matan_3sem2015_pilot

Лекция №23 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

30 ноября 2015 г.

На прошлой лекции мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть ограничена на непустом измеримом множестве . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1)интегрируема по Риману на .

(2)* = *.

(3)Для любого > 0 существует разбиение , что

*( , ) − *( , ) < .

Докажем, что эти условия также эквивалентны условию

(4)Для любого > 0 существует > 0, что для любого разбиения с диаметром, меньшим

*( , ) − *( , ) <

(1) (4). Возьмем произвольное > 0. Найдем > 0, что для любого отмеченного разбиения ( , ) с диаметром, меньшим

Следствие 1. В одномерном случае старое и новое определение интеграла Римана эквивалентны друг другу.

*Записки могут содержать ошибки.

1

Следствие 2. Пусть ограничена на множестве и интегрируема по Риману на нем, а непустое измеримое подмножество . Тогда интегрируема на .

Возьмем произвольное > 0. Используя критерий Дарбу, найдем такое > 0, что для любого разбиения с диаметром, меньшим

*( , ) − *( , ) <

Возьмем произвольное разбиение 1 множества с diam 1 < , и разбиение2 множества с diam 2 < . Положим := 1 2, заметим, что diam < . Тогда

*( , 1) − *( , 1) 6 *( , ) − *( , ) < .

По следствию (3) (1) критерия Дарбу, интегрируема на .

Следствие 3. Пусть ограничена и интегрируема на непересекающихся множествах и . Тогда интегрируема на и

∫ ∫ ∫

= +

Возьмем произвольное > 0. Найдем разбиение 1 множества , что

Существует 1 > 0, что для любого отмеченного разбиения ( , ) множества

ñ diam < 1

| ( , , ) − | < .

Существует 2 > 0, что для любого отмеченного разбиения ( , ) множества

ñ diam < 2

| ( , , ) − | < .

Существует 3 > 0, что для любого отмеченного разбиения ( , ) множества

ñ diam < 3

| ( , , ) − | < .

Положим := min{ 1, 2, 3}.

2

| − ( + )| = | − ( , , ) + ( 1, 1, 1) + ( , 2, 2) − − | < 3 .

В силу произвольности

òàê êàê

| 2( 1) − 2( 2)| = | ( 1) − ( 2)| · | ( 1) + ( 2)| 6 ( − )2 .

Тогда

*( 2, ) − *( 2, ) 6 ( *( , ) − *( , )) · 2 .

Теорема (будет доказана на следующей лекции). Пусть ограни- чена на и непрерывна на (за исключением, быть может, точек, образующих множество меры 0). Тогда интегрируемо по Риману на множестве

.

3

Лекция №24 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

4 декабря 2015 г.

Теорема. Пусть непустое измеримое множество, ограничена на

èнепрерывна на всюду за исключением точек, образующих множество меры нуль. Тогда интегрируемо по Риману на множестве .

Доопределим нулем на точках границы , не входящих в . Тогда рассмотрим замыкание множества . Тогда функция ограничена

èнепрерывна на , за исключением точек, образующих множество меры 0 (так как измеримо и (∂ ) = 0).

Достаточно доказать, что интегрируема на . Зафиксируем произвольное > 0. Найдем > 0: | | < на . Пусть = ∂ , где это

множество точек разрыва функции . Тогда = 0. Найдем 1, . . . , совокупность открытых брусов, что =1 , ∑ < 4 .

Пусть внутренняя точка непрерывности. Тогда > 0 ~

( ): | (~) − ( )| <

4( )+1 .

Найдем открытый брус, содержащий и лежащий в ( ):

Выделим конечное подпокрытие множества :

1 , . . . , , 1 , . . . ,

Построим разбиение :

1 := 1 ∩2 := 2 ∩ 1

3 := ( 3 ∩ ) ( 1 2)

+ = ( ∩ ) ( 1 · · · + −1)

Построим 1, . . . , + разбиение . Обозначим его через .

*Записки могут содержать ошибки.

1

Определение. Множество R называется множеством меры 0 по Лебегу, если > 0 { } не более, чем счетная, совокупность брусов

∑

è < .

Определение. Функция называется непрерывной почти всюду на , если множество точек разрыва на имеет меру 0 по Лебегу.

Теорема (критерий Лебега). Пусть непустое измеримое множество и ограничена на . Тогда следующие условия эквивалентны:

обозначим нижний интеграл Дарбу этой функции, а через *( 0) верхний.

2

Лекция №25 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

7 декабря 2015 г.

Мы остановились на доказательстве теоремы Фубини. У нас было произведение брусов 1 × 2 R + и функция ( , ), интегрируемая на

1 × 2. Тогда утверждалось, что

∫ ∫ ∫

( , ) = *( ) = *( )

Π1×Π2 Π2 Π2

Мы фиксировали произвольный > 0 и находили > 0, что для любого отмеченного разбиения 1 × 2 с диаметром diam <

| ( , , ) − | <

− < ( , , ) < +

− 6 *( , ) 6 *( , ) 6 +

− 6 *( , { × }) 6 ( *, { } ) 6 *( , { × }) 6 +

*Записки могут содержать ошибки.

1

Неравенства выполнены при всех .

6 *( *, { }) 6 *( *, { }) 6 +

∫

− 6 *( *, { }) 6 *( ) 6 *( *, { }) 6 +

− *( ) 6

Π2

∫

= *( )

Π2

область в R с координатами в переменных : ( 1, . . . , ), область в R с координатами в переменных : ( 1, . . . , ).

Пусть имеется взаимно-однозначное непрерывно-дифференцèруемое отоб-

обращается в нуль.

Пусть подмножество , что его замыкание лежит в . Обозначим:= ( ). Также потребуем, чтобы замыкание лежало в .

Тогда утверждается, что

1)Множество измеримо тогда и только тогда, когда измеримо.

2)Пусть измеримо, ( ) ограничена на . Тогда ( ) интегрируема

Криволинейные интегралы

Определение. Пусть невырожденный промежуток в R. Непрерывное отображение в R называют кривой в R .

Определение. Пусть = [ , ]. Тогда кривая ( ) называется простым замкнутым контуром, если ( ) = ( ) и 1, 2 [ , ): ( 1) ̸= ( 2).

Обозначение. ′( ) = ( ′1( ), . . . , ′ ( )).

2

Определение. Кривая ( ) называется гладкой, если она непрерывно дифференцируема и ′( ) не обращается в нуль.

3

Лекция №26 по матанализу

Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко

для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *

11 декабря 2015 г.

Определение. Кривой в R называется непрерывное отображение ( ): [ , ] →

R .

Кривая ( ) называется гладкой, если для любого [ , ] существует и непрерывна ′( ) = ( ′1( ), . . . , ′ ( )) ̸= 0, ãäå ( ) = ( 1( ), . . . , ( )).

√

Обозначим ( ) = ‖ ′( )‖ = ′12( ) + · · · + ′2( ). Пусть := ([ , ]) образ отображения .

Предположим, что задана функция : → R.

Определение. Криволинейным интегралом первого рода функции ( )

по кривой называется интеграл

∫ ∫

( ) := ( ( )) ( )

Свойства.

1

Определение. Пусть ( ): [ , ] → R и ( ): [ , ] → R гладкие

кривые. Они называются эквивалентными, если существует непрерывнодифференцируемое монотонное отображение ( ): [ , ] ˓→ [ , ] с ′( ) íå

обращающимся в нуль:

( ) = ( ( ))

Говорят, что ( ) сохраняет ориентацию кривой , åñëè ( ) = , ( ) = è изменяет ориентацию кривой , åñëè ( ) = , ( ) = .

Утверждение. Замена кривой на эквивалентную не изменяет значение интеграла первого рода.

Если ( ) не изменяет ориентацию, то

( ( ))

∂ = ∂ ( ( )) = ( ( ( )))′ = ′ ( ( )) · ′( )

∂ ∂

=( ( )) ′12( ) + · · · + ′2( )

Пусть ( ) гладкая кривая, := ([ , ]), на задана векторная функция (векторное поле)

( ) = ( 1( ), . . . , ( ))

ществляемую этим полем при перемещении водль от начала к концу.

Обозначения.

2