ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка

№

Тип

Особенности

Метод решения

уравнения

Разрешено относительно

Последовательное

интегрирование:

1

y' ' = f (x)

второй производной.

y' = ∫ f (x)dx + C1 ,

Правая часть зависит только

y = ∫ [∫ f (x)dx + C1 ]dx + C

от х

F (x, y' , y' ' ) =

Подстановка:

2

Отсутствует явно функция у

y' = P(x) ,

y' = P' (x)

F(y, y' , y' ' ) =

Отсутствует явно

Подстановка:

3

y' = P(y) ,

независимая переменная х

y' ' = P' (y) P(y)

Решение:

y' ' = sin 2 2x -

уравнение, допускающее понижение порядка, 1 рода). Решается

последовательным интегрированием

y' = ∫ sin2 2xdx,

y′ =

1

∫ (1− cos 4x)dx,

2

1

1

y′ =

x −

sin 4x

+ C1 .

2

4

∫

1

1

1

y =

2

x −

4

sin 4x

+ C

dx,

y ==

x2

+

1

cos 4x + C x

+ C

2

.

4

32

1

x

2

1

y =

+

cos 4x + C1 x + C2 ,

4

32

1

1

y' =

x

−

sin 4x

+ C2 .

2

4

При x=o, y=o, y’=1 получаем C

2

= −

1

; C

1

= 1.

32

Запишем ответ – частное решение уравнения: y =

x 2

+

1

cos 4x + x −

1

.

4

32

32

Пример 2. Найти решение для дифференциального уравнения xy ' ' = y ' ln

y '

,

x

Решение:

xy'' = y' ln

y′

- уравнение, допускающее понижение порядка, ΙΙ рода

x

y ' = P(x),

Запишем подстановку

y ' ' = P' (x)..

x P' = P ln

P

.

x

P' =

P

ln

P

- однородное уравнение.

x

x

Запишем подстановку

P

= u(x), P

= u x,

P' = u' x + u .

u' x + u = u ln u .

x

u' = ( u ln u − u )

1

;

x

du

dx

∫

= ∫

;

u(ln u − 1)

x

. Запишем подстановку: y' = P(y),

y' ' = P(y) P' (y).

2yy' '−(y' )2 −1 = 0

∫

2PdP

=

∫

dy

;

P 2

+ 1

y

ln(P 2 + 1)= ln C1 y;

P 2

+ 1 = C1 y;

P 2

= C1 y − 1;

(y' )2 = C1 y − 1;

y' =

C1 y − 1.

Пример 4. Решить уравнение y′′′ = e2 x .

Решение:

y′′ = ∫e2 x dx + C1 =

1

e2 x

+ C1 ;

2

1

2 x

1

2 x

y′ = ∫

e

+ C1 dx =

e

+ C1 x + C2

;

2

4

1

2 x

1

2 x

1

2

y = ∫

e

+ C1 x + C2

=

e

+

C1 x

+ C2 x + C3 .

4

8

2

Решение:

Применяем подстановку z = y′′;

z′ = y′′′;

z′ =

z

;

dz

=

z

;

dz

=

dx

;

∫

dz

= ∫

dx

;

z

z

x

x

dx

x

x

ln

z

= ln

x

+ ln C1 ;

z = C1 x;

Произведя обратную замену, получаем:

y′′ = C1 x;

y′ = ∫C1 xdx =

C1

x2

+ C2 ;

2

C1

2

C1

3

y = ∫

x

+ C2

dx =

x

+ C2 x + C3 ;

6

2

Пример 6. Найти общее решение уравнения yy′′ − ( y′)2 − 4yy′ = 0.

Замена переменной:

p = y′;

y

′′ =

dp

p;

dy

dp

dp

yp

− p2 − 4yp = 0;

p y

− p −

4y = 0;

dy

dy

1)

y

dp

− p − 4y = 0;

dp

= 4 +

p

;

dy

y

dy

Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену

переменной: u =

p

.

y

u +

du

y = 4 + u;

du = 4

dy

;

dy

y

∫

du = 4

∫

dy

;

u = 4ln

y

+ 4ln C ;

u = 4ln

C y

;

y

1

1

p = 4 y ln

C1 y

;

dy

С учетом того, что p =

, получаем:

dx

dy

= 4y ln

C1 y

;

∫

dy

= ∫dx;

dx

4y ln

C y

1

x =

1

∫

d (ln

C1 y

)

1

C1 y

+ C2 ;

=

ln

ln

4

ln

C y

4

1

Общий интеграл имеет вид: ln

ln

C1 y

= 4x + C;

2) p = 0;

y′ = 0;

y = C;

Таким образом, получили два общих решения.

Задачи:

1. Решить дифференциальное уравнение yy' ' = (y')2

Ответ:

y = С eС2 x

2. Решить дифференциальное уравнение (1 + x2 )y''+(y' )2 + 1 = 0

1

Ответ: y = (1 + C2 )ln

C + x

− C x + C

2