MetodTM2

Работа постоянной по модулю и направлению силы F на конечном прямолинейном перемещении S точки приложения силы равна: A(F) = FScosα .

Если угол α острый, работа положительна. Если тупой – отрицательна. При

α = 90° сила перпендикулярна перемещению точки и работа силы равна нулю.

Работа пары сил с постоянным моментом М при повороте тела на ко-

нечный угол ϕ равна: A = ±Mϕ, где ϕ – угол поворота тела. Работа считается

положительной, если пара сил стремится повернуть тело в направлении его вращения, и отрицательной – в противном случае.

Мощностью силы F называют величину N (F) , равную скалярному произведению силы на скорость точки её приложения: N(F) = F ×V , где V –

скорость точки приложения силы.

При плоском движении тела мощность силы выражается суммой ска-

лярных произведений векторов: N = F ×VO + MO (F) × wr , где VO – вектор скоро-

сти точки, выбранной полюсом; ω – вектор угловой скорости тела; MO – век-

тор момента силы F относительно полюса. Вектор момента силы относительно полюса и вектор угловой скорости тела перпендикулярны плоскости движения тела.

Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференци-

альной форме. Производная по времени от кинетической энергии системы

стей, соответственно, внешних и внутренних сил.

Теорема об изменении кинетической энергии системы на конечном перемещении. Изменение кинетической энергии системы на её конечном пе-

ремещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на

113

системы из начального состояния в текущее.

Механические системы, состоящие из абсолютно твердых тел, соединен-

ных гибкими нерастяжимыми нитями, называются неизменяемыми. В неизме-

няемых системах сумма работ и сумма мощностей внутренних сил равны нулю.

Поэтому для таких систем в теореме об изменении кинетической энергии дос-

таточно учитывать только внешние силы.

5.4. Задание Д5. Исследование движения механической системы с применением теоремы об изменении кинетической энергии

Механическая система состоит из ступенчатого и однородного дисков,

соединённых нерастяжимой нитью, или невесомым стержнем. Нити и стержни,

соединяющие диски, параллельны плоскостям качения дисков. Качение дисков без скольжения. Скольжение между невесомым стержнем и дисками отсутству-

ет. Вес дисков P1 и P2 . Система движется в вертикальной плоскости под дейст-

вием сил тяжести, сил F1, F2 и пары сил с моментом М. Направления действия сил F1, F2 и наклон плоскости (если он есть) определяются углами α или β ,

показанными на схемах механизмов. Радиус однородного диска r. Радиусы ступеней ступенчатого диска R и r. Радиус инерции ступенчатого диска относи-

тельно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения, iz .

Найти ускорение центра масс диска 2 и угловые ускорения дисков.

Найти натяжение нити (или реакцию стержня, соединяющего диски) и ре-

акцию опоры диска 2 на плоскость (её нормальную составляющую и силу сцеп-

ления диска с плоскостью). Варианты задания приведены на рис. 5.5 – 5.6. Ис-

ходные данные в табл. 5.2.

114

Рис. 5.6. Задание Д5. Исследование движения механической системы с применением теоремы об изменении кинетической энергии.

Варианты задания 7 – 10, 17 – 20, 27 – 30

Таблица 5.2

Исходные данные задания Д5. Исследование движения механической системы с применением теоремы об изменении кинетической энергии

116

Окончание табл. 5.2

Пример выполнения задания Д5. Исследование движения механической системы с применением теоремы об изменении кинетической энергии

Механическая система состоит из ступенчатого и однородного дисков,

соединённых невесомым стержнем (рис. 5.7). Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести, сил F1, F2 и пары сил с моментом М.

Направления действия сил F1, F2 определяются углами α и β .

Диск 1 вращается вокруг неподвижной оси О1. Диск 2 катится прямоли-

нейно по горизонтальной поверхности. Качение диска 2 без проскальзывания.

117

Невесомый стержень, соединяющий диски, расположен горизонтально. Сколь-

жение между стержнем и дисками отсутствует.

P2 = 60 Н, модули сил F1 = 80 Н, F2 = 30 Н, величина момента М = 35 Н·м, углы наклона сил α = 30°, β = 45°, радиусы дисков R = 0,8 м, r = 0,6 м, радиус инер-

ции диска 2 iz = 0,4 м.

Решение

Предположим, что во время движения системы диск 1 вращается по ходу часовой стрелки. Угловые скорости ω1 и ω2 дисков 1 и 2 и скорость центра масс диска 2 показаны на рис. 5.8.

118

мещения точек приложения этих сил. Мощности сил N и Fсц – нормальной ре-

акции опоры диска 2 и силы сцепления диска с плоскостью также равны нулю,

так как точкой приложения этих сил является мгновенный центр скоростей дис-

ка 2, скорость которого равна нулю. Мощность силы P2 равна нулю, так как угол между вектором силы и скоростью точки приложения силы – точки С ра-

вен 90° (см. рис. 5.8).

Для определения мощности силы F2 , приложенной к диску 2, воспользу-

емся формулой расчета мощности силы при плоскопараллельном движении те-

ла. Выберем в качестве полюса точку К – центр скоростей диска 2, скорость ко-

угловой скорости диска 2. Оба вектора M K и ω2 перпендикулярны плоскости движения диска 2, угол между ними равен 180° и их скалярное произведение равно произведению модулей с отрицательным знаком.

120

так как направление момента силы F2 относительно точки К противоположно направлению угловой скорости диска 2.

Момент М направлен в сторону вращения диска 2. Его мощность положи-

Подставляя исходные данные задачи, получим aC = 6,85 м/с2.

121

Для определения углового ускорения диска 2 продифференцируем по времени равенство ω2 = CKVC = VrC . Дифференцирование здесь допустимо, так

как во время движения диска 2 расстояние от точки С до мгновенного центра скоростей диска 2 – точки К – не меняется.

дика 1 относительно оси z, проходящей через точку О1 перпендикулярно плос-

тельно оси z.

Считая моменты сил положительными, если они создают поворот диска в сторону его вращения, составим сумму моментов внешних сил относительно оси z: åM zO1 (Fke ) = F1rcos45o − Hr . В результате, уравнение вращательного

движения диска 1 принимает вид: P1r2 ε1= F1rcos45o − Hr , 2g

Подставляя в уравнение исходные данные задачи с учетом найденного значения углового ускорения диска 1 ε1 = 22,84 рад/с2, найдем реакцию стерж-

ня Н = 28,63 Н.

122