matan_3sem2015_pilot
.pdfСледствие. Пусть [ , ] отрезок, лежащий в множестве сходимости степенного ряда. Как мы показали, на нем степенной ряд сходится равномерно
è |
( ∞ ) = |
( |
) |
∫ |
=0 |
∫ |
|
|
∑ |
∑ |
|
Пусть
∞
∑
= ( )
=0
Найдем первообразную функции ( ) на множестве сходимости:
|
∞ |
+1 |
∞ −1 |
|
|
||
( ) = ∫ |
( ) = =0 |
+ 1 = |
=1 |
|
|
||
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
Òàê êàê ??? , то у нового ряда радиус сходимости будет таким же.
4
Лекция №11 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *
12 октября 2015 г.
существует число (возможно, |
∑ |
∞ |
+∞ |
|
|
и выяснили, что для них |
|
|
|
−∞ |
|
||||
Мы рассматривали ряды вида |
=0 ( − 0) |
|
|
||||
|
равное |
|
èëè |
|
|
), что внутри интервала |
( 0 − , 0 + ) она сходится абсолютно, а вне [ 0 − , 0 + ] расходится. Мы также получили формулу
= |
1 |
|
|
|
√ |
|
lim →∞ | |
Далее для удобства будем считать, что 0 = 0.
Для рядов можно ввести операцию интегрирования:
∞ |
|
∞ |
|
+1 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
→ =0 |
|
= =1 |
|
|
|
|
|
|||
|
+ 1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
При помощи этого метода можно, например, найти |
∫0 − |
|
|
с нужной точ- |
||||||||
|
|
|||||||||||
ностью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряды можно также дифференцировать:
∞ |
∞ |
∞ |
∑ |
∑ |
∑ |
→ |
−1 = |
+1( + 1) |
=0 |
=1 |
=0 |
У нового ряда радиус сходимости будет таким же, как и у исходного ряда, так как
′ = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim →∞ |
√| +1|( + 1) |
|
|
lim →∞ |
√| +1| |
|
lim →∞ |
√| | |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
lim →∞((| +1|) |
|
+1 |
) |
|
lim →∞ |
√| | |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение. Радиус сходимости для ряда из почленных производных членов степенного ряда совпадает с радиусом сходимости самого ряда. ???
*Записки могут содержать ошибки.
1
Следствие. В интервале сходимости суммы степенного ряда непрерывно дифференцируемая функция.
Теорема. В интервале сходимости сумма степенного ряда бесконечно
дифференцируемая функция. |
|
Доказательство применением следствия выше по индукции. |
|
Пусть ( ) бесконечно дифференцируема на отрезке с концами 0 |
è . Òî- |
гда для любого натурального существует точка интервала с концами0 è , ÷òî
|
|
( )( 0) |
|
|
|
|
|
|
|
( +1)( ) |
|
||||
( ) = |
∑ |
( − 0) + |
( − 0) +1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
=0 |
! |
|
( + 1)! |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Утверждение. |
Докажем, что > 0: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
lim |
|
= 0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
< ∞. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
По признаку Даламбера
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
: |
|
= lim |
|
= 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
||||
|
|
|
|
→∞ ( + 1)! |
→∞ + 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть радиус сходимости |
|
|
степенного ряда |
|
∞ |
больше |
|||||||||
|
( ) = |
|
=0 |
( − 0) |
. |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|||
íóëÿ, |
|
∑ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 + 1( − 0) + 2( − 0)2 + 3( − 0)3 + · · ·
1 + 2 2( − 0) + 3 3( − 0)2 + · · ·
( 0) = 0
′( 0) = 1! · 1
...
( )( 0) = ! ·
= ( )( 0)!
Утверждение. Пусть в некоторой окрестности точки 0
∞ |
∞ |
∑ |
∑ |
( − 0) = |
~ ( − 0) |
=0 |
=0 |
Тогда для любого N {0} |
|
= ~
2
Теорема (достаточное условие представимости функции степенным рядом). Пусть невырожденный промежуток R, ∞( ),
0 и существует > 0, что
N: | ( )( )| <
Тогда существует , что
( ) −
Примеры.
(1 + )
|
|
|
|
|
∞ |
( )( 0) |
|
|
|
|
|
||
|
( ) = |
∑ |
|
|
( − 0) |
|
|
|
|
||||
|
=0 |
! |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
0 |
|
( − 0) = | |
|
|
( |+· |1)!− |
| |
6 |
||||
=0 |
( )( ) |
|
|
( +1)( ) |
|
0 |
+1 |
||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
( | − 0|) |
→ →∞ |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
( + 1)! |
|
|
|
|
|
|
sin = |
|
|
|
3 |
+ |
|
|
|
|
|
= |
∞ |
(−1) |
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1! |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 (2 + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
cos = 1 |
|
2 |
|
+ 4 |
|
+ |
|
|
|
= |
∞ |
|
(−1) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
=0 |
(2 )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1! |
+ |
2! |
· · · = |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ln(1 + ) = |
|
|
|
2 |
= |
|
∞ |
|
(−1) +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 1 + + |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
· |
|
|
− |
|
+ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
? |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
1) |
|
( |
|
2) |
|
· · · |
||||||||||||||||
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По признаку Даламбера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
· |
|
( + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
+ 1) |
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
→ →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′( ) = + |
( |
− |
1)+ |
· ( − 1) · ( − 2) |
2+ |
· · · |
+ |
· ( − 1) · · · ( − ) |
+ |
· · · |
|||||||||||
|
· |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
Нетрудно проверить, что ′( )·(1+ ) = ( ). Также мы знаем, что (0) = 1. Мы получили дифференциальное уравнение на функцию , которое, как
будет доказано в курсе про дифференциальные уравнения, имеет одно решение ( ) = (1 + ) .
3
Пример. Замечательная функция |
|
|
|
{0, |
|
= 0 |
|
− |
1 |
, |
̸= 0 |
2 |
обладает свойством, она бесконечно гладкая и все ее производные в нуле существуют и равны нулю, тем не менее она не тождественная равна нулю.
4
Лекция №12 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *
16 октября 2015 г.
|
|
|
(0, 1). |
|
|
∞ |
|
|
числовой ряд. Предположим, что |
∑ |
∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
=1 |
||||||||||
Определение. |
Пусть |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
сходится на |
|
|
Сумму этого ряда обозначим через |
|
|
. Предположим, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
что существует предел lim |
|
|
|
|
|
( ) := . Тогда говорят, что |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
→1−0 |
|
(которое может быть |
|
|
|
∑∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 сум- |
|
|
||||||||||||
мируется методом Абеля к числу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равно |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Утверждение. |
|
Åñëè |
|
∞ |
|
|
= |
R |
, то методом Абеля он также сум- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
мируется к числу . |
∑ =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Предположим, что |
|
|
|
|
сходится. Тогда степенной рад |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
сходится в точке = 1. |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Значит, по теореме Абеля, он равномерно сходится |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
на отрезке [0, 1]. Значит, сумма этого ряда непрерывна на отрезке [0, 1]. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= (1) = |
|
lim ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Это и означает, что методом Абеля ∑ суммируется к . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Äëÿ ðÿäà |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
− |
1 |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
рассмотрим последовательность |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
=1 |
|
|
|
=1 |
|
2 |
|
|
|
= |
|
1− /2 = 1 − 1− /2 . ∑ |
=1 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
( ) |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
. Ее первообразная равна |
∑ |
∞ |
(2 |
|
)1 |
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 . Подставляя = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Возвращаясь к |
|
|
получаем |
− |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, получаем, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( − 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
что сумма ряда равна двум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример. Методом Абеля можно суммировать также и расходящиеся ря- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ды. Например, ряд |
|
|
|
|
1 − 1 + 1 − 1 + · · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
превращяется в ряд 1 − + 2 − 3 +· · · = |
1 |
|
. Подставляя = 1, получаем, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что ряд сходится к 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение. Просуммировать методом Абеля ряд
1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
и получить предел 1
4.
*Записки могут содержать ошибки.
1
Системы Фурье.
Пусть пространство со скалярным произведением, то есть
1)( , ) = ( , )
2)( 1 + 2, ) = ( 1, ) + ( 2, )
3)̸= 0: ( , ) > 0.
Определение. Рассмотрим систему ненулевых векторов { } =1 . Эта система называется ортогональный, если любые два различных векторов в ней являются ортогональными друг другу, то есть ̸= : ( , ) =
0.
Определение. Ортогональная система называется ортонормированной, если она ортогональна и длины всех векторов равны 1: ‖ ‖ = 1 .
Оценим расстояние от вектора до плоскости, порожденной системой векторов { } =1:
|
|
2 ( |
|
|
) |
− ∑ = − ∑ , − ∑ = |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
=1 |
=1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
= ‖ ‖2 − 2 |
( , ) + |
( , ) = |
||||
|
=1 |
|
|
, =1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ‖ ‖2 + |
∑ |
|
|
∑ |
^2 ‖ ‖2 + |
∑ |
|
( 2 − 2 ^ )‖ ‖2 = ‖ ‖2 − |
( − ^ )2‖ ‖2, |
||||||
|
=1 |
|
|
=1 |
|
=1 |
|
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) |
|
|
|
|
|
^ = |
|
|
. |
|
|
|
|
|
‖ ‖2 |
|
|
Таким образом минимальное отклонение достигается, когда все совпада- þò ñ ^ .
Определение. Числа ^ = ( , )
‖ ‖2
элемента на { }.
называются коэффициентами Фурье
Теорема (экстремальное свойство коэффициентов Фурье). Для любого набора коэффициентов { } =1
− |
|
> |
− |
^ |
, |
||
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем равенство имеет место, если и только если все = ^ .
2
Теорема (тождество Бесселя).
2
|
− ∑ |
^ |
|
= ‖ ‖2 |
− ∑ ^2 ‖ ‖2 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
=1 |
Следствие (неравенство Бесселя).
∑
^2 ‖ ‖2 6 ‖ ‖2
=1
Следствие. Åñëè { }∞=1 ортогональная система, то для любого век-
òîðà
∞
∑
^2 ‖ ‖2 6 ‖ ‖2
=1
Вывод: ^ ‖ ‖ → 0 при → ∞.
∑∞
Определение. Ðÿä =1 ^ называется рядом Фурье элемента по ортогональной системе { }∞=1.
∞ |
|
сходится к |
|
тогда и только тогда, когда |
|
Следствие. Ðÿä ∑ =1 |
^ |
|
∞ |
|
|
|
‖ ‖2 = |
∑ |
|
|
|
|
^2 ‖ ‖2 |
||||
|
|
|
=1 |
|
|
(следует из тождества Бесселя, называется равенством Парсеваля ).
Определение. Система { }∞=1 называется замкнутой, åñëè è> 0 существуют N и 1, . . . , , ÷òî
|
|
|
< |
− ∑ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
Теорема. Если ортогональная система { }∞=1 замкнута, то для любогоряд Фурье элемента по нашей системе сходится к разлагаемому
элементу:
∞
∑
^ = .
=1
Зафиксируем произвольное > 0. Найдем N, что 1, . . . , , ÷òî
|
|
|
|
|
|
|
< |
− ∑ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
Тогда для любого индекса > имеем |
|
|
|
|
|||||
− |
^ |
|
6 |
− |
|
< |
|||
|
=1 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Лекция №13 по матанализу
Неофициальные записки лекций В. В. Галатенко
для студентов 1 (пилотного) потока 2 курса ПМИ ФКН НИУ ВШЭ записанные Ярославом Сергиенко *
19 октября 2015 г.
Если есть пространство со скалярным произведением и ортогональная система { }∞=1, то имеется сопоставление
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
ãäå = ^ = |
( , ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) . Тогда |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∑ ^ |
= ‖ ‖2 − ∑ ^2 ‖ ‖2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ 2 |
|
=1 |
|
|
2 |
=1 |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
^ ‖ ‖ −→ →∞ 0 |
|||
|
^ |
‖ ‖ |
|
6 ‖ ‖ |
||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если { } замкнуто, то |
|
|
|
|
|
∞ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
^ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
‖ ‖2 = |
^2 ‖ ‖2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
Пусть = [− , ]/{ : |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− 2 = 0} пространство интегрируемых |
||||||||
по Риману функций, в |
котором функции, разность которых имеет меру |
|||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
нуль, считаются одинаковыми.
Утверждение. Система
1, cos , sin , cos 2 , sin 2 , cos 3 , sin 3 , . . .
является ортогональной.
*Записки могут содержать ошибки.
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(cos , sin ) = ∫− cos sin = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(cos , cos ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå ̸= |
|||||||||||
∫− cos cos = |
∫− (cos( + ) +cos( − ) ) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То, что (sin , sin ) = 0 при ̸= проверяется аналогично. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(cos , cos ) = ∫− cos2 = ∫− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(sin , sin ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1, 1) = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определение. |
|
Åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= ∫− ( ) cos , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫− ( ) sin , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то для функции [− , ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ðÿä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
( cos + sin ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
называется рядом Фурье функции , а и называются коэффициентами |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Фурье. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Утверждение. |
|
Для любой [− , ] ее коэффициенты Фурье стре- |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
мятся к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение. |
|
Ядром Дирихле порядка называется выражение |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
− sin 2 + sin 23 |
|
|
sin |
+ 21 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
( |
|
2 |
) |
|||
2 |
+cos +cos 2 + |
+cos = |
2 sin 2 |
|
|
2 sin 2 |
+ |
= |
|
|||||||||||||||||||||||
( ) = |
|
|
|
|
+ |
|
|
2 sin |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
( ; ) = |
0 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
( cos + sin ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ; ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 ∫− ( ) + =1 |
|
∫− ( ( ) cos cos + ( ) sin sin ) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∑ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2