m1var15
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант № 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Найти область определения функции : y = arcsin 2 − x + |
3 − x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: |
|
2 − x ≤ 1 и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 − x ≥ 0 |
или |
x ≤ 3 . |
Умножим первое неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: |
|||||||||||||||
− 3 ≤ 2 − x ≤ 3 . Из левого неравенства находим − 5 ≤ −x |
или x ≤ 5 . Из правого неравенства |
|||||||||||||||||
− x ≤ 1 или x ≥ −1. Объединяя результаты, получим: −1 ≤ x ≤ 3. Ответ: x [−1, 3]. |
|
|
||||||||||||||||
2. Построить график функции: y = |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 3. Если x → 3 ± 0 , |
|||||||||||||||||
то y → +∞ . В точке (0, 0) график функции пересекает обе |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
оси. |
Если |
x → ±∞ , |
то |
y → 1. |
Вычисляем |
значения |
|
8 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции в нескольких точках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
-4 |
-3 |
-2 |
|
-1 |
1 |
|
2 |
2.5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4/7 |
1/2 |
2/5 |
1/4 |
1/2 |
|
2 |
5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
2.8 |
3.2 |
3.5 |
4 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
14 |
16 |
7 |
4 |
5/2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
По всем данным строим график. Ответ: График |
4 |
|
0 |
4 |
|
8 |
||||||||||||
представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Построить график функции: y = 3 cos( x +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
определена |
на |
всей |
числовой |
оси. |
Преобразуем |
|
функцию: |
||||||||||
y = 3 cos( x +1) = 3 cos(1 (x + 2)) . Строим сначала |
cos x. Затем «растягиваем» график в два |
|||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
раза |
по |
оси |
ОХ |
и |
сдвигаем |
его |
по |
оси |
ОХ |
на |
2 |
единицы |
влево. |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
8 |
4 |
|
0 |
4 |
8 |
|
8 |
4 |
0 |
4 |
8 |
8 |
4 |
0 |
|
4 |
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Получим график функции y = cos(1 (x + 2)) . Затем «растягиваем» график по оси ОУ в 1,5 2
раза. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.
|
|
|
|
|
|
x = tg t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
4. Построить график функции: |
= |
|
6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ cos2t |
|
|
|
|
|
|
Исключим параметр t: |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||
y = |
2 |
= |
2 |
= |
1 |
= 1+ tg2t = x2 |
+1. Получили |
|
|
|
|
||
1 |
+ cos2t |
|
2cos2 t |
|
cos2 |
t |
|
|
|
|
2 |
|
|
уравнение параболы |
y = x2 +1 с вершиной в точке (0, 1), |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
1
ветви которой направлены вверх. Область определения функции - (-∞,∞). Графиком функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
является парабола. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ответ: График представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Построить график функции: ρ = 2(1+ cosϕ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Функция |
существует |
|
|
|
для |
|
|
|
всех значений φ, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cosϕ |
|
|
|
≤ 1. Функция уменьшается от 4 (при φ =0) до2 (при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
φ =π/2), далее до 0 |
|
|
(при φ =π). Затем функция возрастает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
до 2 в обратном порядке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: график представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2.5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
8n3 − 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+1)4 − |
(n −1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
270 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ (n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Возведём все скобки в степени и приведём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подобные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8n3 |
|
− 2n |
|
|
|
= |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
8n3 − n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 − n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− (n −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ (n +1)4 |
4 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n→∞ 8n3 + |
8n n→∞ 8 + 8n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: lim |
|
|
|
|
8n3 |
|
− 2n |
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− (n −1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ (n +1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить предел: lim( |
x |
2 + 8 |
|
− |
1 |
|
|
) (неопределённость вида (0-0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 + 8 |
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Приводим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
общему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
знаменателю: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
+ 8 |
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
= lim |
x2 + 8 − (x2 − 2x + 4) |
= lim |
|
2(x + 2) |
|
|
|
0 |
= lim |
|
|
|
|
|
|
2(x + 2) |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 8 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→−2 |
x3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x→−2 (x + |
|
2)(x2 |
|
4) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
1 |
. Ответ: lim( |
x2 + 8 |
|
− |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
) |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 − 2x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→−2 x |
4 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 x3 + 8 x |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
9x − 3 |
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
3 + x − |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Умножим |
|
|
|
числитель |
|
и |
|
знаменатель |
|
на |
сопряжённое |
|
к |
|
знаменателю |
выражение: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 3, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
9x − 3 |
|
|
|
= lim |
|
(3 |
|
9x − 3)( |
|
|
3 + x + 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
9x− |
3 |
|
|
|
3 , |
|
если |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 6 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
|
то t → 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
3 + x− |
|
|
2x x→3 ( 3 |
+ x− 2x)( 3 + x + |
|
|
|
2x) |
|
|
|
|
|
x→2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t − 3 |
= 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 |
|
|
6 lim |
|
|
|
6 lim |
|
|
|
|
|
= 18 6 lim |
|
|
|
|
|
|
|
= −18 |
|
6 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3t + 9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→3 3 − t3/9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→3 27 − t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→3 (3− t)(t2+3t + 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→3 t2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: lim |
|
|
9x |
|
|
|
|
= − |
2 |
6 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
3 + x − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
9. Вычислить предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
− 4x |
2 |
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 2 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем замену переменной: x − π / 2 = t, x = t + π / 2, |
если x → π / 2, то t → 0 . Получим: |
||||||||||||||
π 2 |
− 4x |
2 |
|
(π − 2x)(π + 2x) |
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= |
lim |
|
= −2π lim |
|
|
|
= |
|
cos(t + π / 2) = −sint |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→π / 2 cos x |
|
x→π / 2 |
cos x |
t→0 cos(t |
+ π / 2) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||||||||
= 4π lim |
t |
= 4π . Здесь воспользовались первым замечательным пределом: lim |
sin x |
= 1. |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
t→0 sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x |
|||||
Ответ: lim |
π 2 |
− 4x2 |
= 4π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→π / 2 |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Вычислить предел: |
|
3n +1 2n+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
(неопределённость вида (1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Приведём |
предел |
|
|
ко |
|
второму |
|
|
замечательному |
пределу: |
|
|
|
|
|
1 z |
= e: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim 1+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
|
z |
|
|
3n + |
1 2n+3 |
|
3n −1+ |
2 |
2n+3 |
|
|
+ |
|
2 2n+3 |
|
= |
|
2 |
= 1, n = |
(2t +1)/ 3 |
= |
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim 1 |
|
|
|
|
|
3n −1 |
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n→∞ 3n − |
1 |
|
n→∞ 3n −1 |
|
|
|
n→∞ |
|
3n − |
1 |
|
|
|
если n → ∞, то t → ∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 4t / 3+11/ 3 |
|
|
|
|
+ |
1 t |
4/ 3 |
|
|
|
1 |
11/ 3 |
= e |
4 / 3 |
. |
|
|
|
|
3n |
+1 2n+3 |
= e |
4 / 3 |
. |
|
|||||||||
= lim 1+ |
|
|
= |
lim 1 |
|
|
lim 1+ |
|
|
|
|
|
Ответ: lim |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
t→∞ |
|
t |
|
|
|
t→∞ |
|
|
t |
|
t→∞ |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 3n |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Вычислить предел: lim |
|
2(eπ x |
−1) |
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 3sin(π (x + |
4)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Воспользуемся эквивалентными величинами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim |
2(eπx −1) |
= sin(πx + 4π ) |
= sinπx = lim |
2(eπx −1) |
= sinπx ~ πx и e |
πx -1 ~ πx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3sinπx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x→0 3sin(π (x + 4)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= lim |
2πx |
= |
2 |
Ответ: lim |
|
2(eπx −1) |
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 3πx |
|
|
3 |
|
|
|
x→0 3sin(π (x + |
4)) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: y = |
1 |
1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 84−x |
|
|
|
|||
|
Область определения – все действительные числа, кроме x=4. В точке x=4 |
|
функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(как элементарная функция). Исследуем поведение функции в |
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
окрестности точки разрыва: |
lim |
|
1 |
|
= 0, |
lim |
|
1 |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4−0 |
|
|
|
|
x→4+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 84−x |
|
|
|
|
1+ 84−x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, в точке x=4 имеет место разрыв первого рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Для |
построения |
эскиза |
|
графика |
функции |
рассмотрим |
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
поведение |
|
|
функции |
|
|
|
в |
|
|
|
|
бесконечности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
1 |
1 |
|
= lim |
1 |
1 |
= 1 . Ответ: В точке x=4 |
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
0 |
|
|
6 |
|
|
12 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1+ 84−x |
|
1+ 84−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. |
Исследовать |
|
функцию |
на |
|
непрерывность |
|
и |
|
построить |
эскиз |
|
|
графика: |
||||||||||||||||||||||
− 2(x +1), |
x ≤ −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1) |
3 |
, −1 < x < 0,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
y = (x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x, |
x ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область определения функции: x (−∞,∞) . Ось ОХ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
разбивается на три интервала, на каждом из которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
функций. Поэтому |
точками разрыва |
могут |
быть |
только |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние |
|
|
2 |
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) = −2 |
lim (x +1) = 0, |
lim |
f (x) = |
lim (x +1)3 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→−1−0 |
|
|
|
x→−1−0 |
|
|
|
|
|
|
x→−1+0 |
|
|
|
x→−1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = lim (x −1)3 = −1, f (x) = lim x = 0 . Таким образом, в точке x=−1 функция
непрерывна, а в точке x=0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=0 равна 1. Ответ: В точке x=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти f ′(0):
f (x) = ln[1− sin(x3 sin(1/ x))], x ≠ 0, |
f (0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
По определению f ′(x0) =lim |
f (x0 + |
x) − f (x0 ) |
. Заменим |
x на x-x0: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f ′(x |
|
) |
= lim |
f (x) − f (x0 ) |
. Но |
x |
|
|
= 0, f (x |
|
) = 0 , поэтому |
f ′(0) = lim |
f (x) |
|
. В данном случае |
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→x0 |
x |
− x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f ′(0) = lim |
ln[1− sin(x3 sin(1/ x))] |
= |
|
ln(1+ t) ~ t при t → 0 |
|
= lim − sin(x3 sin(1/ x)) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
sin t ~ t при t → |
0 |
|
|
− x3 sin(1/ x)) |
= −lim[x2 sin(1/ x))] = 0 , так как |
|
sin(1/ x) |
|
≤ 1 всегда. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: f ′(0) = 0 . |
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15. |
|
|
Найти |
|
производную |
|
|
|
|
|
показательно-степенной |
функции: |
y = (cos5x)ex . |
||||||||||||||||||||||||||
Прологарифмируем функцию: |
|
|
ln y = ex lncos5x . Берём |
производную, |
как производную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
неявной функции: |
|
y′ |
= ex lncos5x − |
5ex sin5x |
|
= ex (lncos5x − 5tg 5x) . Подставляем сюда y: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
cos5x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y′ = ex (lncos5x − 5tg 5x) (cos5x)ex . Ответ: |
y′ = ex (lncos5x − 5tg 5x) (cos5x)ex . |
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить y′xx′ :
x = cos2 |
t |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= tg2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
|
касательной |
и |
нормали |
к |
кривой |
y = f (x) |
имеют |
вид |
||||||
y = y0 |
+ y′x (x0 ) (x − x0 ) |
и |
y = y0 |
− (1/ y′x (x0 )) (x − x0 ) , |
|
|
|
|
||||||||
где |
x0 |
и |
y0 |
- координаты точки касания. Вычислим |
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сначала эти координаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x0= x(π / 4) = 1/ 2, |
y0= y(π / 4) = 1. Найдём производные |
2 |
|
|
|
|||||||||||
y′ |
и y′′ : |
y′ |
= yt′ = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
x |
|
xx |
x |
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
2tg t |
|
|
= − |
1 |
.Тогда |
y′x (π / 4) = −4 . |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
cos4 |
|
|
|
|
||||||||
|
cos2 t |
2costsin t |
t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
y′′ = (y′x )′t |
= − (cos−4 t)′ = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
x′ |
|
(cos2 t)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
− 4cos−5 t |
(−sint) |
= |
2 |
, следовательно, y′′(π / 4) = 16 . |
Таким образом, уравнение |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2cost (−sin t) |
|
|
cos6 t |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
касательной |
y = 1− 4(x −1/ 2) , уравнение нормали y = 1+ (x −1/ 2)/ 4. Или 4x + y − 3 = 0 и |
|||||||||||||||||
2x − 8y + 7 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: (x |
|
, y |
|
) = |
1 |
,1 , |
y′ (x |
|
) = −4, |
y′′(x |
|
) = 16, |
4x + y − 3 = 0 |
касательная. |
||||
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
= 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 8y + 7 |
нормаль |
4
17. Функция y(x), |
заданная |
неявно |
уравнением |
xy2 + y + x2 |
= 3, принимает в |
точке |
||||||||||||||||||||||
x |
0 |
= 1 |
значение y |
0 |
= 1. Найти |
y′ |
, y′′ |
, y′ |
(x |
0 |
), y′′ (x |
0 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
xx |
|
x |
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): y2 + 2xyy′ + y′ + 2x = 0 . Из |
||||||||||||||||||||||||||
этого |
|
равенства |
находим: |
|
y′ = − |
2x + y2 |
. |
|
Находим |
вторую |
производную: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y′′ = − |
(2yy′ + 2)(2xy +1) − (2y + 2xy′)(2x + y2 ) |
. |
Вычислим производные в |
точке: |
x |
|
= 1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2xy +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′(1) = −1, |
y′′(1) = 0 . |
Ответ: |
y′ = − |
2x + y2 |
, |
y′′ = − |
(2yy′ + 2)(2xy +1) − (2y + 2xy′)(2x + y2 ) |
, |
||||||||||||||||||||
2xy +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2xy +1)2 |
|
|
|
|
|
|||||
y′(1) = −1, |
y′′(1) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18.Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью
дифференциала: |
y = |
|
|
1 |
, |
x = 4,16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
По определению |
|
|
дифференциала |
|
|
|
y(x0 |
|
+ |
|
x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o( |
|
x) |
или, |
в других |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обозначениях, y(x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o((x − x0 )), |
x = dx = x − x0 . Отсюда получаем формулу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для |
приближённых |
|
|
|
|
вычислений: |
|
y(x) ≈ y(x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ). |
|
|
В |
|
|
данном |
|
случае |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
= 4, y(x |
0 |
) = y(4) = 0,5, |
y′ = −x−3/ 2 / 2, |
|
|
y′(x |
0 |
) = y′(4) = −1/16, |
|
x = 0,16 . |
|
|
|
|
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(4,16) ≈ 0,5 − 0,16/16 = 0,49 . Ответ: y ≈ 0,49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
x−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin x |
x−3 |
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
sin x |
|
|
lim |
[x−3 ln( |
sin x |
)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= lim e |
x |
|
|
ln( |
) |
= ex→+0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Найдём |
|
|
|
|
предел |
|
|
|
в |
|
|
показателе |
степени: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→+0 |
x |
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln(sin x / x))′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
ln(sin x |
/ x) |
|
0 |
|
= lim |
|
|
= lim[ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
xcos x |
− sin x |
|
= lim |
xcos x |
− sin x |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x3 )′ |
3x2 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→+0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
xcos x − sin x |
= lim |
cos x − xsin x − cos x |
|
= lim − xsin x = − lim |
|
1 |
|
= −∞ . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→+0 |
|
|
3x4 |
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
12x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 12x3 |
|
|
|
|
|
|
x→+0 12x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x x−3 |
= e |
−∞ |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x x−3 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim( |
1 |
− |
|
|
1 |
|
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ex |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
−1− x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Это неопределённость вида (∞-∞): |
|
|
lim( |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
) |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x ex −1 |
|
|
|
|
x→0 x(ex − |
1) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= lim |
(ex −1− x)′ |
== lim |
|
|
|
|
ex |
−1 |
|
|
= lim |
|
|
|
|
ex |
|
|
|
= |
|
1 |
|
. Ответ: |
lim( |
1 |
|
− |
|
1 |
|
) |
= |
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1)]′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ xex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 [x(ex |
|
|
|
|
x→0 ex −1 |
x→0 2ex + xex |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x ex −1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
Многочлен |
по |
|
степеням x представить |
|
в |
виде |
многочлена по |
|
степеням |
(x − x0 ) : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = 3x4 −11x3 − 66, |
x |
|
|
= −2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
формулу |
Тейлора |
|
для |
многочлена |
|||||||||||
f (x) = f (x |
|
) + f ′(x |
|
)(x − x |
|
) + |
f ′′(x0 ) |
(x − x |
|
)2 + |
f ′′′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 |
+ |
|
0 |
0 |
0 |
2! |
0 |
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
четвёртой |
степени: |
|||
f (4) (x0 ) |
(x − x |
|
)4 . |
|
4! |
0 |
|||
|
|
|||
|
|
|
Найдём |
все |
производные: |
|
f ′(x) = 12x3 − 33x2 , f ′′(x) = 36x2 − 66x, f ′′′(x) = 72x − 66, |
||||||||||||||||||||||||||
f (4) (x) = 72 . |
|
Тогда |
|
f (−2) = 70, f ′(−2) = −228, f ′′(−2) = 276, |
f ′′′(−2) = −210, |
f (4) (3) = 72 . |
||||||||||||||||||||||||
Подставив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
это |
|
|
|
в |
|
|
|
формулу, |
|
|
получим: |
||||||||
f (x) = 70 − 228(x + 2) +138(x + 2)2 − 35(x + 2)3 |
+ 3(x + 2)4 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ответ: f (x) = 70 − 228(x + 2) +138(x + 2)2 − 35(x + 2)3 + 3(x + 2)4 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию |
|
f (x) в окрестности точки x0 с |
||||||||||||||||||||||||||||
точностью до o((x − x |
0 |
)3 ) : f (x) = (x |
2 +1)−1 , |
x |
0 |
= −1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применяем формулу Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f (x) = f (x |
|
) + f |
′(x |
|
|
)(x − x |
|
) + |
|
f ′′(x0 ) |
(x − x |
|
)2 |
+ |
f ′′′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 |
+ o((x − x |
|
)3 ) . |
|
||||||||
0 |
0 |
0 |
|
0 |
3! |
0 |
0 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисляем последовательно: f (−1) = 1/ 2, |
|
f ′(x) = −2x(x2 +1)−2 , |
f ′(−1) = 1/ 2, |
|
||||||||||||||||||||||||||
f ′′(x) = −2(x2 +1)−2 + 8x2 (x2 +1)−3 , f ′′(−1) = 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f ′′′(x) = 8x(x2 |
+1)−3 |
|
+16x(x2 +1)−3 − 48x3 (x2 |
+1)−4 , f ′′′(−1) = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ: f (x) = |
1 |
+ |
1 |
(x +1) + |
1 |
(x +1)2 |
+ o((x +1)3 ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора:
f (x) = 4x − x2 + (x − 2)sin(x − 2), x |
0 |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём значения функции и её первых четырёх производных в заданной точке: |
|
||||
f (2) = 4, f ′(x) = 4 − 2x + sin(x − 2) + (x − 2)cos(x − 2), |
f ′(2) = 0, f ′′(x) = −2 + 2cos(x − 2) − |
||||
− (x − 2)sin(x − 2), f ′′(2) = 0, f ′′′(x) = −3sin(x − 2) − (x − 2)cos(x − 2), |
f ′′′(2) = 0, |
|
|||
f (4) (x) = −4cos(x − 2) + (x − 2)sin(x − 2), f (4) (2) = −4. |
По |
формуле |
Тейлора |
f (x) = 4 − (x − 2)4 / 6 + o((x − 2)4 ) . Ответ: В окрестности точки (2, 4) функция ведёт себя как
степенная функция четвёртой степени. Точка (2, 4) является точкой максимума. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+ x) − e |
− x −1 |
|
|
|
|
|
|
|||
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле Тейлора |
ln(1+ x) = x − |
x2 |
|
+ |
x3 |
+ o(x3 ) . Далее, e−x = 1− x + |
x2 |
− |
x3 |
+ o(x) . |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|||||
Подставим это в предел: lim |
ln(1+ x) − e− x −1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= lim |
x − x2 / 2 + x3 /3+ (1− x + x2 / 2 − x3 / 6) −1+ o(x3 ) |
= lim |
x3 / 6 + o(x3 ) |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
x3 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Ответ: lim |
ln(1 |
+ x) − e− x −1 |
= |
1 |
. |
|
|
x3 |
|
|
|||
x→0 |
|
6 |
|
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции:
y = |
21− x2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
7x + 9 |
|
|
|
|
Область |
определения |
функции: |
|
x (−∞, − 9/ 7) (−9/ 7, |
∞) . Функция |
непрерывна в |
каждой точке области определения. Найдём односторонние
пределы |
в |
граничной точке |
области |
определения: |
|||
lim |
21− x2 |
= −∞, |
lim |
21− x2 |
= ∞ . Отсюда следует, |
||
|
+ 9 |
|
|||||
x→−9 / 7−0 7x |
|
x→−1/ 2+0 7x + 9 |
|
|
|||
что прямая x = −9/ 7 |
является вертикальной асимптотой. |
||||||
Исследуем |
|
функцию |
при |
x → ±∞ : |
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
8 |
4 |
0 |
4 |
8 |
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
6
21− x |
2 |
|
|
x2 − 21 |
|
|
x |
− |
9 |
− |
948 |
] = ∞, |
21− x2 |
|
|
|
|
|
|||
lim |
= − lim |
|
|
|
= − lim[ |
|
|
lim |
= |
|
|
|
|
|
|||||||
x→−∞ 7x + 9 |
|
x→−∞ 7x + 9 |
|
|
x→−∞ 7 |
|
49 |
|
49(7x + 9) |
x→∞ 7x |
+ 9 |
|
|
|
|
|
|||||
x2 − 21 |
|
|
x |
− |
9 |
− |
948 |
] |
= −∞ . |
Следовательно, |
прямая |
y = − |
x |
+ |
9 |
||||||
= − lim |
+ 9 |
= − lim[ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→∞ 7x |
|
x→∞ 7 |
|
49 |
|
49(7x |
+ 9) |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
49 |
||||
является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: |
y = e x3 . |
|
|
||||||||||||||||||
1. Область определения: x (−∞, 0) (0, ∞). 2. Чётность, нечётность, периодичность |
|
||||||||||||||||||||
отсутствуют, функция положительна в области определения 3. Функция имеет разрыв в |
|
|
|||||||||||||||||||
точке x = 0. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
− 1 |
|
|
|
|
|
− 1 |
= e−∞ = 0. Таким образом, прямая x = 0 является вертикальной |
||||||||||||||
lim e x3 = e∞ = ∞, |
lim e |
x3 |
|||||||||||||||||||
x→0−0 |
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. lim e x3 |
= 1, |
|
lim e x3 |
= 1. Следовательно, прямая y = 1 является горизонтальной |
|
|
|
||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
асимптотой. Очевидно, что других асимптот нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Первая производная y′ = [e |
x3 ]′ = 3x−4 e |
x3 . Производная в нуль не обращается. |
|
|
|
||||||||||||||||
Производная остаётся положительной на всей числовой оси. Следовательно, в области |
|
|
|
||||||||||||||||||
определения функция монотонно возрастает и экстремумов не имеет. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. Вторая производная: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
− 1 |
|
′ |
|
|
|
|
− 1 |
|
− 1 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′′ = 3x−4 |
e x3 |
= −12x−5 e x3 + 9x−8 e x3 |
= 3e x3 (3− 4x3 )x−8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Вторая производная обращается в нуль в точке |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x = 3 3/ 4 . В точке x = 0 вторая производная не |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
существует. Имеем три интервала: в интервале |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(−∞, 0) производная y′′ > 0 - интервал вогнутости |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
графика функции, в интервале (0, 3 3/ 4) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
производная y′′ > 0 - интервал вогнутости, в |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
интервале (3 3/ 4, ∞) производная y′′ < 0 - интервал |
4 |
2 |
0 |
2 |
|
4 |
|
||||||||||||||
выпуклости графика функции. Точка перегиба - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x = 3 3/ 4 . 7. График функции не пересекает осей координат, во всех точках |
f (x) > 0. |
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет. Точка перегиба - |
|
|
|
||||||||||||||||||
(3 3/ 4, e−4 / 3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|