Г.Д, Ковалева, А.С. Липин -Теория вероятностей для социологов и менеджеров

Глава 7. Многомерные случайные величины

Вычислим коэффициенты корреляции и ковариации переменных и , соответствующих этим вопросам. Легко видеть, что

E p11 0,2

E E 1 0,5 0 0,5 1 0,6 0 0,4 0,3

D 12 0,5 02 0,5 0,52 0,25

D 12 0,6 02 0,4 0,62 0,24

Отсюда cov , 0,1, а , 0,41.

Пример 7.3. Продолжим изучение зависимостей с.в. из примера 6.1 с помощью коэффициента корреляции.

В общем виде, их корреляция выглядит:

что для анализа не очень наглядно. Поэтому предположим независимость , . Корреляция в этом случае преобразуется в вид:

Если D 0, т.е. имеет вырожденное распределение, то , 1, т.е. связь

между с.в. положительна и максимальна. Это действительно так, т.к. , в данном случае отличаются друг от друга на постоянную величину.

Если D D , то , 0, с.в. , некоррелированы, о независимо-

сти сказать ничего нельзя.

Если D 0, т.е. имеет вырожденное распределение, то между с.в. , отрицательная, что несложно проверить.

Пример 6.3 показывает, что при линейной связи коэффициент корреляции достигает своих предельных значений. Докажем этот факт формально.

a b, E a b E a b E . D a b D

Числитель преобразуется:

E a b E a b E E a 2 b a E 2 bE aD .

Знаменатель преобразуется:

D a b D a2 D D a D .

где

1,a o

sign a 0,a 0 .

1,a 0

Таким обозом, при положительной линейной связи коэффициент корреляции равен 1, при отрицательной линейной связи он равен -1.

71

Литература

7.2.3. Ковариационная и корреляционная матрицы

Ковариационная матрица – это матрица коэффициентов ковариации случайного век-

По диагонали этой матрицы располагаются дисперсии переменных. Матрица симметрична и положительно определена.

Ковариационная матрица несет информацию о структуре распределения многомерных данных. За счет исследования ее собственных векторов и собственных чисел этой матрицы в методе факторного анализа удается исследовать направления (главные компоненты) в которых вытянуто облако данных.

Корреляционная матрица – это матрица коэффициентов корреляции случайного вектора 1, 2, , n , ( , ).

Свойства корреляционной матрицы аналогичны ковариационной. Корреляционная матрица полезна, когда необходимо отвлечься от единиц измерения случайных величин. Это удается сделать, поскольку коэффициент корреляции является тем же коэффициентом ковариации, но для стандартизованных переменных.

7.3. Многомерное нормальное распределение

Многомерное нормальное распределение – это распределение случайного вектора с плотностью

где 1, 2, , n – с.в., a a1, a2, , an – вектор математических ожиданий, – ковариационная матрица, i €Nai , i2 .

Замечание. Матрица ковариации в выражении (7.2) очевидно должна быть неврожден-

ной, иначе в знаменателе будет det 0. При этом даже нормально распределенные

координаты вектора в общем случае не гарантируют невырожденность матрицы ковариа-

ции.

Многомерным нормальным распределением мы будем пользоваться на курсе математической статистики. Само распределение используется во многих приложениях анализа данных, с одной стороны т.к. к нему очень часто сходятся с.в. и оно, благодаря своим свой-

После несложных преобразований плотность представима в виде:

72

Глава 7. Многомерные случайные величины

Вопросы

1. Электронный луч в кинескопе подвергается воздействию случайного скачкообразного напряжения таким образом, что пятно на экране за единицу времени перемещается на единичное расстояние параллельно одной из осей координат, каждый раз либо продолжая прежнее направление движения, либо меняя его на ±90° с вероятностями 1/3. Найти математическое

Определить вероятности событий , , .

3. Случайная величина имеет плотность вероятности f x , а случайная величина свя-

зана с ней функциональной зависимостью 2 . Найти функцию совместного распределения F , x, y .

4. Случайный вектор , распределен равномерно в круге радиуса R с центром в начале

координат. Доказать, что и зависимы, но некоррелированы.

5. «Парадокс Бореля». Пусть случайная точка равномерно выбирается на поверхности шара (например, на Земле, предполагая, что она – шар). Вообще говоря, положение точки задается ее широтой и долготой. При данной широте долгота равномерно распределена, но при фиксированной долготе распределение широты не является равномерным. (Плотность этого распределения пропорциональна косинусу долготы.) Следовательно, плотность случайной точки не одинакова, когда она находится на гринвичском меридиане или на экваторе, хотя и гринвичский меридиан, и экватор являются большими окружностями на сфере, и поэтому их роль представляется одинаковой.

73

Литература

ЛИТЕРАТУРА

1.Боровков А. А. Теория вероятностей. – М.: Эдиториал УРСС, 1999, 2003.

2.Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учебник для ВУЗов. М.: Высшая школа, 2002.

3.Гильдерман Ю. И. Закон и случай. Новосибирск: Наука, 1991.

4.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1998.

5.Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 1998.

6.Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: Учебник для университетов. М.: Эдиториал УРСС, 2001.

7.Гнеденко Б.В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. – М.: Наука, 1964; Эдиториал УРСС, 2003.

8.Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.: Наука, 1974.

9.Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В. Введение в теорию вероятностей.

Библиотечка «Квант», вып. 23. М.: Наука, 1995.

10.Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. Новосибирск: НГУ. 2003.

11.Очерки по истории математики / Под ред. Б.В.Гнеденко. М.: Изд-во МГУ, 1997.

12.Сборник задач по математике для ВТУЗОВ. Теория вероятностей и математическая статистика. Под ред. А. В. Ефимова. М.: Наука, 1990.

13.Свешников А. А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. М.: Наука, 1970.

14.Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир, 1990.

15.Тутубалин В. Н. Теория вероятностей. М.: Изд. МГУ, 1972.

16.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.1. – М.: Мир, 1984.

17.Чернова Н. И. Теория вероятностей. Новосибирск: НГУ, 2007.

18.Четыркин Е. М., Калихман И. Л. Вероятность и статистика. М.: Финансы и статисти-

ка, 1982.

19.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: «Агар», 2000.

20.Шведов А. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ГУ ВШЭ, 2005.

74

Приложение

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица нормального распределения

Табулирована функция Лапласа 0,1 x 0,1 x 0,5 при x 0 . Площадь, определяемая

75