matan_3sem2015_pilot
.pdfПолучаем ядро Дирихле:
= |
∫− |
( ) ( |
2 |
+ =1 cos ( − )) |
= |
|
∫− ( ) ( − ) = |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
Из определения следует, что ядро Дирихле непрерывная 2 -периодическая четная функция, при этом
∫
( ) = ,
−
так как интегралы всех косинусов обращаются в нуль и берется только интеграл от 1
2 .
Делая замену = − , получаем
1 |
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|||
− |
|
|
∫ + |
|
( − |
) ( ) = |
|
∫− ( − ) ( ) = |
|||
|
|
|
|||||||||
= ( ∫0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
( − ) ( ) + ∫− ( − ) ( ) ) = |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Делая замену → − во втором интеграле, получаем |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + ) ( ) ) = |
= ( ∫0 |
( − ) ( ) + ∫0 |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
( ( − ) + ( + )) ( ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Теорема (принцип локализации Римана.). Пусть , 2 -периодические, из [− , ] и совпадающие в некоторой -окрестности точки . Тогда триго-
нометрические разложения, соответствующие этим функциям, либо одновременно сходится, либо одновременно расходятся к одному тому же числу
âточке .
Нам достаточно доказать, что ( ; ) − ( ; ) −→ →∞ 0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( ; ) − ( ; ) = ∫− ( − ) |
( ) − ∫− ( − ) ( ) = |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
sin cos + cos sin |
|
|||||||
|
|
∫− ( ( − )− ( − )) ( ) = |
∫− ( ( − )− ( − )) |
2 |
2 sin 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
??? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема (признак Дини поточечной сходимости ряда Фурье). |
Пусть |
|
|||||||||||||||||||
[− , ] 2 -периодическая функция и для некоторого числа и неко- |
|
||||||||||||||||||||
торого 0 > 0 существует несобственный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫0 0 |
| ( + ) − | |
|
è |
∫0 0 |
| ( − ) − | |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда частичная сумма ( ; ) сходится к при → ∞.
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ( ) = |
||||||
( ; ) − = ∫0 |
( ( + ) + ( − )) ( ) − ∫0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= ∫0 |
( ( + ) − + ( − ) − ) ( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем, что 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
гично). |
|
|
|
∫0 |
( ( + ) − ) ( ) −→ →∞0 0 (для ( − ) анало- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Зафиксируем произвольное > 0. Найдем > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
| ( + ) − | < 100 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ( + ) − ) ( ) 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
( + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫− |
|
|
− |
|
|
|
|
) |
|
||||||||||||||
|
|
|
2 · 2 · 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
− |
|
| + |
|
|
|
( ( + ) |
|
) cos + ctg |
|
|
|
sin |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
??? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Лекция №15 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *
2 ноября 2015 г.
Пусть пространство со скалярным произведением и в нем задана
{ }∞=1 - ортогональная система, то элементу мы можем сопоставить коэффициенты
→^ = ( , )
Åñëè |
|
∞ |
замкнуто, то для любого |
|
|
|
|
{ |
} =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
= |
^ |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
‖ ‖2 = |
∑ |
|
|
|
|
|
^2 ‖ ‖2 |
=1
Утверждение. Åñëè { }∞=1 замкнутая ортогональная система, то
,
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = |
|
^ ^ ‖ ‖2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
||
^ |
|
|
( + , ) |
|
( , ) |
|
( , ) |
|
|
|
|||
+ |
|
= |
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
= ^ |
|
+ ^ |
|
|
( , ) |
( , ) |
( , ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
‖ ‖2 + ‖ ‖2 + 2( , ) = ‖ + ‖2 = |
∞ |
|
|
|
|
||||||||
|
(^ + ^ )2‖ ‖2 = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
^ ^ ‖ ‖2 |
||||
= ^2 ‖ ‖2 + |
^2 ‖ ‖2 + 2 |
||||||||||||
=1 |
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|||
∑ |
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
Ряды Фурье
Мы рассматриваем пространство [− ; ] интегрируемых на отрезке [− ; ] функций со скалярным произведением
∫
( , ) = ( ) ( )
−
*Записки могут содержать ошибки.
1
с базисом
1, cos , sin , cos 2 , . . . .
Заметим, что
(cos , cos ) = (sin , sin ) = , íî
(1, 1) = 2
Тогда коэффициентами будут числа |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫− ( ) cos |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫− ( ) sin |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и функции будет сопоставляться разложение |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||
→2 |
+ |
∑ |
( cos + sin ). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|||
На прошлой лекции мы установили, что |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
sin |
+ 1 |
|
||||
( ) = 2 + cos + · · · + cos = |
(2 sin 2 |
) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ; ) = ∫− ( + ) ( ) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Теорема (признак Дини). |
Пусть для некоторого > 0 и R интеграл |
∫ | ( + ) + ( − ) − 2 |
сходится (например, эта сходимость имеет место, если сходятся
∫0 |
| ( + ) − | |
è |
∫0 |
| ( − ) − | |
). |
|
|
||||
Тогда ( ; ) → при → ∞. |
|
|
|
Определение. удовлетворяет условию Гельдера-Липшица порядка в точке , если существует > 0 и > 0, что при лежащем в -окрестности
точки
| ( ) − ( )| 6 | − |
Следствие. Если удовлетворяет условию Г¼льдера-Липшица порядка
> 0 в точке , то ( ; ) → ( ) при → ∞.
Признак Дини с = ( )
∫0 |
|
| ( + |
− |
|
| |
|
|
|
|
|
( ) |
6 ∫0 |
|
||||||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
2
Замечание. |
Если дифференцируема в точке , то в точке удовле- |
|||||||||
творяет условию Г¼льдера-Липшица порядка 1. |
|
|||||||||
|
Из существования предела |
lim → |
( )− ( ) |
следует, что функция ло- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|||
кально ограничена, то есть существуют |
|
> 0 и > 0, что для любого |
||||||||
( ) |
|
|
|
| ( ) − ( )| |
6 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
| − | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. |
Если дифференцируема в точке |
0, то ее ряд Фурье по |
||||||||
тригонометрической системе сходится в точке 0 |
ê ( 0). |
|||||||||
|
|
( 0) = 0 + |
∞ |
( cos 0 + sin 0)) |
||||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие. |
Пусть функцию можно переопределить в точке так, что |
у будет существовать левая производная в точке , а также можно переопределить в точке 0 так, что у нее будет существовать правая производная в точке .
Тогда тригонометрический ряд Фурье в точке будет сходиться к среднему арифметическому
( ; ) → ( + 0) + ( − 0). 2
Следствие. Если функция 2 -периодическая, непрерывно диффе-
ренцируемая, то ее ряд Фурье по тригонометрической системе поточечно сходится к ней.
Лемма 1. Пусть
∞
20 + ∑( cos + sin )
=1
тригонометрический ряд, который на отрезке [− , ] равномерно сходится к функции ( ). Тогда он является рядом Фурье функции ( ).
Возьмем произвольное натуральное число и покажем, что ( ( )) =
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ( )) = ∫− ( ) sin = |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∫− |
( 20 |
+ =1 cos + sin )sin |
|
|
|||
|
|
|
|
|
∑ |
|
∫ |
è ∑. |
В силу равномерной сходимости мы можем переставить местами |
3
Лемма 2. Если 2 -периодическая и непрерывно дифференцируемая, то е¼ ряд Фурье по тригонометрической системе сходится равномерно.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|||
|
Замечание: из неравенства |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
è |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
< ∞, òî |
| | < ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∑ |
2 |
|
|
∑ |
|
| | |
< |
|
|
|
|
следует, что, если < ∞ |
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
последовательностей |
{ }∞=1, äëÿ |
||||||||||||||||
|
|
Можно рассмотреть пространство |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
которых |
∑ |
< ∞. На нем можно ввести скалярное произведение. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∫− ( ) cos = ∫− ( ) sin = |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
′( ) sin = − ( ′) |
||||||
= ( ( ) sin |− − ∫− sin ( )) = − |
∫− |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
< ∞, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 2 ( ′) < ∞, |
|
∑ |
( ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑
следовательно | ( )| < ∞.
Теорема. Если 2 -периодическая непрерывно дифференцируемая функ-
ция, то ее тригонометрический ряд Фурье равномерно сходится к ней на
[− , ].
4
Лекция №16 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *
6 ноября 2015 г.
Мы рассматривали 2 -периодические функции, интегрируемые по Риману на интервале [− , ]. Коэффициенты Фурье равнялись
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫− ( ) cos |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫− ( ) sin |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∞ |
|
|
|
||
−→ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
2 |
|
+ ( cos + sin ) |
|
|||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
Теорема. Пусть непрерывно-дифференцируемая |
2 -периодическая |
|||||||
функция. Тогда |
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
R |
|
|
0 + |
( cos + sin ) |
|
||||||
∑ |
|
|
|
2
=1
Определение. Тригонометрическим многочленом называется конечная
сумма вида
∑
0 + ( cos + sin )
=1
Следствие из теоремы. Пусть 2 -периодическая, непрерывно дифференцируемая функция. Тогда для любого > 0 существует тригонометрический многочлен такой, что R| ( ) − ( )| < .
Пусть непрерывная 2 -периодическая функция, равномерно непрерывна на R, то есть
> 0 > 0 1, 2 R: | 1 − 2| < , | ( 1) − ( 2)| <
Заменим на функцию
1 ∫ +
( ) = ( ).
2 −
*Записки могут содержать ошибки.
1
ßñíî, ÷òî ( ) является 2 -периодической, непрерывно дифференцируемой функцией.
Покажем, что : | ( ) − ( )| < :
| ( ) − ( )| = 21 |
|
( ) − |
21 |
|
( ) 6 |
||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
+ |
|
|
|
|
∫ |
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
6 |
∫ − |
|
|
|
|
∫ − |
|
|
|||||
|
| ( ) − ( )| < |
|
|
= |
|||||||||
2 |
2 |
Таким образом мы доказали следующую теорему
Теорема. Для любой 2 -периодической непрерывной функции и > 0 существует 2 -периодическая непрерывно дифференцируемая функция, что | ( ) − ( )| < для любого вещественного .
Теорема Вейерштрасса. Пусть непрерывная 2 -периодическая функция. Тогда для любого > 0 существует тригонометрический многочлен , что для любого R: | ( ) − ( )| < .
Äëÿ = |
|
1 |
существует тригонометрический многочлен , ÷òî ( ) − |
||||||||||
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
( )| < |
1 |
|
äëÿ âñåõ R. Тогда . |
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
||||||||||
Теорема. |
Пусть 2 -периодическая непрерывно дифференцируемая |
||||||||||||
функция. Тогда для любого |
> 0 существует тригонометрический много- |
||||||||||||
член , что для любого R выполнено | ( )− ( )| < è | ′( )− ′( )| < |
|||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма. Если непрерывная 2 -периодическая функция, что |
|
− ( ) = |
|||||||||||
0, то для любого > 0 существует тригонометрический |
многочлен с нуле- |
||||||||||||
|
∫ |
|
|||||||||||
вым свободным членом, что для любого R: | ( ) − ( )| < . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
( |
21 |
+ |
( ) ) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
∫ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
:= ′( ) 2 -периодическая, непрерывная функция |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |− = 0. |
|
|
|
−
~
Для любого > 0 существует многочлен с нулевым свободным членом:
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R: | ( ) − |
( )| 6 |
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( cos + sin ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
− |
|
|
|
|||
( ) = (0) + ∫0 |
~( ) = (0) = =1 |
0 |
0 ) |
|||||||||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
sin |
|
|
|
cos |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
тригонометрический многочлен.
| ( ) − ( )| = |
∫0 |
|
( ) + (0) − (0) − ∫0 |
|
~( ) |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫0 |
|
|
|
|
6 |
∫0 |
| ( ) − ~( )| |
6 |
|
|
|
|
||
( ( ) − ~( ) |
∫0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод средних арифметических суммирования ряда. Пусть есть
∑∞
ðÿä =1 и его -ная частичная сумма. Будем рассматривать среднее арифметическое частичных сумм
= 1 + · · · +
∑∞
Определение. =1 суммируется методом средних арифметических к числу , если lim →∞ = .
∑∞
Замечание. Åñëè =1 сходится к , то методом средних арифмети- ческих он тоже суммируется к .
Пример. Ðÿä 1−1+1−· · · не сходится, но суммируется методом средних арифметических.
Теорема. Пусть 2 -периодическая непрерывная функция.
∞
20 + ∑( cos + sin )
=1
ее тригонометрический ряд Фурье, ( ) -ная частичная сумма этого ряда и
( ) = 1( ) + · · · + ( )
R
Тогда ( ) ( ). |
|
Доказывается счетом. |
Из теоремы Вейерштрасса следует замкнутость тригонометрической системы в рассматриваемом пространстве:
Утверждение. Для любой 2 -периодической, интегрируемой по Риману на отрезке [ ; ] и любого > 0 существует тригонометрический многочлен
, который приближает функцию |
с точностью до : |
|
|
1 |
|
|
|
|
‖ − ‖ = (∫− ( − )2 )2 |
< |
3
Лекция №17 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *
9 ноября 2015 г.
Пусть функция 2 -периодическая непрерывная и интегрируемая на отрезке [− , ]. Тогда для любого > 0 существует тригонометрический многочлен , что
|
1 |
|
|
|
|
‖ − ‖ = (∫− ( − )2 )2 |
< , |
то есть тригонометрическая система в данном пространстве со скалярным произведением является замкнутой.
В замкнутых системах есть равенство Парсеваля и существование предела сходящихся последовательностей.
Следствие. Пусть 2 -периодическая интегрируемая по Риману на [− , ] функция,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
( cos + sin ) |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ее ряд Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
− ( |
|
|
|
|
( cos + sin )) |
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
+ |
= |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
∫− |
|
( − ( |
0 |
|
+ ( cos + sin )) ) |
|
→ →∞ 0 |
|||||||||
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
∞ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
^2 ‖ ‖2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ ‖2 = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖cos ‖2 = ‖sin ‖2 = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
‖1‖2 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫− ( ) cos |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫− ( ) sin |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
*Записки могут содержать ошибки.
1