m2var15
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Вариант № 15 |
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В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить |
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дифференцированием. |
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∫ |
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x2 |
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1 |
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∫ |
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dx3 |
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1 |
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подведение под |
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1. |
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dx = |
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= |
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= |
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ln |
x3 + 5 + x6 |
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+ C . |
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5 + x6 |
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знак дифференциала |
3 |
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5 + (x3 )2 |
3 |
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1 |
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′ |
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1 |
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1 |
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6x5 |
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3 |
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6 |
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2 |
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Проверка: |
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ln |
x |
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+ |
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5 + x |
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+ C |
= |
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(3x |
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+ |
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) = |
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3 |
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3 x3 + 5 + x6 |
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2 5 + x6 |
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= |
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x2 |
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5 + x6 + x3 |
= |
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x2 |
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. Ответ: ∫ |
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x2 |
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1 |
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dx = |
ln |
x3 + |
5 + x6 |
+ C . |
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x3 + 5 + x6 |
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5 + x6 |
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5 + x6 |
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5 + x6 |
3 |
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2. |
∫arcsin xdx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du . |
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arcsin x = u, du = |
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dx |
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xdx |
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1 |
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d(1− x2 ) |
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arcsin xdx = |
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= x arcsin x |
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− |
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=x arcsin x + |
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= |
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1− x2 |
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∫ |
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∫ |
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2 ∫ |
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(1− x2 )1/ 2 |
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dx = dv, |
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v = x |
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1− x2 |
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= x arcsin x + cc . Проверка: |
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′ |
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x |
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2x |
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(= x arcsin x + 1− x2 |
+ C) = arcsin x + |
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− |
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= arcsin x. |
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1− x2 |
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2 1− x2 |
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Ответ: ∫arcsin xdx = x arcsin x + 1− x2 + C .
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3. |
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∫ |
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x − 7 |
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dx = |
1 |
∫ |
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2x + 4 −18 |
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dx = |
1 |
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∫ |
d( |
x2 + 4x + 5) |
dx − 9∫ |
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dx |
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= |
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x2 + 4x + 5 |
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2 |
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x2 + 4x + 5 |
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2 |
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x2 + 4x + 5 |
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(x + )2 +1 |
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= x2 + 4x + 5 − 9ln |
(x + ) + (x + )2 +1 |
+ С . |
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′ |
= |
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x |
2 |
+ 4x + 5 − 9ln |
(x + |
) + |
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(x + |
) |
2 |
+1 |
+ |
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Проверка: |
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С |
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1+ |
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2x + 4 |
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2x + 4 |
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x + 2 |
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x − 7 |
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2 |
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9 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
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|
|
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|
|
− 9 |
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|
|
|
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|
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|
2 x + 4x + 5 |
= |
|
|
|
|
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|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
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|
|
. |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||
|
2 x2 + 4x + 5 |
|
(x + ) + (x + )2 +1 |
x2 + 4x + 5 |
|
|
|
x2 + 4x + 5 |
x2 + 4x + 5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
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x − 7 |
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dx = |
|
x2 + 4x + 5 − 9ln |
(x + |
|
|
) + |
|
|
x2 + 4x + 5 |
+ С . |
|
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x2 |
|
|
+ 4x + 5 |
|
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∫ |
2x3 |
+ 4x2 − 8x + 3 |
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4. |
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dx. Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на |
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2 |
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x(x |
|
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− 2x +1) |
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простые дроби. ∫ |
2x3 + 4x2 − 8x + 3 |
|
dx = ∫ |
[2 + |
|
|
8x2 − 4x + |
3 |
|
|
]dx = ∫[2 + |
8x2 − 4x + 3 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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]dx |
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|
|
|
x(x |
2 |
− 2x +1) |
|
|
|
x(x |
2 |
|
− 2x + |
1) |
|
|
|
x(x −1) |
2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8x2 − 4x + 3 |
= |
|
|
A |
+ |
|
|
B |
|
|
+ |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
= |
|
A(x −1)2 + Bx(x −1) + Cx |
A(x −1)2 |
|
+ Bx(x −1) + Cx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x(x − |
1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
− |
1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x x |
|
−1 (x |
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 8x2 |
− 4x + 3. |
|
|
|
Полагаем |
x = 0, |
|
получим |
|
|
A = 3. |
Из |
равенства |
|
|
x = 1 |
следует |
C = 7 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приравнивая |
|
|
|
|
коэффициенты |
|
|
|
при |
|
|
|
|
x2 , |
получим |
A + B = 8. Или B = 5 . Таким |
образом, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
2x3 |
+ 4x2 − |
8x + |
3 |
dx = ∫[2 + |
3 |
+ |
|
|
|
5 |
|
|
+ |
|
|
7 |
|
|
|
|
]dx = |
2x + 3ln |
|
x |
|
+ 5ln |
|
x −1 |
|
− |
|
|
7 |
|
|
|
+ C |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x(x |
|
− 2x |
+1) |
|
|
|
|
x x |
−1 (x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2x + ln |
x3 (x −1)5 |
− |
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
′ |
|
= 2 + |
3 |
+ |
|
|
5 |
|
|
+ |
7 |
|
= |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Проверка: 2x |
+ ln |
x |
|
|
|
(x −1) |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
−1 (x −1)2 |
|
|
|
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= |
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2x(x2 |
− 2x +1) + 3(x2 − 2x +1) + 5x(x −1) |
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+ 7x |
= |
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2x3 |
+ 4x |
2 − 8x + 3 |
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x(x −1)2 |
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x(x −1)2 |
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Ответ: ∫ |
2x3 + |
4x2 − 8x + 3 |
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7 |
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dx = 2x + ln |
x3 (x −1)5 |
− |
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+ C . |
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x(x |
2 |
− 2x +1) |
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x |
− |
1 |
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5. |
∫ |
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x2 − 8x + 21 |
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dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. |
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(x − 3)(x |
2 |
− |
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8x +17) |
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∫ |
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x2 |
− 8x + 21 |
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dx = ∫ |
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x2 |
− 8x + 21 |
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dx . |
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(x − 3)(x |
2 |
− 8x +17) |
|
(x − 3)((x − |
4) |
2 |
|
+1) |
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x2 − 8x + 21 |
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= |
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A |
|
+ |
|
|
Bx + C |
|
|
|
= |
|
|
A(x2 |
|
− 8x +17) + (Bx + C)(x− 3) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x − 3)((x − 4)2 |
+1) |
|
|
|
x − |
3 |
|
x2 − |
8x +17 |
|
|
|
|
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|
(x − 3)(x2 |
|
− 8x + |
17) |
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A(x2 |
− 8x +17) + (Bx + C)(x− 3) = x2 |
|
− 8x + 21. Полагаем x = 3, получим A = 3. |
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Приравнивая коэффициенты при |
|
x2 , получим A + B = 1. Или B = −2 . Приравнивая |
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коэффициенты при |
|
|
|
x0 , получим 17A − 3C = 21. Или C = 10 . Таким образом, |
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|
∫ |
|
x2 |
− 8x + 21 |
|
|
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|
dx = ∫ |
|
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3 |
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− |
|
|
(x − 4) − 2 |
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[ |
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]dx = |
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|
(x − 3)(x |
2 |
− 8x +17) |
x − 3 |
|
(x − 4) |
2 |
+1 |
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= 3ln |
|
x − 3 |
|
− ln((x − 4)2 +1) + 2arctg (x − 4) + C = ln |
(x − 3)3 |
+ 2arctg(x − 4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x2 − 8x |
+17 |
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Проверка: |
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(x − 3) |
3 |
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′ |
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3 |
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2x − 8 |
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2 |
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||||||||||
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ln |
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− 4) + C |
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+ |
2arctg(x |
= |
|
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− |
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+ |
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= |
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x2 − 8x +17 |
x − |
|
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3 x2 |
− 8x +17 x2 |
− 8x +17 |
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= |
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3(x2 − 8x + |
17) − (x − 4)(x − 3) + 2x − 6 |
|
= |
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x2 |
− 8x + 21 |
. |
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(x2 − 8x +17)(x − 3) |
|
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(x2 |
− 8x +17)(x − 3) |
|
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Ответ: ∫ |
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x2 − |
8x + 21 |
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dx = ln |
|
(x |
− 3)3 |
|
|
+ 2arctg(x − 4) + C . |
|
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|
|
|
− 3)(x |
2 |
|
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|
2 |
− |
8x +17 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
(x |
|
− 8x +17) |
|
|
|
|
x |
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6. ∫ |
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3 x |
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|
dx . Инетегрируем с помощью замены переменной. |
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3 |
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x + |
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x( |
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x) |
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x = t6 , dx = 6t5dt |
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t2 6t5dt |
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+ t − t)dt |
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∫ |
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x |
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dx = |
|
|
= ∫ |
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= 6∫ |
|
dt |
= 6∫ |
(1 |
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3 |
+ t |
2 |
) t |
6 |
t(t +1) |
|
t(t +1) |
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x( x + 3 x) |
|
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x = t3 , 3 x = t2 |
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(t |
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= 6lnt − 6ln |
|
t +1 |
|
+ C = 6ln |
|
6 x |
|
|
+ C . |
|
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6 x +1 |
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+ C .
=
Проверка:
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6 |
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′ |
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−5/ 6 |
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−5/ 6 |
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6 |
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+1− |
6 |
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|||||||||||||||
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x |
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1 |
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x |
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1 |
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x |
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x |
x |
|
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1 |
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6ln |
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+ C |
= 6 |
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− 6 |
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= |
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= |
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= |
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6 |
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x +1 |
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6 |
|
|
|
6 |
|
x |
6 |
6 |
|
x +1 |
6 |
|
x( |
6 |
|
x +1)x |
5/ 6 |
|
6 |
x( |
6 |
x +1)x |
5/ 6 |
|
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= |
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1 |
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= |
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3 |
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x |
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= |
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3 x |
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= |
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1 |
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. |
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||||||||||
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x(6 x +1) |
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x(6 x |
+1)3 x |
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x( x + 3 x) (1 |
+ 4 x)3 x |
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Ответ: ∫ |
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3 |
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x |
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dx = 6ln |
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6 |
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x |
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+ C . |
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3 |
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6 |
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x + |
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x +1 |
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x( |
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x) |
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7. ∫ |
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dx |
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. Интегрируем с помощью замены переменной. |
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x |
4 |
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x2 |
+ 4 |
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∫ |
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dx |
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= |
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x = 2tg t, dx = |
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2dt |
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= ∫ |
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2dt |
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= |
1 |
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∫ |
cos3 |
tdt |
= |
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2 |
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4 |
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2 |
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tg |
4 |
t |
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4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+ 4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x4 |
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x2 |
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cos |
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t |
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2 |
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cos |
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t |
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/ cost 16 |
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sin |
|
t |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
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1 |
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∫ |
|
(1− sin2 t)d sin t |
= |
|
1 |
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∫ |
(1− sin2 |
t)d sint |
= − |
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1 |
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+ |
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1 |
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+ C = |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
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sin |
4 |
|
t |
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16 |
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sin |
4 |
|
|
t |
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48sin |
3 |
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16sint |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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t |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
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(1+ tg2t)3 |
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+ |
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1+ tg2t |
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+ C |
= − |
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(1+ x2 / 4)3 |
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+ |
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1+ x2 / 4 |
|
+ C = − |
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4 + x |
2 |
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( |
4 + x |
2 |
−1) + C |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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48tg |
3t |
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16tg t |
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48x3 /8 |
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16x / 2 |
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16x |
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3x2 |
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− |
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4 + x |
2 |
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4 + x2 − 3x |
2 |
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+ C = |
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(x2 − ) 4 + x |
2 |
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+ C . |
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16x |
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3x2 |
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24x3 |
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|
|
′ |
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[2x |
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+ |
x( |
x2 − |
) |
] x3 − 3x2 (x2 − ) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 + x2 |
4 + x2 |
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2 |
− ) |
4 + x |
2 |
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(x |
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1 |
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4 + x |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проверка: |
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+ C |
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= |
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= |
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8x2 + 2x4 + x4 |
− 2x2 −12x2 − 3x4 + 6x2 + 24 |
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x4 4 + x2 |
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x4 4 + x2 |
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Ответ: ∫ |
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dx |
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= |
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(x2 |
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− ) |
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4 + x |
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+ C . |
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x |
4 |
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x2 + 4 |
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24x |
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8. ∫sec4 x tg4 xdx . Интегрируем с помощью замены переменной. |
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∫sec4 x tg4 xdx = |
tg x = t, dt = |
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dx |
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, cos2 x = |
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= ∫ |
t |
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) |
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dt |
= ∫t4 (1+ t2 )dt = |
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x |
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+ t |
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1+ t |
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cos |
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= |
t5 |
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+ C = |
tg5 x |
+ |
tg7 x |
+ C . |
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′ |
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Проверка: |
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+ C |
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= (tg4 x + tg6 x) |
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= tg4 x(1+ tg2 x) |
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= tg4 x |
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= |
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cos |
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x |
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cos |
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cos |
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= sec4 x tg4 x . Ответ: ∫sec4 x tg4 xdx = |
tg5 x |
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tg7 x |
+ C . |
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9. ∫5 + 4sindx x . Интегрируем с помощью замены переменной.
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t = tg |
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x |
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dx = |
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2dt |
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2dt |
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|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
1+ t |
2 |
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=∫ |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||
5 + 4sin x |
|
sin x = |
|
|
|
2t |
|
|
|
5 + |
|
|
8t |
|
|
|
+ t |
2 |
|
|
5 + 5t2 |
+ 8t) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
arctg |
t + 4/5 |
+ C = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
t |
2 |
+ 2 |
4/5 +16/ 25 −16/ 25 |
|
|
|
|
|
(t + 4/5) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3/5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+1 5 |
|
|
|
|
+ 9/ 25 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
2 |
arctg |
5t + 4 |
+ C = |
2 |
arctg |
5tg(x / ) + 4 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5tg(x / ) + 4 |
|
|
|
′ |
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
= |
|||||||||||||||
Проверка: |
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1+ (5tg(x / |
/9 6cos2 (x / ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
= |
5 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9cos2 (x / |
) + 25sin2 (x / |
) + 40sin(x / )cos(x / |
) +16cos2 (x / ) |
25 + 20sin x |
5 + 4sin x |
|||||||||||
Ответ: ∫ |
|
|
dx |
= |
2 |
arctg |
5tg(x / ) + 4 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
||
|
+ 4sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
5 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
|
|
∞ e2x −1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||
10. |
|
dx = 2 |
|
sh xdx = 2 lim |
|
sh xdx =2 lim ch x |
= 2 lim (chb − cha) = ∞ + ∞ = ∞ . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
x |
|
|
∫ |
∫ |
a |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a→−∞ |
|
|
|
|
a→−∞ |
|
|
a→−∞ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
b→∞ |
a |
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
e |
2x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл расходится. |
Ответ: ∫ |
|
dx = ∞ . Интеграл расходится. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1/ 2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
d ln x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1/ 2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
11. ∫ |
|
|
|
|
|
= lim ∫ |
|
|
|
|
= lim(− |
|
|
) |
|
|
= lim(− |
|
|
|
+ |
|
) = |
|
. Интеграл |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
lnα |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
xln |
|
x |
α →0 |
α |
|
ln |
|
x |
|
α →0 |
ln x |
|
|
α |
α →0 |
ln(1/ |
)x |
|
ln 2 |
||||||||||||
сходится. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
α >0 |
|
|
|
|
|
|
α >0 |
|
|
|
|
α >0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1/ 2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: ∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
. Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
x |
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
xln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y |
= −x2 + 3x +1 = f |
1 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
. |
Найдём точки пересечения линий: |
|
|
|
|
|
||||||
= x − 2 = f2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x2 + 3x +1 = x − 2 x2 − 2x − 3 = 0 x = −1, x |
2 |
= 3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
S = ∫[ f1 (x) − f2 (x)]dx = ∫[−x2 + 3x +1− x + ]dx = |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
x1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫[3 + 2x −x2 ]dx = [3x + x2 − x |
] = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
|
|
|
4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
= 9 + 9 − 9 + 3 −1− `1 = `32 = 10 2 . Ответ: S = 10 2 . |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x = 32cos3 t
13. y = sin3 t . Это астроида. Найдём точкиx = 4, (x ≥ 4)
пересечения линий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
32cos3 t = 4 cost = |
1 |
|
|
t |
|
|
|
|
= − π , t |
|
|
= π . Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t2 |
|
|
|
|
π / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S = ∫(x(t) − 4)dy(t) = |
∫[32cos3 t − 4]3sin2 t costdt = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t1 |
|
|
|
−π / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
π / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
t |
|
π / 3 |
|
|
|
|
|
π / 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 96 |
|
∫cos4 t sin2 tdt −12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 12 |
|
∫(1+ cos2t)sin2 2tdt − |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−π / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π / 3 |
|
|
|
−π / 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
2t |
|
π / 3 |
|
|
|
sin 4t |
|
π / 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
− 3 |
3 = 6 |
∫(1− cos4t)dt + 6 |
|
|
|
|
|
|
− 3 |
3 |
= 6[t − |
] |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−π / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
−π / 3 |
4 |
|
−π / 3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
= 4π + |
3 |
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
+ |
|
|
3 − 3 |
3 |
3 |
|
|
3 − 3 3 = 4π . Ответ: S = 4π . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
1
32 |
|
16 |
0 |
16 |
32 |
+
14. Вычислите длину дуги кривой (L):{ρ = 3(1− cosϕ) (кардиоида).
ϕ2 |
|
2π |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
2π |
|
|
|
L = ∫ |
ρ 2 + ρ′2 dϕ = ∫ 9(1− cosϕ)2 + 9 sin2 ϕdϕ = 3∫ |
|
dϕ = 3∫ 4sin2 (ϕ / )dϕ = |
|||||||||||
(1− cosϕ) |
||||||||||||||
ϕ1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
02π = −12(−1−1) = 24 . Ответ: L = 24 . |
|||||||||
= 6 ∫sin(ϕ / )dϕ = −12cos(ϕ / ) |
|
|||||||||||||
|
||||||||||||||
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x2 |
, |
|
|
|
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) |
вокруг оси OX. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 4 |
|
|
|
|
Найдём точки пересечения линий: x2 = 4 x |
= − , x |
2 |
= 2 . |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
2 |
|
x |
5 |
|
|
2 |
|
|
||||||
V = π ∫(y22 |
− y12 )dx = π ∫ |
(16 − x4 )dx = π (16x − |
|
) |
|
|
|
|
|
||||||
x1 |
−2 |
5 |
|
|
−2 |
||
|
|
|
|
|
= π (32 − 32 + 32 − 32) = 256π . Ответ: 5 5 5
V = 256π .
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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y |
2 = 4(x − 4) |
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16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) |
≤ x ≤ |
вокруг оси OX. |
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7 |
12 |
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x2 |
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12 |
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12 |
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8π |
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12 |
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P = 2π ∫ y |
1+ y′2 dx = 2π ∫2 |
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x − 4 1+1/(x − 4)dx = 4π ∫ x − 3dx = |
(x − 3)3/ 2 |
7 = |
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x1 |
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7 |
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7 |
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3 |
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= |
8π |
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(27 − 8) = |
152π |
. |
Ответ: P = |
152π |
. |
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3 |
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3 |
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3 |
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Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей |
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математике. |
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arctg |
x |
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||||||
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1 |
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|
x |
|
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|
1 |
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|
a + |
|
a |
2 |
− x |
2 |
|
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17. ∫ |
a |
dx = − |
arccos |
|
+ |
|
ln |
|
+ C . По справочнику находим: |
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|
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|
x |
2 |
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|
a |
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|
x |
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x |
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a |
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|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||
|
arctg |
x |
|
|
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a2 |
+ x2 |
|
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|
|
|
||||||||||
∫ |
a |
dx = − |
|
1 |
|
arctg |
x |
|
− |
1 |
|
|
ln |
|
+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие |
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
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|
a |
2a |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
x |
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|
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математические формулы.) |
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arctg |
x |
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a2 + x2 |
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Ответ: ∫ |
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1 |
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|
x |
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1 |
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a |
dx = − |
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arctg |
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− |
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ln |
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+ C . |
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x |
2 |
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x |
a |
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x |
2 |
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2a |
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|||||||||||||||
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∞ |
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∞ |
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∞ |
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π |
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π . |
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18. ∫sin(x2 )dx . По справочнику находим: ∫sin(x2 )dx = |
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. Ответ: ∫sin(x2 )dx = |
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−∞ |
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−∞ |
2 |
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−∞ |
2 |
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19.Напряжение цепи, равное первоначально 120 в, равномерно падает со скоростью
0.01вольт в секунду. Одновременно в цепь вводится сопротивление с постоянной скоростью
0.1Ом/с. В цепи имеется постоянное сопротивление r =12 Ом. Сколько кулонов
электричества протечёт через цепь за 3 минуты.
В момент времени t = 0 сопротивление цепи равно r(0) = 12 , а напряжение равно
V(0) = 120. В момент времени t сопротивление цепи будет r(t) = 12 + 0.1t , а напряжение
V(t) = 120 − 0.01t . Тогда в момент времени t ток составит величину J(t) = V(t) = 120 − 0.01t . r(t) 10 + 0.1t
Следовательно количество электричества за 3 минуты составит величину
180 |
|
− 0.01t |
|
180 |
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|
180 |
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||||||||
q = ∫ |
120 |
dt = |
∫[ |
121.2 |
− 0.1]dt = 121.2 |
1 |
|
ln(12 + 0.1t) |
|
− 0.1t |
|
1800 = |
||
|
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||||||||||||
|
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|||||||||||
0 |
12 |
+ 0.1t |
0 |
12 + 0.1t |
0.1 |
|
|
0 |
|
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||||
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|||||||||||
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= 1212 [ln30 − ln12]−18 = 1212 ln 5 −`18 ≈ 1092 кулонов. Ответ: q ≈ 1092 кулонов. 2
20. Цилиндр с диаметром поперечного сечения d = 20 см и высотой H = 60 см заполнен паром под давлением 10 кг/см2. Пользуясь законом Бойля-Мариотта, вычислите работу, необходимую для изменения объёма пара в два раза при неизменной температуре.
По закону Бойля-Мариотта VP = V P = Const , т.е. P = |
V0 P0 |
. Начальный объём будет |
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0 |
0 |
V |
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равен V |
0 |
= 60 πr2 |
= 60100π = 6000π |
см3. Конечный объём равен V = V |
0 |
/ 2 = 3000π . Пусть |
|||
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1 |
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дно цилиндра расположено в точке x=0, а x – точка текущего положения поршня, которым сдавливается пар. Тогда V = πr2 x . Из этого следует, что dV = πr2dx . В положении
поршня x давление на поршень составит величину πr2 V0 P0 . Таким образом, на участке (x,
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V |
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||
x+dx) необходимо совершить работу dA = πr2 |
V0 P0 |
dx = πr2 |
V0 P0 |
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dV |
= V P |
dV |
. |
||||||||||||
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||||||||||||||
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V |
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V |
πr2 |
0 0 V |
||||||
Следовательно, |
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V0 |
dV |
V0 |
dV |
V |
|
V |
|
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|
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|
6000π |
|
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||||
A = ∫V0 P0 |
V = V0 P0 |
∫ |
V = V0 P0 lnV |
V1 = V0 P0 |
ln V |
= 6000π 10 ln 3000π |
= 60000π ln 2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
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Переводя единицу длины в метры, получим |
A = 600π ln 2 кГм. |
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Ответ: A = 600π ln 2 кГм. |
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