MetodTM2

Решение

Расчетная схема колебаний груза 1 показана на рис. 4.13. Направим ось

Оx, вдоль которой происходят колебания груза, вертикально вниз. Начало от-

счёта координаты x выберем в положении статического равновесия груза (см.

рис. 4.13, с, d) В произвольном положении груза, обозначенном координатой x,

к нему приложены две силы: сила тяжести P и сила упругости пружины Fупр .

l= (x + λст − S)

Сучетом выражения силы упругости получим дифференциальное урав-

нение движения груза в проекции на ось Оx:

m&x& = P − c(x + λст − S).

В положении статического равновесия выполняется условие равенства сил: P − cλст = 0 .

После подстановки его в уравнение движения груза получаем дифферен-

циальное уравнение вынужденных колебаний:

m&x& = −cx + cS , или &x& + ω2 x = hsinpt ,

93

Для определения произвольных постоянных С1 и С2 вычислим координа-

ту x0 начального положения груза на оси Оx. Координата начального положения груза (см. рис. 4.13, b) x0 = l 0 − λст . Растяжение пружины в положении стати-

ческого равновесия λст = Pc = 0,02 м, тогда x0 = 0,08 м. Подставляя значение

координаты начального положения груза в общее решение уравнения вынуж-

денных колебаний при t = 0, получим C1 = x0 = 0,08 м.

Для определения второй константы вычислим скорость груза в произ-

94

4.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Работой A(F) силы F , постоянной по модулю и направлению, на конеч-

ном прямолинейном перемещении S1 точки приложения силы называется ве-

личина A(F) = FS1cosα . Если угол α острый, работа силы положительна. Если угол α тупой, – отрицательна. При α = 90° сила перпендикулярна перемеще-

нию точки и работа силы равна нулю.

где P – величина силы тяжести точки; h – величина вертикального перемеще-

ния точки (рис. 4.14). Работа силы тяжести положительная, если начальная точ-

ка движения выше конечной, и отрицательная, – если ниже. Кинетической

энергией материальной точки называется скалярная величина T = 12 mV 2 , где m – масса точки; V – её скорость.

Теорема об изменении кинетической энергии точки заключается в том,

что изменение кинетической энергии точки за конечный промежуток времени равно алгебраической сумме работ всех действующих на неё сил:

точку, при её перемещении из положения M 0 в положение M1 . При несвобод-

ном движении точки сумма работ сил включает работу реакций связи. Если движение происходит без трения по неподвижной гладкой поверхности, то ре-

95

акция связи направлена по нормали к поверхности и её работа при любом пере-

мещении точки равна нулю.

Для определения сил реакций опор при несвободном движении точки ис-

пользуются уравнения движения точки в проекциях на оси естественной систе-

å Fn – суммы проекций сил на касательную и нормальную оси естественной системы координат, ρ – радиус кривизны траектории точки.

4.6.Задание Д3. Исследование движения точки

сприменением теоремы об изменении кинетической энергии

Тонкий стержень, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из дуг окружностей радиусами R и r и прямолинейного отрезка ЕК. На стержень надет шарик массой m. Длина отрезка ЕК = а. Сопряжения отрезка с дугами ок-

ружностей в точках Е и К происходят по малым радиусам и не показаны на схемах. Предполагается, что в этих точках шарик переходит с одного участка стержня на другой не изменяя значения своей скорости.

В точке А, положение которой на дуге окружности определяется углом α ,

шарику сообщают начальную скорость V0 . По дугам окружностей шарик сколь-

зит без трения, а при движении по прямолинейному отрезку ЕК на него дейст-

вует постоянная сила трения с коэффициентом трения f. На участках с верти-

кальным отрезком ЕК считать, что шарик прижимается к стержню силой, рав-

ной половине веса шарика. Определить значение начальной скорости V0 , при которой шарик проходит наивысшую точку В со скоростью VB = kV0 . При най-

денном значении начальной скорости рассчитать давление шарика на стержень в точке С, положение которой на дуге определяется углом β . Варианты заданий приведены на рис 4.15 – 4.16. Исходные данные задания в табл. 4.3.

96

Рис. 4.16. Задание Д3. Исследование движения точки с применением теоремы об изменении кинетической энергии.

Номера вариантов задания 9 – 10, 19 – 20, 29 – 30

Таблица 4.3

Исходные данные задания Д3. Исследование движения точки с применением теоремы об изменении кинетической энергии

98

Пример выполнения задания Д3. Исследование движения точки с применением теоремы об изменении кинетической энергии

Тонкий стержень, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из двух дуг окружностей, сопряженных в точках Е и К с прямолинейным отрезком

ЕК длиной а = 0,6 м (рис. 4.17). Радиусы окружностей R = 1 м и r = 0,5 м.

Диаметры окружностей, проведённые в точках

Е и К, составляют с горизонтом угол 30°. На стержень надет шарик массой m = 5 кг. В точ-

ке А, положение которой на дуге радиуса R

определяется углом α = 60° относительно на-

клонного диаметра (см. рис. 4.17), шарику со-

общают начальную скорость V0 , после чего он

начинает движение. По дугам окружностей Рис. 4.17. Схема движения

прямой ЕК на шарик действует постоянная сила трения с коэффициентом тре-

ния f = 0,2.

Определить значение начальной скорости V0 , при которой шарик прохо-

дит наивысшую точку В со скоростью VB = kV0 , когда k = 0,3. При найденном значении начальной скорости рассчитать давление шарика на стержень в точке

С, положение которой на дуге определяется углом β = 90°, и D, лежащей на го-

ризонтальном диаметре дуги радиуса R.

Решение

Будем считать шарик материальной точкой и рассмотрим его движение по стержню.

При движении по дугам окружностей радиусами R и r на шарик действу-

ют две силы – сила тяжести P и реакция опоры N (рис. 4.18, а). Работу совер-

шает только сила тяжести. Реакция гладкой поверхности стержня N в любой

99

момент времени перпендикулярна поверхности стержня и потому её работа при перемещении шарика равна нулю.

При движении шарика по прямой ЕК на него, кроме силы тяжести P и

нормальной реакции опоры NEK , действует сила трения Fтр (рис. 4.18, b). На

этом участке движения шарика работу совершают как сила тяжести, так и сила трения. Работа реакции опоры стержня равна нулю.

По теореме об изменении кинетической энергии точки при движении ша-

рика из положения А в положение В (рис. 4.18, а) получим:

Работа силы трения на участке ЕК:

AEK (Fтр ) = -Fтрa = - f × mgacos60o .

В результате, теорема об изменении кинетической энергии точки при движении шарика из начального положения А в конечное положение В прини-

мает вид:

100

ление реакции на рис. 4.18, а соответствует предположению, что шарик давит на стержень в направлении центра дуги окружности.

Для определения величины mVC2 воспользуемся тем, что скорость шарика в точке В уже известна и применим теорему об изменении кинетической энер-

гии точки при движении шарика из положения С в положение В. Это даёт воз-

можность не учитывать работу силы трения. Получим

где VC , VB – скорость шарика в точка С и В, причём VB = 7,81 м/с.

Перепад высот точек С и В равен (см. рис. 4.18, а): h(CB) = r(1 − sin30o ) = 0,5r.

Получим: mVC2 = mVB2 + 2Ph(CB) = mVB2 + Pr .

Подставляя сюда исходные данные и найденное значение скорости точки

В, найдём: mVC2 = 329,506 Н·м.

В результате, реакция опоры шарика равна:

101

Отрицательное значение реакции опоры шарика означает, что вектор ре-

акции NC′ в точке С направлен в противоположную сторону. Искомое давление шарика на стержень в точке С равно модулю реакции опоры.

Найдём давление шарика на стержень в точке D.

Проведём в точке D оси естественной системы координат Dτ и Dn как показано на рис. 4.18, с. Уравнение движения шарика в проекции на нормаль-

пользуемся теоремой об изменении кинетической энергии точки при движении

h( AD) = R . Работа силы тяжести отрицательна. При движении из положения А в

D шарик не проходит прямолинейный участок ЕК и потому работа силы трения не учитывается. Получим:

скорости, найдём mVD2 = 206,88 Н·м. В результате, реакция опоры шарика (и

величина силы его давления) в точке D равна:

102