≤ 0.

x

2

+ y

2

+ z

≤ 2z,

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x = 0,

y = 0,

z = 0,

x + y +3 = 0, z = 9 – x2.

6

6− y

π

sin x

4

а) ∫ dy ∫ f(x, y) dx;

б) ∫ dx

∫

f(x, y) dy.

0

y−6

0

0

2.

Вычислить

∫∫

4ye 2xy dx dy ,

если D: y = ln 3, y = ln 4, x = 1/2,

x = 1.

D

3.

Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

(x +2)dx dy ,

если D: x2 + y2 + y ≤ 0,

y ≤ x;

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ =12x y2,

D: x2 + y2 = 9,

x ≥ 0 ,

y ≥ 0.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x = 0,

y = 0,

2x + 3y = 6.

6.

Вычислить

∫∫∫

x dx dy dz , если V – пирамида, ограниченная координатными

V

плоскостями и плоскостью x + y + z = 3.

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

0

0

a2 − x2 − y2

∫

dx ∫ dy

∫

(z - 2 ) dz.

−a

− a2 − x2

0

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

x2 + y2 + z2

dx dy dz, если V: x2 + y2 + z2 - 2z = 0.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 0,

x = 0,

y = 0,

x2 = z + 4,

3x + 2y = 6.

10. Найти массу тела плотностью μ = z, ограниченного поверхностями:

x2 + y2 + z2 = 3,

x2 + y2 ≤ 2,

z = 0.

0

x − 2

2

2− y

а) ∫dx

∫

f(x, y) dу,

б) ∫ dy

∫ f(x, y) dx.

−2

−( x + 2)

1

0

2. Вычислить

а) ∫∫

(xy - 4x3y3) dx dy ,

если D: x = 1, y =-

x , y = x3;

D

б) ∫∫

y2sin xy dx dy ,

если D: x = 0, y =

x , y =

x

.

2

D

2

3. Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

1 − x2 − y2 dx dy ,

если D: x2 + y2 – x = 0, y ≥ 0 .

D

D: x2 + y2 = 9,

x2 + y2 = 16,

x ≥ 0

y ≥ 0.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x y =

6,

x + y=7.

6.

Вычислить

∫∫∫

y2 cos πxy dx dy dz , если V: x = 0,

y = -1, y = z, z = 0, z = 2 π2 .

V

2

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

0

0

1/ 3(4− x2 − y2 )

∫

dx ∫ dy

∫

(x2 + y2) dz.

− 2

− 4− x2

0

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

x2 + y2 + z2 dx dy dz ,

если V: x2 + y2 + z2 - z ≤ 0,y ≥ 0.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

z = 4 – y2,

x + y = 2,

x = 0,

z = 0.

1

− x2 −1

3

5− y

2

а) ∫dx

∫

f(x, y) dу;

б) ∫ dy

∫ f(x, y) dx.

−2

x−3

1

y−1

2

2.

Вычислить

а) ∫∫

8xy dx dy ,

если D: x = 1,

y = -x3, y = 3

x ;

D

б) ∫∫

y cos 2xy dx dy ,

если D: x = 0,

x =

π , y = 0, y = 1.

D

2

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

1 − x2 − y2

dx dy ,

если D: x2 + y2 – x ≤ 0,

y ≤ 0.

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность

μ =

7

x2+2y, D: x = 2, y = 0, y =

2x .

8

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x y =

- 6,

y = x + 7.

6.

Вычислить

∫∫∫

y2 cos ( π x y) dx dy dz , если V: x = 0,

y = 2x,

y = 1, z = 0,

z = π 2 .

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

0

4− x2

1

(4− x2 − y2 )

∫ dx

∫

dy

3

∫

(x2 + y2)3 dz.

−2

0

0

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

x2 + y2 + z2

dx dy dz ,

если V: x2 + y2 + z2 + z = 0, -

1

≤ z ≤ 0.

2

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x = 0, y = 0, 2x - 3y = 6,

z = 0,

z = 2y2.

10. Найти массу тела плотностью μ = 10x , ограниченного поверхностями:

x2 + y2 = 1,

x2 + y2 = 2z, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

1

2− y

a

2a2

− x2

а) ∫ dy

∫ f(x, y) dx;

б) ∫ dx

∫

f(x, y) dу .

0

0

0

0

2.

Вычислить

а) ∫∫

9xy2 dx dy ,

если D: x = 1, y = x2, y = - 3 x .

D

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

dxdy

2

2

– ay = 0,

y ≤

3 x.

a

2

− x

2

− y

2

, если D: x + y

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = y2 D:

4x2 + y2 = 4.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями

x y =

4, x+y=5

6.

Вычислить

∫∫∫

x2 sin ( 4π x y) dx dy dz, если V: x = 1, y =

1

, y = 0, z = 0, z = 8 π .

V

2

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

2

0

0

∫

dy

∫ dy

∫

z2 dz.

0

− 4− x2

− 4− x2 − y2

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫ (x2 + y2) dx dy dz ,

если V: x2 + y2 + z2 ≥ 4, x2 + y2 + z2 ≤ 9.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x = 0, y = 0, z = 0, 2x + 3y = 6,

z = 2y2.

5

2

2

2

10. Найти массу тела плотностью μ =

(x

+ y ), ограниченного поверхностями:

x

6

+ y2=1, x = 0, z = 0,

z2 = 36(x2 + y2).

1

2− x 2

2

2− y

а) ∫ dx

∫

f(x, y) dу;

б) ∫ dy

∫ f(x, y) dx.

0

x

1

0

2.

Вычислить

а) ∫∫

(0,8 + 8xy) dx dy ,

если D: x = 1,

y = x3,

y = - x .

D

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

dxdy

, если D: x

2

+ y

2

– ay = 0,

y ≤

x

.

a

2

− x

2

− y

2

D

3

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = x2y, D:

x2

+

y2

≤ 1.

9

4

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями x y =

-2,

y = x – 3.

6.

Вычислить

∫∫∫

dxdydz

, если V:

x = 0, y = 0,

z = 0, x + y + z = 1.

(1 + x + y + z)

3

V

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

1

1− x2

5 x′2 + y2

∫ dx

∫

dy

∫

14yz dz.

0

0

5( x2 + y2 )

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫ (x2 + y2 + z2)3 dx dy dz , если V: x2 + y2 + z2 ≥ a2, x2 + y2 + z2 ≤ b2,

a < b.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x2 + y2 = 1,

x2 + y2 - z2 = -4,

z ≥ 0.

4

1− y

4

x

1

а) ∫ dx ∫ f(x, y) dу;

б) ∫ dy

∫ f(x, y) dх.

1

1

0

y−2

2.

Вычислить

а) ∫∫

y sin x y dx dy ,

если D: x = 1, x = 2, y =

π , y = π .

D

2

3 Преобразовать к полярным координатам и вычислить

∫∫

dxdy

2 , если D: x

2

+ y

2

+ 3 y = 0, y

≥

x

.

3

2

− x

2

− y

3

D

4.

Найти массу пластинки D, если плотность μ = x y,

D: x = 0, y = x,

x + y = 2.

5.

Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной линиями y =

2x,

x = 2y,

x + y = 3.

6.

Вычислить

∫∫∫ x2z sin

xyz

dx dy dz , если V: x = 0, y = 0,

z = 0, x = 1, y = 2 π ,

z = 4.

V

4

7.

Преобразовать к цилиндрическим координатам и вычислить

1

1− x2

2− x2 − y2

∫ dx

∫

dy ∫

y z dz.

0

1

x2 + y2

8.

Преобразовать к сферическим координатам и вычислить:

∫∫∫

(4 - z) dx dy dz ,

если V: x2 + y2 + z2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

V

9.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x2 + y2 = 1,

z ≥ 0,

x2 + y2 + z = 3.