RUDN-I
.pdf5.3. Свойства умножения квадратных матриц |
81 |
Для нечетной перестановки σ знак меняется нечетное число раз, т.е.
det A(σ) = − det A = sign σ · det A, |
если σ — нечетная. |
|||||
ство (5) при j = 1, т.е. |
[ |
n |
] |
|
. |
ru |
Доказательство теоремы 1. |
|
|
|
|
|
|
Для матрицы C = AB = C1 |
C2 . . . Cn |
|
используем сначала равен- |
|||
k∑1 |
matematem |
|
|
|||
|
|
k∑1 |
|
|
|
|
|
C1 |
= bk11Ak1 . |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
Тогда по свойству линейности определителя по первому столбцу, получим
n |
|
Cn ] = |
|
|
|
|
|
det C = det [ ∑k1=1 bk11Ak1 |
C2 . .n. |
|
k1 |
2 |
n |
] |
|
|
k∑1 |
[ |
A |
|
C |
|
|
|
= |
bk11 det |
|
. . . C . (7) |
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
Теперь используем (5) при j = 2, т.е.
∑n
C2 = bk22Ak2 .
k2=1
Подставим это равенство в (7) и воспользуемся линейностью определителя по 2-му столбцу:
n |
|
|
|
. |
[ |
|
∑n |
|
n |
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
bk1 |
|
|
|
Ak1 |
|
n |
|
|
|
. . . Cn = |
|
||
det C = |
1 det |
|
k2=1 bk22Ak2 |
|
||||||||||
www k11 |
|
k22 |
|
|
knn |
|
|
|
|
|||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
∑1 |
k∑2 |
[ |
|
] |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
bk1 |
1 |
|
bk22 det |
Ak1 Ak2 |
. . . Cn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
=1 |
|
|
|
|
Продолжая эту процедуру, получим в результате, что |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn = bknnAkn , |
|
|
|||||
|
∑1 |
|
|
∑2 |
|
|
kn=1 |
|
|
[ |
|
] |
||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
det C = |
|
|
b |
|
b . . . |
b |
|
det |
Ak1 |
Ak2 . . . |
Akn . |
|||
|
k =1 |
|
|
k =1 |
|
|
kn=1 |
|
|
|
|
|
Тема 5. Алгебра матриц
n |
n |
n |
[ Ak1 |
Ak2 . . . Akn ] |
|
det C = ∑ ∑ . . . |
∑ bk11bk22 . . . bknn det |
. (8) |
|||
k1 |
k2 |
kn |
|
ru |
|
В (8) индексы суммирования k1 |
, k2, . . . kn независимо друг от друга про- |
||||||
бегают значения |
от |
1 до |
|
|
. |
||
n. Однако, все слагаемые, в которых сре- |
|||||||
ди |
чисел |
k1, k2, . . . kn |
есть одинаковые числа, равны нулю, т.к. при |
||||
ми |
[ |
|
|
matematem |
|
||
этом det |
A A |
. . . A |
|
= 0 (определитель с двумя одинаковы- |
столбцами). Значит, в (8) остаются те и только те слагаемые, в которых все числа k1, k2, . . . kn — разные (от 1 до n), т.е. слагаемые, отвечающие перестановкам σ = (k1, k2, . . . , kn) Sn (перестановкам номеров (1, 2, . . . , n)). В итоге
∑
det C = bk11bk22 . . . bknn det A(σ)
σ Sn
(см. лемму 1 п. 5.3). Подставим сюда равенство (6) и получим, вынося общий множитель det A за скобки
det C = ( |
sign σ · bk11bk22 . . . bknn)det A. |
||
|
σ Sn |
|
|
|
∑ |
|
|
Отметим, что |
|
|
|
det B = det BT = |
sign σ · b1Tk1 b2Tk2 . . . bnkT n = |
sign σ · bk11bk22 . . . bknn. |
|
|
σ Sn |
|
σ Sn |
|
∑ |
|
∑ |
Итак, |
det C = det B · det A = det A · det B, |
||
|
|||
что и требовалось показать. |
|
|
|
|
. |
|
|
5.4. Обратная матрица |
|
2) МатрицаwwwA называется обратимой, если существует обратная к
Пусть A = aij Mn, т.е. A — квадратная матрица порядка n.
Определение 1. 1) Матрица B Mn называется обратной к матрице A, если
AB = BA = I. |
(1) |
ней матрица.
5.4. Обратная матрица |
83 |
Для обратной матрицы используем обозначение B = A−1. Очевидно, что свойство обратимости взаимно:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A−1 = |
det A. |
|
|
ru |
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B = A−1 |
|
A = B−1. |
|
|
|
(2) |
|||||
Свойства обратной матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1◦ |
. Если матрица |
A |
|
M |
n обратима, то |
det A = 0 |
. При этом |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matematem |
|
из (1) следует, |
||||||||||
Действительно, по теореме об определителе произведения. |
|||||||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
det A · det A−1 = det I = 1. |
|
|
|
|
|||||||||
Итак, |
A−1 |
|
det A = 0, det A |
· |
det A−1 |
= 1 |
|
(3). |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2. Матрица A Mn называется невырожденной, если det A ≠ 0.
Свойство 1◦ означает, что обратимая матрица (и обратная к ней) невырождены.
2◦. Если A, B Mn обратимы, то AB тоже обратима и
(AB)−1 = B−1A−1.
Упражнение 1. Доказать это свойство (см. упражнение 5.27).
3◦. Если матрица A обратима, то обратная к ней единственна.
Упражнение 2. Доказать единственность обратной матрицы (см. упражнение 5.25).
Указание. Доказательство аналогично доказательству единственности обратного отображения: допустив, что есть две обратные матрицы A−1 1 и
A2−1 рассмотреть матрицу C = A1−1AA2−1 и показать, что C = A1−1, C = |
|||
A2−1. |
www |
|
|
4◦. Критерий обратимости. |
и формула вычисления обратной матрицы. |
Теорема 1. Для обратимости матрицы A Mn необходимо и достаточно, чтобы A была невырождена (т.е. ∆ = det A ≠ 0). Если это условие выполнено, то
|
|
|
1 |
A11 |
A21 |
. . . An1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
A12 |
A22 |
. . . An2 |
|
|
|||
A− |
|
= |
|
|
. . |
. |
|
, |
(4) |
|
|
∆ |
|
||||||||
|
|
|
.. .. |
... .. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1n A2n |
. . . Ann |
|
|
где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij.
84 Тема 5. Алгебра матриц
Замечание 1. Матрица из алгебраических дополнений в (4) транспонирована (алгебраические дополнения элементов строки образуют соот-
ветствующие столбцы). |
|
.еслиru |
i ̸= j |
|
|
a1jA1i + a2jA2i + . . . + anjAni = δij · ∆ = { |
0, |
(6) |
|||
Замечание 2. При доказательстве теоремы используем равенства |
|
||||
ai1Aj1 + ai2Aj2 + . . . + ainAjn = δij · ∆ = { |
∆, |
если |
i = j |
(5) |
|
0, |
если |
i ̸= j |
|||
j |
. matematemAj2 |
если |
i = j |
|
|
|
|
∆, |
|
(см. теорему 1 п. 4.4 о разложении определителя по строке (столбцу) и следствие из нее).
Доказательство теоремы.
1) Необходимость условия ∆ = det A ≠ 0 для обратимости матрицы A показана в 1◦.
2) Для доказательства достаточности рассмотрим так называемую присоединенную матрицу A к матрице A:
|
A...11 ...... A...j1 ...... A...n1 |
|
|
[ |
|
|
|
|
] |
|
A = |
. . . . . |
|
|
|
|
|
|
|||
A1i . . . Aji . . . Ani |
|
= |
(A )1 . . . (A )j |
. . . (A )n . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. .. .. .. .. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1n . . . Ajn . . . Ann |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть |
|
C = AA = cij . |
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
||||||
www |
C = ... ... ... |
|
... |
= ∆I. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Aj1 |
|
|
|
|
|
|
cij = Ai(A ) = (ai1 ai2 . . . ain) |
|
... |
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ajn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
∆, |
если |
i = j |
т.е. |
= ai1Aj1 + ai2Aj2 + . . . + ainAjn |
= δij · ∆ = { |
0, |
если |
i ̸= j, |
|||||
|
∆ |
0 . . . |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 ∆ . . . |
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 . . . |
|
∆ |
|
|
|
|
5.4. Обратная матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
|||||
|
|
|
|
∆ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = 1 A |
|
|||||||||||||
Считаем сейчас, что |
|
̸ |
. Поэтому, если обозначить |
|
|
|
∆ |
|
|
|
, то |
||||||||||||||||||
|
AB = A( |
1 |
A ) = |
1 |
(AA ) = |
|
1 |
(∆I) = I. |
ru |
|
|
(7) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆ |
∆ |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Далее, выпишем i-ую строку матрицы A : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(A )i = (A1i A2i |
. . . Ani). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
matematemA−1 = ∆ ( −a21 −a11 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пусть D = A A = dij . Тогда |
a2j |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1j |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dij = (A )iA = (A1i A2i . . . Ani) ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
anj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
∆, |
|
если |
|
i = j |
|||||||||
= a1jA1i + a2jA2i + . . . + anjAni = δij · ∆ = { |
0, |
|
если |
|
i ̸= j. |
||||||||||||||||||||||||
Итак, D = ∆I, т.е. A A = ∆I, а значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BA = I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||
Из (7), (8) следует, что B = |
1 |
A |
есть A−1, что и требовалось. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
) с ∆ = |
|||||
Следствие 1. Для матрицы 2-го порядка A = ( a21 |
a22 |
||||||||||||||||||||||||||||
det A ̸= 0 получим |
. |
|
|
|
1 |
|
|
a22 |
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a21, |
|
|
|||||
Доказательство. Действительно, A11 |
= |
a22, |
A12 |
|
= |
|
A21 = |
||||||||||||||||||||||
−a12, A22 = a11, так что формула (4) дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
A11 A21 |
1 |
|
|
a22 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
A−1 = |
|
( |
A12 A22 |
) = |
|
( |
−a21 |
−a11 |
). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∆ |
∆ |
|
|
|
|
|
Следствие 2. Пусть A, B Mn, AB = I. Тогда BA = I, т.е. B = A−1.
Упражнение 3. Доказать следствие 2 (см. упражнение 5.26).
86 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 5. Алгебра матриц |
||||
|
|
( |
1 |
|
2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Пусть A = |
|
3 |
|
4 |
|
. Найти A−1, сделать проверку. |
||||||||||||||
A−1 = |
|
|
2 ( |
−3 |
−1 ) = ( −3 |
|
1 )ru. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ = |
|
3 4 |
= 4 − 6 = −2 ̸= 0. |
|
|
|||||||||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
matematem |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||
Проверка: |
|
) |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
( |
) |
|
|
|
|||||
( |
|
( |
|
2 |
|
) = |
|
|
|
|||||||||||
3 |
4 |
|
|
2 |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
— верно. |
|||||||||
|
−3 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
Замечание 3. Существование обратной матрицы A−1 у невырожденной матрицы A позволяет ввести любые целые степени матрицы:
A0 = I, A−1 — обратная матрица, A−n = (A−1)n, n N.
Упражнение 4. Для любых n, m Z показать, что
(An)−1 = (A−1)n, AnAm = AmAn = An+m, (Am)n = (An)m = Amn
(см. упражнение 5.29).
5.5. Решение матричных уравнений |
с помощью |
|||
|
обратной матрицы |
|
||
1◦. Пусть A Mm |
— квадратная матрица порядка m ≥ 2, B — мат- |
|||
|
|
. |
|
|
рица размера (m × n) заданы; X — неизвестная матрица. Рассмотрим |
||||
www |
|
|
|
|
уравнение |
|
|
|
(1) |
|
|
|
AX = B. |
Определение 1. Матрица X0 называется решением матричного уравнения (1), если при ее подстановке в (1) получим матричное равенство:
|
|
|
|
AX0 = B. |
|
|
(2) |
||
Найдем сначала размер неизвестной матрицы по правилу размеров: |
|||||||||
|
(m × m) · (p ×q) = (m × n). |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Должно быть |
p = m, q = n |
Итак, X — матрица размера (m |
|
n) |
. |
||||
|
.| {z } |
× |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.5. Решение матричных уравнений |
87 |
Теорема 1. Пусть матрица A Mm обратима. Тогда уравнение (1) имеет, причем единственное решение:
|
X0 = A−1B. |
|
ru |
(3) |
|
|
|
||
Доказательство. |
|
. |
|
вида |
|
|
|
||
1) Чтобы доказать существование достаточно проверить, что X0 |
(3) действительно дает решение уравнения (1). Имеем по свойству ассоциативности умножения и определению обратной матрицы
AX0 = A(A−1B) = (AA−1)B = IB = B,
что и требовалось.
2) Докажем единственность. Пусть X0 — любое решение (1). Тогда верно равенство AX0 = B. Умножим обе части равенства слева на A−1:
A−1(AX0) = A−1B.
По свойству ассоциативности и определению обратной матрицы получим
(A−1A)X0 = A−1B IX0 = A−1B X0 = A−1B,
т.е. решение обязательно вычисляется по формуле (3).
Теорема 2. Пусть матрица A Mn обратима, B — заданная матрица размера (m × n). Тогда матричное уравнение
|
|
|
Y A = B |
|
|
(4) |
|
имеет, причем единственноеmatematemрешение: |
|
|
|||||
|
|
. |
Y0 = BA−1. |
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|||
Упражнение. Доказать теорему 2 самостоятельно. |
|
|
|||||
2◦. Рассмотрим теперь квадратную систему линейных уравнений: |
|
||||||
|
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 |
|
|||||
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 |
|
||||||
.. |
.. |
.. |
. |
.. |
.. |
(6) |
|
www. |
. |
|
. |
. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
88 |
|
|
Тема 5. Алгебра матриц |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
Здесь A = aij — матрица системы, причем ∆ = det A ̸= 0, B = |
bn |
||||||||
|
... |
|
|||||||
|
|
||||||||
|
|
x1 |
|
|
|
ru |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— столбец правых частей, X = ... |
— столбец неизвестных. |
|
|
|
|||||
|
matematem |
|
|
|
|
|
|||
По правилу умножения матриц произведение AX есть столбец вида |
|
||||||||
|
a11 a12 . . . a1n |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
a21 a22 . . . a2n |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AX = ... ... ... ... |
... |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 an2 . . . ann |
xn |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn |
|||||||
|
|
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn |
|||||||
|
|
|
... |
|
|
... |
... |
|
|
|
= ... |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1x1 + an2x2 |
+ . . . + annxn |
||||||
и система (6) означает равенство столбцов: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
AX = B. |
|
|
|
|
|
(7) |
Соотношение (7) называется матричной записью системы (6). Оно представляет собой частный случай матричного уравнения с обратимой матрицей A и имеет по теореме 1 единственное решение
www |
. |
X0 |
= A−1B. |
(8) |
|
||||
|
|
|
|
Формула (8) дает единственное решение системы (6). Этот метод называется методом решения системы с помощью обратной матрицы.
3◦. Формулы Крамера. Распишем подробнее полученное решение. Име-
|
x10 |
|
|
|
|
|
x20 |
0 |
1 |
||
|
x0 |
|
|
|
= (A− )jB, j = |
|
n |
|
|
|
|
ем X0 = ... |
. По формуле умножения матриц xj |
||||
1, 2, . . . , n |
. |
|
|
|
|
Подставим сюда формулу вычисления обратной матрицы (4): |
|||||
|
|
(A−1)j = |
1 |
(A1j A2j . . . Anj), |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∆ |
|
5.6. Элементарные преобразования |
|
|
|
89 |
||||||||||
где Aij — алгебраические дополнения элементов aij в ∆. Итак, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
ru |
0 |
1 |
|
b2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xj |
= ∆(A1j A2j . . . Anj) |
|
|
|
|
= ∆(A1jb1 + A2jb2 + . . . + Anjbn). (9) |
||||||||
... |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
matematem |
|
||||||||||
Если разложить определитель ∆j, полученный из |
∆ |
заменой j-го столбца |
||||||||||||
на столбец правых частей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a11 |
. . . b1 . . . a1n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a21 |
. . . b2 . . . a2n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∆j = |
|
|
|
. |
. . |
. |
|
|
|
||
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
.. |
|
.. .. |
|
.. .. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
an1 . . . bn . . . ann |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
j-ый столбец |
|
|
|
||||
по элементам j-го столбца, то получим |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∆j = A1jb1 + A2jb2 + . . . + Anjbn. |
|
||||||||||
Подставим эти равенства в (9) и получим формулы |
|
|
||||||||||||
|
|
|
xj0 = |
|
∆j |
, |
j = 1, 2, . . . , n. |
|
|
(10) |
||||
|
|
|
|
∆ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эти формулы называются формулами Крамера.
Вывод. Если определитель системы линейных уравнений (6) ∆ =
det A ≠ 0, то система. имеет, причем единственное решение, которое можно найти по формуле (8) через обратную матрицу, или по формулам Крамераwww(10).
5.6. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований
Из свойств умножения матриц (см. п. 5.2) следует, что при A, B Mn
1)элементарные преобразования строк матрицы A приводят к таким же элементарным преобразованиям строк матрицы C = AB,
2)элементарные преобразования столбцов матрицы B приводят к таким
же элементарным преобразованиям столбцов матрицы C = AB.
90 Тема 5. Алгебра матриц
Применим свойство 1) к равенству B = IB (т.е. при A = I):
1◦. Пусть матрица J получена из I элементарными преобразованиями
|
|
ru |
строк. Тогда матрица C = JB получается из B = IB с помощью тех же |
||
элементарных преобразований строк. |
|
|
Применим свойство 2) к равенству A = AI (т.е. при B = I): |
||
|
. |
|
2◦. Пусть матрица H получена из I элементарными преобразованиями |
||
столбцов. Тогда матрица D = AH получается из A = AI с помощью тех |
||
же элементарных преобразований столбцов. |
|
|
Вывод. Элементарные преобразования строк матрицы B можно реализовать, умножая B слева на матрицу J, полученную из единичной матрицы I теми же элементарными преобразованиями строк.
Следующий результат дополняет теоремы 1 и 2 п. 1.2 о приведении матрицы к простейшему виду методом Гаусса. Он играет важную роль при нахождении обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
Теорема 1. Пусть A Mn, det A ≠ 0. Тогда матрица A может быть приведена к единичной: A ≈ I с помощью элементарных преобразований строк.
Доказательство.
1) Покажем, что прямой ход метода Гаусса, затрагивая только строки матрицы A, позволяет привести ее к ступенчатому виду
|
λ |
λ2 |
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|
. . . |
|
|
λ1λ2 . . . λn ̸= 0. |
(1) |
|||||
A ≈ An = ... ... |
|
|
... |
|
... |
|
, |
|||||
|
0 |
0 |
|
|
. . . |
|
λn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Шаг 1. Первый столбецmatematemв A ненулевой (иначе был бы det A = 0). Поэтому |
||||||||||||
первый шаг прямого.хода метода Гаусса можно реализовать, затрагивая |
||||||||||||
только строки и мы получим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
λ |
|
|
. . . |
|
|
|
|
|||
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A ≈ A1 = |
|
... || |
|
|
A(1) |
|
|
, λ1 ̸= 0, |
|
|||
|
|
0 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где A(1) — матрица порядка (n − 1). При этом, разлагая det A1 |
по 1-му |
|||||||||||
столбцу,wwwимеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A1 = λ1 det A(1).