RUDN-I

В результате шага 1 в правом нижнем углу получили матрицу A(1) порядка (n − 1) с det A(1) ≠ 0.

Шаг 2. Первый столбец в A(1) ненулевой (иначе был бы det A(1) = 0). Поэтому второй шаг прямого хода метода Гаусса можно реализовать,

где A(2) — матрица порядка (n − 2). Матрица A2 — блочно-треугольная,

2) Обратный ход метода Гаусса тоже затрагивает только строки и при-

к единичной: A ≈ I.

92 Тема 5. Алгебра матриц

Следствие. Пусть матрица I получена из единичной матрицы I те-

Проводим элементарные преобразования строк, переводящие A в единичную матрицу I. Они же переводят стоящую справа единичную матрицу I к виду I = A−1. Этот метод нахождения обратной матрицы на-

5.7. Дополнение. Определитель как полилинейная кососимметрическая функция строк (столбцов) матрицы

сматриватьwwwкак функцию строк (столбцов) матрицы. Обозначим через f(A) = f(A1, A2, . . . , An) значения этой функции.

94 Тема 5. Алгебра матриц

Определение 1. Функция f называется полилинейной, если она линейна по каждой из строк, т.е. при i = 1, 2, . . . , n, λ R

i ≠ j

f(A1, . . . , Ai, . . . , Aj, . . . , An) = −f(A1, . . . , Aj, . . . , Ai, . . . , An).

Пример полилинейной кососимметрической функции строк (столбцов) матрицы A дает ее определитель det A (см. п. 4.3, свойства 2◦ и 4◦). Ниже будет показано, что всякая полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы, по существу, сводится к ее определителю.

Следующее предложение отражает простые свойства кососимметрической функции.

Теорема 1. Пусть k1, k2, . . . , kn {1, 2, . . . , n}, f — кососимметрическая функция. Тогда,

1) если среди номеров k1, k2, . . . , kn есть совпадающие, то

Доказательство свойства 1) такое же, как доказательство свойства 3◦

определителя в п. 4.3. Доказательство формулы (2) аналогично доказательству леммы 1 п. 5.3 (оно использует лишь свойство кососимметричности определителя; см. также упражнение 5.16).

Приведем теперь основной результат этого пункта.

Теорема 2. Пусть f — полилинейная кососимметрическая функция строк матрицы A Mn. Тогда справедливо равенство

Следствие. Единственной полилинейной кососимметрической функцией строк матрицы A Mn, такой что f(I) = 1, является определитель матрицы: f(A) = det A.

Доказательство теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 1 п. 5.3 об определителе произведения матриц и мы ограничимся здесь из-

(см. упражнение 5.10). При разных i эти формулы будут использованы совместно, поэтому мы ввели разные обозначения индексов суммирования: k1, k2, . . . , kn. Они независимо друг от друга пробегают значения от 1 до n.

2) Используя представления (4) и полилинейность f, получим

3) Согласно (1), в сумме (5) отличными от нуля могут быть лишь слагаемые, отвечающие перестановкам σ = (k1, k2, . . . , kn) Sn, т.е.

σ Sn

.

.matematem

5.10.В wwwкачестве следствия упражнений 5.1, 5.8 получить для матрицы

m-)=A = a I , i = 1, 2, . . . , m, .

k=1

где Ik, k = 1, 2, . . . , n — строки единичной матрицы порядка n. Получить эти равенства также прямым вычислением.

5.11. Пусть A — квадратная матрица порядка n. След матрицы trA — это сумма элементов главной диагонали: trA = a11 + a22 + . . . ann. Показать, что 1) след произведения матриц не зависит от порядка сомножителей:

(это частный случай общей теоремы Гамильтона-Кэли, см. тему 16).

5.14.Пусть A — квадратная матрица и p(x) и q(x) — любые многочле-

ны. Показать, что матрицы p(A) и q(A) перестановочны, т.е. p(A)q(A) = q(A)p(A). .

5.15.Доказать, что если квадратная матрица A порядка n перестановочна с каждой матрицей порядка n, то — A скалярная матрица, то есть

5.17.* Доказать теорему об определителе произведения квадратных матриц, опираясь на результаты упражнений 5.8, 5.16 (указание: доказательство можно провести по такой же схеме, что была использована при доказательстве теоремы 1).

5.18*. Провести альтернативное доказательство теоремы об определителе произведения квадратных матриц по следующей схеме.

1) Рассмотреть блочно-треугольную матрицу вида

где A, B — квадратные матрицы порядка n; O, I — нулевая и единичная матрицы того же порядка. Показать, что det D = (−1)n det A det B.

2) Элементарными преобразованиями, сохраняющими определитель, привести матрицу к эквивалентному виду

(использовать результаты упражнений 5.8, 5.10). При этом det D = det D = (−1)n det A det B.

www e

3) Используя результат упражнения 4.9, получить отсюда равенство det AB = det A det B.

5.19. Найти все квадратные матрицы X второго порядка, удовлетворяющие условию X2 = O. Существуют ли такие матрицы с det X ≠ 0?

5.23. Найти все квадратные матрицы X второго порядка, удовлетворяющие условию X2 = X. Чему может равняться det X?

5.24. Как изменится обратная матрица A−1, если в данной матрице A 1) переставить i-ую и j-ую строки,

2) i-ую строку умножить на число α ≠ 0,

3) к i-ой строке прибавить j-ую строку, умноженную на число α или совершить аналогичное преобразование столбцов?

5.25. Показать, что квадратная матрица может иметь только одну обратную матрицу.

5.26. Показать, что если A, B — квадратные матрицы и AB = I, то BA = I, т.е. B = A−1.

5.27. Пусть A, B — обратимые квадратные матрицы. Показать, что матрица AB также обратима, причем (AB)−1 = B−1A−1.

5.28. Доказать, что матрица A с целочисленными элементами имеет обратную матрицу с целочисленными элементами тогда и только тогда,

(An)−1 = (A−1)n, AnAm = AmAn = An+m, (Am)n = (An)m = Amn.

5.30. Пусть A, B — обратимые квадратные матрицы порядков m и n, соответственно. Показать, что уравнение AXB = C, где матрица C размера (m × n) задана, а матрица X неизвестна, имеет, причем единственное решение вида X = A−1CB−1.