RUDN-I
.pdf9.9. Теоретические упражнения к теме 9 |
191 |
9.9. Теоретические упражнения к теме 9
9.1. Пусть
|
m |
|
|
n |
|
|
m+n |
|
|
P (z) = plzl, Q(z) = qjzj, R = P · Q, R(z) = |
|
rkzk |
|||||
|
l=0 |
|
|
j=0 |
|
ru |
|
=0 |
|
∑ |
|
|
∑ |
|
∑k |
||
Вывести равенства |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
rk = |
=0 |
|
δl+j, kplqj, k = 0, 1, . . . m |
.+ n. |
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
∑l |
∑ |
|
|
|
|
|
где δi, k — символ Кронекера (δi, k = 1, если i = k, δi, k |
= 0, если i ̸= k). |
|||||||
9.2. (схема Горнера деления многочлена на двучлен). Пусть |
|
|||||||
|
|
n |
plzl, pn ̸= 0, P (z) = (z − c)Q(z) + R, |
|||||
|
P (z) = |
=0 |
||||||
где |
|
∑l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(z) = |
qjzj |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑j |
|
|
|
Вывести формулы для коэффициентов qj, (j = n − 1, n − 2, |
. . . , 1, 0) и |
|||||||
остатка R: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qn−1 = pn, qn−2 = pn−1 + cqn−1, . . . , q0 = p1 + cq1, R = p0 + cq0. |
|||||||
9.3. Пусть P и Q — многочлены с вещественными коэффициентами, |
||||||||
|
|
P = QH + R, |
degR < degQ |
|
|
|
||
|
|
|
matematem |
|
|
|
9.4.Показать, что НОД. и НОК двух многочленов являются единственными с точностью до постоянного множителя.
9.5.Пусть R есть НОД, а S есть НОК многочленов P, Q. Показать, что
RS = P Q.
9.6.Показать, что если целое число c является корнем многочленатакжеwww
∑n
P (z) = plzl, pn ≠ 0
l=0
с целыми коэффициентами, то число c будет делителем коэффициента p0 (указание: использовать результат упражнения 9.2).
198
Список литературы
[1] Кострикин А. И. Введение в алгебру. |
ru |
|
|
Часть 1. |
Основы алгебры. М. : Физматлит, 2001. |
|
|
Часть 2. |
matematem |
|
|
Линейная алгебра. М. : Физматлит, 2001. |
|
||
Часть 3. |
Основные структуры алгебры. М. : Физматлит,. |
2001. |
[2] Винберг Э. Б. Курс алгебры. М. : Факториал, 2002.
[3] Баскаков А. Г. Лекции по алгебре. Воронеж, ВГУ, 2004.
[4] Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М. : МГУ, 1998.
[5] Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М. : Физматлит, 2007.
[6] Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М. :Наука, 1971. [7] Воеводин В. В. Линейная алгебра. М. :Наука, 1980.
[8] Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М. : Наука, 1970.
[9] Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М. :Физматгиз , 1975.
[10] Шилов Г. Е. Математический анализ. Конечномерные векторные |
|
|
. |
пространства. М. :Наука, 1969. |
|
www |
|
200 |
Оглавление |
Тема 6. Алгебраические операции. Группы . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.Алгебраические операции. Понятие группы. Примеры групп101
6.2.Некоторые свойства групповой операции . . . . . . . . . . . 105
6.3.Понятие подгруппы. Смежные классы группы по подгруппе107
6.4. Циклические подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5.Нормальные подгруппы. Фактор–группа по нормальной подгруппе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 113
6.6.Гомоморфизм и изоморфизм групп . . . . . . . . . . . . . . 117Тема 7. Кольца и поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124ru
7.1. Понятие кольца. Примеры колец . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.Понятие поля. Примеры полей . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.Кольцо и поле вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.4. Теоретические упражнения к теме 7 |
. . . . . . . . . . . . . 138 |
Тема 8. Поле комплексных чисел . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . 140 |
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . 140 |
8.1.Понятие комплексного числа. Комплексные числа в алгебраической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.2.Комплексная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.3.Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.4.Возведение в степень и извлечение корня из комплексного
matematem |
. . |
. |
. |
150 |
числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
||||
8.5. Свойства операции сопряжения комплексных чисел |
. . |
. |
. |
154 |
8.6. Теоретические упражнения к теме 8 . . . . . . . . . . |
. . |
. 155 |
Тема 9. Многочлены над полем комплексных чисел . . . . . |
. . |
. 158 |
9.1.Условия равенства многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.2.Кольцо многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
9.3.Деление многочленов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.4.Наибольший общий делитель двух многочленов . . . . . . . 168
9.5.Корни многочлена. Основная теорема алгебры многочленов. Разложение многочлена на множители . . . . . . . . . 172
9.6.Разложение на множители многочленов с вещественными
Оглавлениеwww. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 |
||
|
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 |
|
9.7. |
Формулы Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 |
|
9.8. Доказательство основной теоремы алгебры |
. . . . . . . . . 185 |
|
9.9. |
Теоретические упражнения к теме 9 . . . |
. . . . . . . . . . 191 |
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . 192 |
|
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . 198 |