Г.Д, Ковалева, А.С. Липин -Теория вероятностей для социологов и менеджеров

Глава 3. Биномиальные схемы

при известной величине p найти, сколько, минимум, нужно испытаний, чтобы хотя бы один успех был с вероятностью, не меньшей p0 :

Последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли может быть описана множеством элементарных событий: s1,s2, ,sn si 0,1 ,i 1,n . При этом считается,

что появление нулей и единичек в разных позициях S s1,s2, ,sn независимо. Заметим,

что в отличие от классической схемы элементарные события S не равновероятны.

Замечание. Под схему Бернулли попадают не только испытания, в которых возможны исходы типа 0 или 1. Исходы могут быть любыми. Например, частица в момент времени получает импульс +1 (шаг вправо) с вероятностью p или импульс -1 (шаг влево) с вероятностью

q 1 p. Это тоже схема Бернулли, только для смещенных элементарных событий.

3.2. Биномиальное распределение

Случаи, разобранные в §3.1, тривиальны и могут быть получены из общей формулы. Пусть проводится n испытаний по схеме Бернулли. Нас интересует P n k – вероятность

того, что событие наступит ровно k раз. Соответственно, если k – число «успехов», то n k

– число «неуспехов», т.е. случаи, когда событие не произошло. Тогда по теореме о произведении вероятностей, если не учитывать порядок «успехов» и «неудач», то искомая вероятность равна P S pkqn k .

Вероятность с учетом порядка можно рассчитать с помощью теоремы о сложении вероятностей. Действительно, вероятность такого события равна сумме вероятностей всех элементарных событий, описываемых векторами S, имеющими k единиц («успехов»). Число способов, какими в векторе длины n можно расставить k единиц равно Cnk , поэтому

Эта формула носит название формулы Якоба Бернулли2. С помощью схемы Бернулли определим новое распределение вероятностей.

Биномиальное распределение вероятностей Bn,p числа успехов в n испытаниях – соответствия числа успехов k его вероятности:

Cnk pn 1 p n k ,0 k n ,

либо в табличном виде:

2 Якоб Бернулли, Jakob Bernoulli, (1654-1705 гг.) – швейцарский математик, ученик Лейбница. Один из основателей теории вероятностей: ввёл значительную часть современных понятий, сформулировал первый вариант закона больших чисел.

21

Теория вероятностей

Термин «биномиальное» распределение связан с разложением бинома Ньютона:

n

a b n Cnkakbn k . k 0

В нашем случае a p , b q , причем a b 1:

n n

1 p q n Cnk pkqn k P n k .

Замечание. Равенство суммы вероятностей всех событий k 0,1,2, ,n единице – зако-

номерно. Это следствие того, что этот набор событий является полной группой событий.

Сочетания Cnk также называют биномиальными коэффициентами. Известное соотно-

шение между сочетаниями,

Cnk Cnk 11 Cnk 1 ,

также можно получить в виде следствия бинома Ньютона, используя пирамиду Паскаля.

В примере 3.1 искомая вероятность, рассчитанная по формуле Бернулли, соответственно равна:

P 5 3 C53 0,23 0,82 0,0512.

Форма биномиального распределения

В схеме Бернулли, как уже было отмечено, исходы не являются равновероятными. Если исходы не являются равновероятными, после ранжирования, можно определить наиболее и наименее вероятные. Вопрос о наиболее вероятном количестве удачных исходов проведенного испытания с очевидностью является важным. Ответ на него можно получить, используя несложные геометрические соображения.

Представление о форме распределения можно получить, изучив поведение по k вероят-

22

Глава 3. Биномиальные схемы

Пример 3.2а. Пусть для проведения глубокого интервью отобрано 8 работающих человек.

Предположим, 13 трудоспособного населения имеет высшее и среднее специальное образо-

вание, тогда вероятность того, что в выборке окажется k человек с высшим и средним специ-

альным образованием растет, пока k 13 8 1 3, при k0 3 – вероятность максимальна.

Далее, при k 3, вероятность убывает (рис. 3.1).

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

0.00

Рис. 3.2. Биномиальное распределение, B8000,110000

Если мы будем увеличивать при фиксированном p число экспериментов в схеме Бернулли, форма распределения все более будет приближаться к симметричной и колоколообразной. Эта форма распределения имеет ключевое значение в теории вероятностей и математической статистике и связана с один из законов природы, который обобщается «Центральной предельной теоремой» о сходимости к нормальному распределению сумм случайных величин.

23

Теория вероятностей

Асимметричное распределение, представленное на рис. 3.2, часто встречается при подсчете числа повторений маловероятных событий.

Полиномиальное распределение

От биномиальной схемы легко перейти к обобщению – полиномиальной схеме, как мы перешли к обобщению гипергеометрического распределения. Представим, что в результате опыта возможны не две реализации, а m различных исходов. Тогда обобщение формулы Бернулли будет выглядеть следующим образом:

где числа сочетаний определяет расстановку соответствующих исходов среди n испытаний. Аналогично формуле Бернулли параметры распределения соотносятся:

Более компактно вероятность (3.2) записывается так:

Аналогично разложению в бином Ньютона, из которого мы получили следствие того, что сумма вероятностей равна 1, сумма вероятностей полиномиального распределения равна 1 из разложения полинома:

3.3.Аппроксимация гипергеометрического распределения биномиальным

Из курса математического анализа известно, что сходящаяся последовательность при росте n все меньше отклонятся от своего предела. Аналогичными свойствами обладают объекты теории вероятностей – при большом количестве испытаний n их характеристики можно аппроксимировать более простыми величинами.

Рассмотрим гипергеометрическое распределение:

Неудобство технического характера заключается в том, что для расчета вероятности необходимо рассчитать 9 факториалов, что является затратной по времени процедурой даже для современных вычислительных мощностей при достаточно больших n. Но при определенных предположениях можно обойтись без расчета громоздкой формулы.

24

Глава 3. Биномиальные схемы

Таким образом, заменяя число сочетаний асимптотически эквивалентной последовательностью, получим искомую аппроксимацию:

Теорема имеет несложную трактовку. Если пропорция n1 (доля белых шаров в урне) не n

меняется, это означает, что при каждом вытаскивании вероятность вытащить белый шар неизменна. Это в свою очередь означает, что мы находимся в условиях схемы Бернулли, поэтому аппроксимация гипергеометрической вероятности формулой Бернулли более чем естественна.

3.4.Аппроксимация биномиального распределения для редко случающихся событий

3.4.1.Теорема Пуассона

Впримере 3.2 б рассчитать вероятность события B={в парикмахерскую зайдет не менее

19

20 жителей} достаточно трудоемко: P B 1 C8000k 0,0001 k 0,9999 8000 k .

k 0

Для таких случаев можно воспользоваться теоремой Пуассона3, которая позволяет значительно упростить вычисление вероятностей числа повторений событий P n k в

случае, когда их вероятность p мала, а их число n велико.

Теорема Пуассона. Если n , pn 0, так что npn n , то

Доказательство. Используем уже известную нам асимптотическую эквивалентность

Cnk ~ nk . n k!

Второй сомножитель представим в виде

Третий сомножитель соответственно представим в виде

3 Симеон-Дени Пуассон, Simeon-Denis Poisson, (1781-1840) – знаменитый французский физик-математик. Имеет более 300 научных трудов. Пэр Франции.

25

Теория вероятностей

Теорема Пуассона представляет собой интересный результат. Оказывается, для того чтобы определить вероятность m редких успешных исходов в большом числе испытаний, нет необходимости знать число испытаний и вероятность успеха – достаточно знать среднее число успешных исходов np.

3.4.2. Погрешность аппроксимации

При доказательстве предыдущей теоремы мы постоянно использовали выражение асимптотическая эквивалентность. В применении таких построений к доказательству правомочно, т.к. утверждение теоремы доказывается строго при достаточно больших n. При применении на практике, возникает вопрос, касающийся как раз «достаточно больших n». Какова величина n, достаточная для того, чтоб утверждение выполнялось?

Ответ очевиден – чем больше n, тем точнее аппроксимация, а чем n меньше, тем приближении хуже, т.е. грубее. Следующее утверждение позволяет оценить погрешность аппроксимации в каждой ситуации, а исследователь, в зависимости от своих требований, может воспользоваться данной аппроксимацией, если его удовлетворяет погрешность.

Оценка погрешности в теореме Пуассона

Для любого события A 0,1,2, ,n верно следующее

Если опять вернуться к примеру 3.3 б, то можно рассчитать вероятность события B={в парикмахерскую зайдет не менее 20 жителей}, не по формуле для биномиального распреде-

3.4.3. Распределение Пуассона

Случай биномиального распределения, разобранный в §3.5, заслуживает особого внимания. Эта схема описывает последовательность испытаний, в которых вероятность успеха мала. И в действительности подобную схему можно встретить не так редко. К примеру, именно она является моделью следующих реальных процессов:

поступление больных в пункт скорой помощи;

26

Глава 3. Биномиальные схемы

отказы аппаратуры;

последовательность молниевых разрядов вовремя грозы;

поступление заказов в швейную мастерскую;

звонки в call-центр;

число попаданий ракет в заданный квадрат Лондона во время второй мировой войны. Все перечисленные примеры являются потоками событий.

Поток событий – это последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Различные потоки событий могут обладать различными характеристиками и свойствами. Среди свойств потоков, полезных для создания вероятностных моделей, следует выде-

лить стационарность, отсутствие последействия и ординарность.

Стационарность заключается в том, что вероятность k событий на любом промежутке времени зависит только от длительности этого промежутка, а не зависит от начальной точки его отсчета (расположение на оси времени).

Следствием наличия стационарности является то, что поток равномерен, т.е отсутствуют промежутки времени, в течение которых событий больше чем обычно («часы пик»).

Отсутствие последействия (иногда – независимость) означает, что вероятность появления k событий не зависит от того, что произошли или нет события в предшествующие моменты времени.

Пример потока с таким свойством – вход пассажиров на станцию метро, т.к. приход каждого пассажира не связан с приходом остальных. Но выход пассажиров со станции – уже поток с последействием, т.к. он обусловлен прибытием поезда.

Ординарность потока (иногда – редкость) заключается в том, что вероятность появления двух событий в малый промежуток времени бесконечно малая величина по сравнению с вероятностью появления одного события.

Это свойство означает, что события происходят по одному, а не парами или тройками и

т.д.

Очевидно, что наличие подобных свойств упрощает анализ ситуации, т.к., к примеру, нет необходимости доопределять взаимосвязи между событиями, произошедшими до и после и пр. Поэтому поток, обладающий всеми тремя указанными свойствами, называется про-

стейшим либо пуассоновским потоком событий.

Пуассоновский поток событий описывается распределением Пуассона, с парамет-

ром 0 :

Поставим задачу сравнения распределения Пуассона и биномиального распределения, т.к. первое является аппроксимацией второго.

27

Теория вероятностей

Замечание. На первый взгляд, исходя их приведенных примеров, может показаться, что простейшие потоки встречаются не так часто. Однако это не совсем так. Объяснением этого занимался шведский ученый Пальма. Позднее А.Я. Хинчин доказал теорему, что если поток является суммой большого числа независимых потоков, то при некоторых аналитических ограничениях суммарный поток сходится к простейшему. Например, под руководством Б.В. Гнеденко был исследован поток судов, прибывающих в грузовой порт. Статистическая анализ позволил сделать вывод о достаточно хорошем совпадении реального потока с простейшим. На основании этого были сделаны прогнозы относительно прибытия судов на последующие месяцы.

Пример 3.3. Какова вероятность того, что из 500 человек, 4 родились 1 января?

Событие {человек родился 1 января} подчиняется биномиальному закону с вероятностью p 1365.

Решением является вероятность события P 500 4 из биномиального распределения

Уже после 3 идет совпадение до третьего знака после запятой.

Рассмотрим функционирование call-центра.

Пример 3.4. По телефону доверия каждые 10 минут звонит в среднем 1 человек. Какова вероятность, что в ближайшие 10 минут поступит два звонка?

Интенсивность потока4 равна 1. Используя распределение Пуассона 1 , для 2 полу-

чим:

P 2 12 e 1 0,184. 2!

Решением задач, перечисленных в начале параграфа, занимается раздел теории вероятностей – теория систем массового обслуживания, который обладает специализированным аппаратом. Например, если описывать функционирование call-центра, то необходимо кроме вероятности поступления определенного количества звонков знать длительность разговора или время простоя между поступлениями звонков. В этом случае используется распределение Эрланга, а не Пуассона, т.к. необходимо учитывать длительность.

Рассмотрим распределение длительности времени между поступлениями двух последовательных звонков. Учитывая, что звонки поступают согласно вероятностям распределения Пуассона, в каждый момент времени звонок может поступить с известной вероятностью. Поэтому более корректно задача формулируется так: – «С какой вероятностью в промежуток времени не поступит ни одного звонка?».

Рассмотрим промежуток времени между двумя последовательными звонками t1 и t2 ,

t2 t1 , см. рис. 3.3.

4 Интенсивность потока – среднее число событий, которое может произойти в единицу времени.

28

Глава 3. Биномиальные схемы

Рис. 3.3 Время поступления событий

В единицу времени интенсивность процесса – . Тогда в течении промежутка интенсивность будет равна . Соответственно, вероятность того, что в течении времени поступит k звонков:

P k k e .

k!

Ответ на искомый вопрос – вероятность того, в течение промежутка не поступит ни одного звонка (не произойдет ни одного события):

Вероятность согласно формуле (3.3) экспоненциально убывает, см. рис. 3.4. Убывание вероятности ожидаемо – чем больше длительность промежутка времени , тем меньше вероятность того, что в течение него не произойдет ни одного события. В дальнейшем, на основании вероятность события (3.3) мы построим новое распределение.

P 0

e

Рис. 3.4. Вероятность простоя между последовательными событиями

Пример 3.5. Декану экономического факультета приходится раз в два дня вызывать в среднем по 1 «проштрафившемуся» студенту. Какова вероятность, что в один из дней «на деканат» будут вызваны 2 студента?

Если в среднем за два дня вызывают 1 студента, то интенсивность 1. Один день – половина промежутка, т.е. 0,5. Поэтому вероятность того, что в один день вызовут двух студентов, равна:

P0,5 2 1 0,5 2 e 10,5 0,0758.

2!

29

Теория вероятностей

Вопросы

1.«Парадокс событий». Рассмотрим события, происходящие с вероятностями 0,99 и 0,9999 соответственно. Можно сказать, что обе вероятности практически одинаковы, оба события происходят почти наверное. Тем не менее, в некоторых случаях разница становится заметной. Рассмотрим, например, независимые события, которые могут происходить в любой день года с вероятностью р = 0,99; тогда вероятность того, что они будут происходить каждый день в течение года, меньше, чем p = 0,03, в то же время, если р = 0,9999, то р = 0,97.

2.«Задача Банаха о спичечных коробках». Некий математик носит с собой два коробка спичек, в каждом из которых первоначально было по N спичек. Когда ему нужна спичка, он выбирает наугад один из коробков. Найти вероятность того, что когда математик вынет в первый раз пустой коробок, в другом будет r спичек.

3.Найти вероятность того, что в схеме Бернулли:

а) цепочка НН (два неуспеха подряд) появится раньше цепочки НУ (неуспех и успех подряд); б) цепочка НН появится раньше цепочки УН; в) цепочка НН появится раньше цепочки УУУ

4.Какова форма распределения Пуассона?

5.«Парадокс раздачи подарков». Несколько человек решили сделать друг другу подарки следующим образом. Каждый приносит подарок. Подарки складываются вместе, перемешиваются и случайно распределяются среди участников. Этот справедливый способ раздачи подарков применяется часто, так как считают, что для больших групп людей вероятность совпадения, т. е. получения кем-то собственного подарка, очень мала. Парадоксально, но вероятность по крайней мере одного совпадения намного больше вероятности того, что совпадений нет (кроме случая, когда группа состоит из двух человек, тогда вероятность отсутствия совпадений равна 0,5).

30