Пример 6. Решить уравнение xy' = y(ln y − ln x ) Решение:

Преобразуем дифференциальное уравнение, получим:

Осуществим подстановку в уравнение: u' x + u = u ln u .

Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными.

ln ln u − 1 = ln cx . ln u − 1 = cx,

u = ecx+1 . xy = ecx+1 , y = xecx+1 .

Решить уравнение:

Найти решение для дифференциального уравнения xy'− y − xctg xy = 0 , удовлетворяющее

Линейные неоднородные ДУ. Уравнения Бернулли.

Цель: решение линейных неоднородных ДУ, уравнений Бернулли.

8

Аудиторная работа

Линейные неоднородные ДУ.

Линейным дифференциальным уравнением Ι порядка называется уравнение,

линейное относительно функции и её производной:

y'+ P( x )y = Q(x) - уравнение, линейное относительно y(x); x'+ P( y )x = Q(y) - уравнение, линейное относительно x(y).

Здесь P(x), Q(y) - заданные функции или константы. При Q = 0 уравнение называется однородным, при Q ≠ 0 - неоднородным.

Уравнением Бернулли называется уравнение вида y'+P(x) y = Q(x) yn или x'+P(y) x = Q(y) xn .

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения xy'− y − x3 = 0 . Решение:

Приведём к стандартной форме записи делением на x , получим: y'− 1x y = x 2 - линейное уравнение относительно функции y(x) .

20. Запишем подстановку: y = u( x ) v( x ),

y = u' (x) v(x)+ u(x) v' (x). y'− 1x y = x 2

9

Запишем общее решение дифференциального уравнения:

Пример 2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

xy'− y − x3 = 0 ,

удовлетворяющее начальным условиям y x=1 = 0 .

10. Определим тип уравнения (таблица 1). Приведём к стандартной форме записи делением на x , получим:

y'− 1x y = x2 - линейное уравнение относительно функции y(x) .

20. Запишем подстановку:

y = u( x ) v( x ),

y = u' (x) v(x)+ u(x) v' (x).

30. Осуществим подстановку в данное уравнение:

u' v + uv' − 1x uv = x2 .

40. Запишем последовательность уравнений относительно функций u(x) и v(x). Подстановка y = uv позволяет одну из функций сомножителей выбрать произвольно. Поступим так: сгруппируем первый и третий (можно второй и третий) члены уравнения

Выберем функцию u(x) так, чтобы она обращала в нуль скобку

u'− 1x u = 0

Тогда функция v(x) должна удовлетворять условию

uv' = x 2 .

Итак, получили последовательность уравнений:

10

u'− 1x u = 0,

uv' = x2 .

50. Найдём функции u(x) и v(x).

Каждое из уравнений последовательности (пункт 40) является уравнением с разделяющимися переменными:

u'− 1x u = 0, ∫ duu = ∫ dxx , ln u = ln x ,

u = x; uv' = x 2 , xv' = x 2 , v' = x, v = ∫ xdx,

Задачи:

Ответ: y = 1− x 2 (c + arcsin x).

Ответ: x = y 2 + cy3 .

Самостоятельная работа

Уравнения Бернулли

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения xy'−4 y − x2 y = 0 . Решение:

y'− 4x y = x y 12 - уравнение Бернулли,

Запишем подстановку: y = u( x ) v( x ), y = u' (x) v(x)+ u(x) v' (x). y'− 4x y = x y 12

u' v + u v'− 4x uv = x uv .

11

Запишем общее решение дифференциального уравнения: y = u v,

y = x4 (ln x + c)2 .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения xy'−4 y − x2 y = 0 .

10. Определим тип дифференциального уравнения (таблица 1):

20. Запишем подстановку:

y = u( x ) v( x ),

y = u' (x) v(x)+ u(x) v' (x).

30. Осуществим подстановку в данное уравнение:

40. Запишем последовательность уравнений относительно функций u(x) и v(x). Сгруппируем первый и третий члены уравнения:

Выберем функцию u(x) так, чтобы она обращала в нуль скобку, получим последовательность уравнений:

u − 4x u = 0,

u v' = x uv .

50. Найдём функции u(x) и v(x). Каждое из уравнений последовательности (пункт 40) является уравнением с разделяющимися переменными:

12