MetodTM2

5.ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

5.1.Описание движений твёрдых тел на основе общих теорем динамики

системы Поступательное движение твердого тела описывается теоремой о дви-

жении центра масс механической системы. В проекциях на координатные оси дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела имеют

них сил, действующих на твердое тело.

Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси

z описывается теоремой об изменении кинетического момента.

Дифференциальное уравнения вращательного движения тела имеет вид:

Плоскопараллельное движение твердого тела описывается на основа-

нии теорем о движении центра масс и изменении кинетического момента отно-

сительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости дви-

жения. В проекции на координатные оси уравнения плоскопараллельного дви-

жения тела имеют вид:

где aCx , aCy – проекции ускорения центра масс тела на координатные оси; Fkxe ,

103

Fkye – проекции на оси координат внешних сил, действующих на тело; J zC –

момент инерции тела относительно оси z, проходящей через центр масс, пер-

пендикулярно плоскости движения; ε – угловое ускорение тела; M zC (Fke ) –

моменты внешних сил относительно оси, проходящей через центр масс.

Проводя динамический расчет механической системы, следует рассмат-

ривать движение тел системы в отдельности, предварительно освободив их от связей и заменив действие связей реакциями. Далее на основании общих теорем динамики системы следует составить уравнения движения каждого тела.

5.2. Задание Д4. Динамический расчет механической системы

Механизм состоит из трёх тел – груза 1, катка 2 и блока 3, соединенных нерастяжимыми нитями или невесомыми стержнями.

Движение механизма происходит в вертикальной плоскости под действи-

ем сил тяжести P1 , P2 , P3 , силы F и пары сил с моментом М. Направление дей-

ствия силы F определяется углом α. Качение катка 2 происходит без скольже-

ния. Проскальзывание между дисками и соединяющими их невесомыми стерж-

нями или нитями отсутствует.

Сплошные диски считать однородными. Радиусы ступеней катка 2 и бло-

ка 3 на схемах обозначены R2 , r2 и R3 , r3.

Радиусы инерции неоднородных (ступенчатых) дисков относительно осей, проходящих через центры масс перпендикулярно плоскости движения равны iz2 , iz3 .

Найти ускорение груза 1 и динамические реакции, действующие на ось блока 3.

Варианты заданий представлены на рис. 5.1 – 5.2. Исходные данные при-

ведены в табл. 5.1.

104

Рис. 5.1. Задание Д4. Динамический расчёт механической системы. Номера вариантов задания 1 – 6, 11 – 16, 21 – 26

105

Рис. 5.2. Задание Д4. Динамический расчёт механической системы. Номера вариантов задания 7 – 10, 17 – 20, 27 – 30

Таблица 5.1

Исходные данные задания Д4. Динамический расчёт механической системы

106

приложенных к блоку 3. Механизм является неизменяемой механической сис-

Решение

Освобождаем систему от связей. На рис. 5.4 изображены внешние силы,

действующие на каждое тело, после освобождения его от связей.

Рис. 5.4. Расчетные схемы для описания движения тел, входящих в систему:

а– поступательное движение груза 1; b – вращательное движение блока 3;

с– плоское движение катка 2

Груз 1 совершает поступательное движение. К нему приложены сила тя-

жести P1 и реакция нити (натяжение) Q1 (рис. 5.4, а). Предположим, груз 1

движется вниз, и направим ось x1 в сторону движения груза.

Уравнение движения груза вдоль оси x1 в соответствии с теоремой о дви-

жении центра масс механической системы имеет вид:

108

m1a1 = å Fkx = P1 − Q1 = 2P − Q1 ,

где m1, a1 – соответственно, масса груза 1 и его ускорение, m1 = Pg1 = 2gP .

Блок 3 вращается вокруг неподвижной оси z , проходящей через его центр масс О3, перпендикулярно плоскости диска. Направление вращения блока, со-

ответствующее выбранному движению вниз груза 1, показано на рис. 5.4, b ду-

говой стрелкой ω3 .

На блок действуют сила тяжести P3 , силы реакции подшипника X 3 , Y3 ,

момент М и натяжения нитей Q1′ и Q2 (рис. 5.4, b). При составлении уравнения вращательного движения блока 3 моменты сил считаем положительными, если

они поворачивают блок в сторону его вращения.

Уравнение вращения блока 3 имеет вид:

J zO3 ε3 = åM zO3 (Fk )= Q1′R3 + M − Q2r3 = Q13r + Pr− Q2r ,

Fсц . Согласно принципу равенства действия и противодействия модули сил Q2

и Q2′ равны. На рис. 5.4, с показаны направления действия сил, приложенных к диску 2. В соответствии с выбранным направлением движения груза 1, центр масс катка 2 движется вверх параллельно наклонной плоскости. Направление движения центра масс катка 2 показано направлением оси х2, направление вра-

щения катка 2 – угловой скоростью ω2 (см. рис 5.4, с).

109

Плоскопараллельное движение катка 2 описывается уравнением движе-

ния его центра масс и уравнением вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости диска. Составляя уравнение движения

центра масс катка 2 в проекции на ось х2 и считая в уравнении вращательного движения диска момент силы положительным, если создаваемый им поворот направлен в сторону вращения диска, получим:

тельно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости диска,

К системе четырех уравнений, описывающих движения тел в системе, не-

обходимо добавить уравнения связей. Если предположить, что скорость центра масс катка 2 равна VC , то угловая скорость катка определится по формуле:

ного центра скоростей (см. рис. 5.4, с). Продифференцировав по времени по-

следнее равенство, получим уравнение связи между ускорением центра масс

катка 2 и точка А блока 3 соединены нитью (см. рис. 5.3), поэтому их скорости

110

равны. Приравняв скорость точки А к скорости точки В, получим равенство: 2VC = VB = VA = ω3r3 = ω3r , откуда ω3 = 2VrC .

После дифференцирования последнего выражения найдём соотношение между ускорениями: ε3 = 2arC .

Скорость груза 1 связана со скоростью центра масс диска 2 следующим образом: V1 = VD = ω3R3 = 2VrC 3r = 6VC . Тогда a1 = 6aC . В результате получены четыре уравнения, описывающие движение груза 1, блока 3 и катка 2:

После подстановки уравнений связи в уравнения движения тел, получим

систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными:

Исключим из первых двух уравнений неизвестную величину Q1 , а из третьего и четвёртого уравнений – величину Fсц . С этой целью умножим первое

уравнение на 3 и сложим со вторым. Третье уравнение сложим с четвертым.

aC = 11110 g , Q2 = 3779 P . Величину натяжения нити Q1 находим из первого урав-

нения исходной системы: Q1 = 3734 P .

111

Динамические реакции X 3 , Y3 , действующие на ось вращающегося бло-

ка 3 (рис. 5.4, b), определяются из уравнений, которые можно получить, приме-

нив теорему о движении центра масс.

Так как центр масс блока 3 неподвижен, его ускорение равно нулю и уравнения движения центра масс блока 3 в проекциях на оси x, y имеют вид:

m3aO3x = X 3 − Q2cos 30o = 0 , m3aO3 y = Y3 − Q1 − P3 − Q2cos60o = 0 .

Отсюда, с учетом значений Q1 = 3437 P и Q2 = 3779 P , динамические реакции

оси блока 3 равны: X3 = Q2cos30o = 1,85Р, Y3 = Q1 + P3 + Q2cos60o = 4,98Р.

Полная величина динамической реакции оси блока 3

R3 = X 32 + Y32 = 5,31Р.

5.3. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

скорость тела. Для дисков с равномерно распределённой массой момент инер-

ции относительно оси z, проходящей через центр масс: J z = 12 mR2 , где R – ра-

диус диска. Для тел с неравномерно распределённой массой J z = miz2 , где iz –

радиус инерции. Кинетическая энергия тела при плоскопараллельном дви-

дящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

112