Г.Д, Ковалева, А.С. Липин -Теория вероятностей для социологов и менеджеров
.pdfГлава 4. Случайные величины
ГЛАВА 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
4.1. Случайные величины и их распределения
Случайная величина (с.в.) – функция : R , если x R : x – собы-
тие.
Условие x – событие, необходимо для расчета вероятности в пространстве
, ,P .
Задание в виде : x – предмет договоренности. Потенциально возможно было любое другое, например в виде : x, y .
Стандартное задание случайной величины:
стрелок попал 1
.
стрелок промахнулся 0
На основе пространства , , P может быть задано бесконечное множество с.в., од-
нако по ним не всегда можно восстановить информацию о случайном эксперименте.
Две одинаковые с.в. , могут быть определены на разных вероятностных пространствах.
Распределение случайной величины – это соответствие значения с.в. вероятности его принять:
x P x ;
для множества на прямой – соответствие вероятности в него попасть:
a x b P a,b .
Аналогично заданию с.в., одинаково распределенные с.в. могут быть различными.
С.в. имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел a1, a2, :
P ai 1.
i 1
Функция распределения с.в. – функция F :R 0,1 :
F x P x P : x .
Функция распределения описывает все распределение с.в. Аналогично введенным абстракциям, у разных с.в. могут быть одинаковые функции распределения.
Свойства функции распределения случайной величины
1) Ограниченность: 0 F x 1.
Следствие того, что функция распределения определяется, как P x , которая по
определению вероятностной меры лежит в интервале от 0 до 1.
2) Существование пределов: limF x 1, |
lim F x 0. |
x |
x |
Доказательство для правого предела следует из того, что |
|
lim F x lim P x 1. ■ |
|
x |
x |
31
Теория вероятностей
3) Непрерывность слева |
x x 0 |
|
x |
|
|
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
F |
|
F |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) F x0 0 F x0 P x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Данное свойство определяет величину скачка функции распределения в точке x0 , кото- |
||||||||||||||||||||||||||||||
рый равен вероятности P x0 . Докажем свойство для дискретного распределения. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
F x0 P x0 |
P ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k:ak x0 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 0 P x0 0 |
P ak |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k:ak x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Соответствующая разность равна: P x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5) P a b F b F a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P |
|
a b |
|
P |
|
a |
|
|
P |
a |
|
P |
b |
P |
a |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
Учитывая, что a b, P a b 1 и P a 1 P a получим:
P a b P a b 1 P a P b 1
P b P a F b F a .▄
6) Неубывание: x1 x2 F x1 F x2 .
F x1 F x2 F x2 F x1 P x1 x2 0 . ■
Известные нам случайные величины – это €Bp , €Bn, p , € , гипергеометрическая с.в. Из дискретных распределений стоит отметить еще несколько распределений.
Тривиальный случай случайной величины – вырожденная случайная величина, которая принимает одно значение a с вероятностью 1. Обозначается €Ia .
Таблица распределения в данном случае – простейшая:
a
P 1.
Отрицательное биномиальное распределение – распределение с.в., распределенной как количество неудач до s -го успеха в схеме Бернулли, €NBs, p .
Вероятность k неудач:
P k Ckk s 1ps 1 p k .
Таблица распределения с.в.:
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
P |
|
pr |
|
rpr 1 p |
|
|
|
Ckk r 1 pr 1 p k |
|
|
Геометрические распределение – распределение с.в., распределенной как номер первого успешного испытания в схеме Бернулли, €Gp :
P k p 1 p k 1.
Таблица распределения с.в.: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
P |
|
p |
|
p 1 p |
|
|
|
p 1 p k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Глава 4. Случайные величины
Геометрическое распределение единственное из дискретных обладает свойством «нестарения» или «отсутствия памяти»:
P x y x P y ,
которое трактуется следующим образом – количество прошлых «неудач» (x) не влияет на количество будущих «неудач» (y).
Свойство «нестарения» очень удобное в прикладном смысле – время работы прибора до поломки не зависит от того, как долго он до этого работал безотказно. На самом деле мы уже сталкивались со свойством «нестарения» – это свойство отсутствия последействия у простейшего потока в § 3.7.
Геометрическое распределение является частным случаем отрицательного биномиаль-
ного распределения: Gp NB1, p . Более того, для независимого набора с.в. i 1,n i €Gp :
n
i €NBn,p . i 1
Пример 4.1. Построим график дискретной функции распределения с.в. €Bp .
По определению функции распределения F x P x .
Таблица распределения Бернулли:
|
|
|
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
P |
1 p |
p |
|
Если x 0, то событие x |
не содержит элементарных исходов, т.е. P x 0. |
|||||
Если 0 x 1, то событие |
x |
сдержит один элементарных исход 0 , поэтому |
||||
P x P 0 p . |
|
|
|
|
|
|
Если 1 x, то событие x сдержит два элементарных исход 0, 1 , поэтому
P x P 0 P 1 p 1 p 1.
Аналитически функция распределения записывается в виде кусочно-разрывной функции:
0,x 0
F x 1 p,0 x 1.1,1 x
График такой функции имеет типичную для дискретного распределения форму – ступенчатую, а «высота ступени» равна скачку функции распределения. см. рис. 4.1.
F x
1 p
1 p
0 |
1 |
x |
Рис. 4.1. Функция распределения биномиальной с.в.
Скачек в точке нуль: F 0 0 F 0 1 p 0 1 p P 0 . Скачек в точке x 1: F 1 0 F 1 1 1 p = p= P 1 .
33
Теория вероятностей
4.2.Абсолютно непрерывные случайные величины
Впредыдущем параграфе были даны общие определения случайной величины и функции распределения с.в. и примеры дискретных случайных величин. Однако кроме дискретных случайных величин, заданных на счетном пространстве элементарных исходов, нам известны непрерывные пространства значений, например в задаче о встрече.
Для непрерывных мы использовали инструменты, отличающиеся от случая дискретных пространств. Например, формулу геометрической вероятности вместо расчета мощности множеств. Так и для случайных величин в непрерывных пространствах необходимы новые инструменты, т. к. они обладают некоторыми специфичными свойствами.
4.2.1. Плотность распределения случайной величины
Случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f x :
x |
|
|
F x |
f t dt , |
(4.1) |
|
|
|
где f x – плотность распределения с.в.
Свойства плотности распределения с.в.
1) f x 0.
d
2) f x dx F x .
3) Условие нормировки f x dx 1.
Интеграл можно заменить следующим пределом:
|
f x dx lim |
x |
f t dt limF x 1. ■ |
|
|
|
|||
x |
x |
|||
|
|
|
|
b
4) P a b F b F a f x dx .
a
Более того, верна формула: P a b P a b P a b P a b , так
как вероятность с.в., имеющей непрерывную функцию распределения, попасть в точку равна нулю:
F a F a 0 F a F a F a 0.
5) Если пределы lim f x и |
lim f x существуют, то они равны нулю. |
x |
x |
На рис. 4.2 показано соответствие между функцией распределения и плотностью распределения с.в. Согласно определению плотности (4.1), заштрихованная область (площадь под графиком функции плотности на интервале ,x0 ) соответствует значению функции
распределения в точке x0 , т. е. F x0 .
По определению плотности, она существует только у абсолютно непрерывного распределения, а у дискретного нет. Стоит отметить распространенное заблуждение – «плотность существует только у дифференцируемых F x ». У всех дискретных с.в., которые мы упо-
минали, функции распределения дифференцируемы, существует производная, которая равна нулю. Поэтому производная есть, но плотности нет.
34
Глава 4. Случайные величины
F x
1
F x0
x0 |
x |
f x
x0 |
x |
Рис. 4.2. Функция распределения F x и плотность |
f x абсолютно непрерывного распределения |
У дискретных случайных величин аналогом плотности является таблица распределе-
ния.
4.2.2. Равномерное распределение
Рассмотрим случайную величину, равномерно распределенную на отрезке a,b . При-
мером случайного эксперимента, дающего такую случайную величину, является бросание точки на отрезок. Главным свойством такой случайной величины является то, что вероятность попадания в точку равномерно «размазана» по всему отрезку. Вероятность попадания точки в область не зависит от расположения этой области на отрезке, а только от его размера. Интуитивно можно заключить, что плотность распределения такой с.в. одинакова во всех точках, в которых эта плотность не равна нулю.
Вероятности событий F x P x для случаев x a и x b равны, соответствен-
но 0 и 1. Это является следствием того, что координата точки лежит в отрезке a,b и первое
событие является невозможным, а второе достоверным. Вероятность для интервала a x b
определяется по формуле геометрической вероятности и равна x a . b a
Функция распределения с.в. , имеющей равномерное распределение на отрезке a,b
выглядит следующим образом (см. рис. 4.3):
|
|
0,если x a |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
x a |
|
|
|||
|
|
F x |
|
|
,если a x b. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b a |
|
|
|||
|
|
1,если x b |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
Плотность распределения с.в. найдем, взяв производную функции распределения |
|||||||
(см. рис. 4.3). Теперь можно определить равномерную с.в., на основании плотности. |
|
||||||
Случайная величина |
имеет равномерное распределение на отрезке a,b , |
€Ua,b , |
|||||
если плотность распределения |
постоянна на отрезке a,b и равна нулю вне его: |
|
|||||
|
|
1 |
,если x a,b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
f x b a |
. |
|
0,если x a,b
35
Теория вероятностей
Замечание. Равномерное распределение в литературе имеет еще одно название – прямоугольное распределение. Очевидно, что это следствие постоянства плотности.
Случайная величина , получаемая преобразованием с.в. €Ua,b |
, |
a |
имеет равномер- |
||
|
|||||
ное распределение на интервале 0,1 : |
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
1,если x 0,1 |
|
|
|
||
f x 0,если x |
|
0,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x
1
F x0
f x |
a |
x0 |
b |
x |
1
b a
a |
x0 |
b |
x |
Рис. 4.3. Функция распределения и плотность распределения Ua,b
В параграфе, посвященном преобразованиям случайных величин, будет в общем виде показано, как преобразование случайной величины меняет ее характеристики.
4.2.3. Показательное распределение
Это распределение времени до прихода первого посетителя, начиная с заданного момента, времени отказа прибора и т.п. Похожая случайная величина возникала при анализе пуассоновского потока событий.
В рамках задачи о простейшем потоке событий предположим, что в единицу времени происходит в среднем успехов в большом количестве испытаний (число посетителей, число отказов аппаратуры и т.п.). Тогда за промежуток времени длины x происходит x успешных испытаний. Соответственно, вероятность того, что за промежуток времени x в испытаниях не будет ни одного успеха, равна P 0 e x .
Обозначим за с.в. время до наступления первого успеха. Тогда событие {за проме-
жуток времени x не было ни одного успеха} совпадает с событием x . В соответствии с этим:
P x 1 P x 1 e x .
Таким образом, функция распределения с.в. |
равна: |
|
|
x |
,если x 0 |
1 e |
|
|
F x |
|
. |
0,если x 0
Соответственно плотность распределения с.в. равна:
36
Глава 4. Случайные величины
|
|
x |
,если x 0 |
|
e |
|
|
|
f x |
|
. |
|
0,если x 0 |
||
F x |
|
|
|
1 |
|
|
|
F x0 |
|
|
|
f x |
x0 |
|
x |
|
|
|
|
x0 |
x |
Рис. 4.4. Функция распределения и плотность распределения E
Случайная величина, имеющая показательное распределение, обозначается €E . Гра-
фик функции распределения и плотности распределения показательной с.в. представлен на рис. 4.4.
Замечание. Альтернативное название показательного распределения – экспоненциальное, что связано с наличием экспоненты.
Показательное распределение единственное из абсолютно непрерывных обладает свойством «нестарения»:
P x y x P y .
В этом оно аналогично геометрическому, поэтому его называют непрерывным аналогом геометрического распределения.
4.2.4. Нормальное распределение
Случайная величина имеет нормальное (гауссово) распределение с параметрами
a R и 0 , €Na, 2 , если плотность распределения выглядит следующим образом:
f x |
1 e |
|
x a 2 |
||
2 2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
Из всех перечисленных в этом параграфе распределений нормальное распределение будет наиболее часто упоминаться в дальнейшем и не только в курсе теории вероятностей, но и математической статистики и далее – в эконометрии и пр.
Плотность нормального распределения имеет куполообразную форму, см. рис. 4.5. В отличие от прочих распределений функция распределения нормального распределения не выражается через элементарные, т.к. не имеет первообразной. Поэтому записывается только в виде определенного интеграла:
x |
1 |
|
|
t a 2 |
|
||||
F x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
e 2 |
2 dt . |
(4.2) |
|||||
|
|
|
|||||||
2 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл (4.2) имеет особое обозначение a, 2 x .
37
Теория вероятностей
F x
1
F x0
f x |
x0 |
x |
1
2 2
x0 |
a |
x |
Рис. 4.5. Функция распределения и плотность распределения Na, 2
Если случайная величина распределена по закону N0,1, то она называется стандарти-
зованной нормальной случайной величиной, а распределение – стандартным нормальным. Функция распределения стандартного нормального распределения обозначается:
|
x |
|
1 |
x |
|
t2 |
|
|
0,1 |
|
|
e 2 dt . |
|||||
|
|
|
||||||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Отсутствие первообразной, выраженной через элементарные функции означает, что в аналитическом виде интеграл (4.2) не представим в элементарных функциях. В этом случае можно считают интеграл численно как площадь под графиком функции плотности и табулируют.
Естественно, что для каждой случайной величины (с произвольными параметрами a и2 ) рассчитывать численно функцию a, 2 x было бы излишне, поэтому табулирована
только функция 0,1 x и существует механизм перехода к функции a, 2 x .
Из-за широкой распространенности распределения существует несколько обозначений этого интеграла. Основные это: 0,1 x 1 0,1 x и функция Лапласа, определяемая
0,1 x 0,1 x 0,5. Функция Лапласа нечетна: 0,1( x) 0,1 x .
Свойства плотности распределения с.в.
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) a, 2 x 0,1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
1 |
|
|
|
t a 2 |
|
|||||||
|
|
a, 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
e |
2 2 dt . |
(4.3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
t a |
|
|
|||
Проведем замену переменных в интеграле (4.3): y |
. Тогда t a y, соответст- |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
венно dt dy . Пределы интегрирование изменятся следующим образом: |
|
||||||||||||||
|
|
t x |
|
|
|
x a |
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
После замены переменных интеграл (4.3) будет выглядеть:
38
Глава 4. Случайные величины
|
|
x a |
|
|
|
|
|
y2 |
|
x a |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x a |
|||||||||
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
2 dy |
|
|
|
|
|
e |
|
2 dy 0,1 |
|
|
.▄ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2) Если с.в. имеет стандартное нормальное распределение, а с.в. |
получена преобразова- |
нием a , где 0, то €Na, 2 .
Докажем это свойство, получив функцию распределения с.в. , зная функцию распре-
деления с.в. и использованное преобразование. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
F x P x P a x |
P |
x a |
|
|
|
|
|
x a |
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0,1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Последнее равенство по свойству 1) означает, что F x a, 2 |
x , т.е. €Na, 2 .▄ |
||||||||||||||||||||||||||||||
3) Если €Na, 2 , то верны следующие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
|
|
|
|
x a |
|||||||||
P x1 x2 a, 2 x2 a, 2 x1 |
0,1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0,1 |
1 |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) Симметричность функции плотности N0,1 : 0,1 x 1 0,1 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 x |
|
|
|
|
|
e |
|
2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 0,1 x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
2 dt |
|
|
|
|
e |
2 dt |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
проведя замену переменных y t во втором интеграле, в точности получим первый. ■ Графически симметричность изображена на рис. 4.6.
f t
x |
x |
t |
Рис. 4.6. Симметричность плотность распределения N0,1
Очевидное следствие симметричности плотности: 0,1 0 0,5.
5) Если с.в. имеет стандартное нормальное распределение, то
P |
|
x =P x x |
0,1 x 0,1 x 1 2 0,1 x 2 0,1 x 1. |
||||||||||||||
6) Правило «трех сигм». Если €Na, 2 |
, то P |
|
a |
|
3 0,0027 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
P |
a |
3 1 P |
a |
3 1 P |
|
|
|
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 2 0,1 3 2 0,1 3 2 0,00135 0,0027. ▄
39
Теория вероятностей
fa, 2 x
0,9973
a 3 |
a |
a 3 |
x |
Рис. 4.7. Геометрическая интерпретация правила «трех сигм» |
|
||
Значение площади 0,9973 означает, что почти все распределение сконцентрировано в |
|||
границах a 3 , a 3 , а вероятность с.в. |
|
попасть за эти границы достаточно мала и |
|
равна 0,0027, см. рис. 4.7. |
|
|
|
Для сравнения можно рассчитать следующие вероятности: 5
P a 3 0,9973
P a 2 0,9545.
P a 1 0,6827
Как видно, в границах «трех сигм» от a стандартная нормальная случайная величина принимает 99,73% всех своих значений.
4.2.5. Гамма-распределение
Случайная величина имеет гамма-распределение, € , с параметрами , 0,
если ее плотность выглядит следующим образом:
|
|
|
x 1e x, если x 0 |
|
|
||||
|
|
|
||
|
||||
f x |
. |
0,иначе
Гамма-функция определяется:
|
|
x 1e xdx. |
(4.4) |
0 |
|
Из курса математического анализа известно, что первообразная интегралов (4.4) находится с помощью метода интегрирования по частям. Интегрирование данного интеграла приводит к следующему равенству 1 1 .
Очевидно, что для целых выполняется равенство 1 !. Интерес представ-
1
ляет еще одно значение: .
2
Как и в случае нормального распределения, функция гамма-распределения в явном виде не выражается через элементарные функции, но записывается через соответствующий интеграл:
F x |
|
x |
|
|
|
t 1e tdt . |
(4.5) |
||
|
||||
|
|
|
5 Вероятности стандартного нормального распределения находятся по таблице распределения.
40