- •1. Предмет и метод метеорологии
- •2. Связь метеорологии с другими науками. Деление на научные дисциплины
- •3. Значение метеорологии для народного хозяйства и обороны страны
- •4. Особенности
- •6. Краткие сведения о достижениях метеорологической науки
- •7. Международное сотрудничество в области метеорологии
- •Глава 1
- •1.1. Состав воздуха вблизи земной поверхности
- •1.2. Состав воздуха
- •1.3. Уравнение состояния сухого воздуха
- •1.4. Уравнение состояния влажного воздуха
- •1.5. Характеристики влажности воздуха и связь между ними
- •2 Строение атмосферы
- •2.1. Основные сведения о Земле как планете
- •2.2. Принципы деления атмосферы на слои. Краткие сведения о методах исследования атмосферы
- •2.3. Тропосфера, стратосфера и мезосфера
- •2.4. Понятие о воздушных массах и фронтах
- •3 Статика атмосферы
- •3.1. Силы, действующие в атмосфере в состоянии равновесия
- •3.2. Уравнение статики атмосферы
- •3.3. Барометрические формулы
- •3.4. Барическая ступень
- •3.5. Вертикальный масштаб атмосферы
- •3.6. Геопотенциал. Абсолютная и относительная высота изобарических поверхностей
- •3.7. Стандартная атмосфера
- •Глава 4 Термодинамика атмосферы
- •4.1. Первое начало термодинамики применительно к атмосфере
- •4.2. Адиабатический процесс
- •4.3. Сухоадиабатический градиент
- •4.4. Потенциальная температура
- •4.5. Критерии устойчивости атмосферы по методу частицы
- •4.6. Изменение потенциальной температуры с высотой при различных видах стратификации атмосферы
- •4.7. Адиабатические процессы во влажном ненасыщенном воздухе
- •4.8. Влажноадиабатические процессы
- •4.9. Анализ состояния атмосферы с помощью термодинамических графиков
- •4.10. Стратификация атмосферы по отношению к влажноадиабатическому и сухоадиабатическому движению частицы
- •4.11. Метод слоя
- •Глава 5
- •5.2. Солнце и солнечная постоянная
- •Глава 6
- •6.1. Поглощение солнечной радиации в атмосфере Земли
- •6.2. Рассеяние солнечной радиации в атмосфере
- •6.3. Законы ослабления радиации в земной атмосфере
- •6.4. Прямая солнечная радиация
- •6.5. Рассеянная радиация
- •6.6. Суммарная радиация
- •6.7. Альбедо
- •Глава 7
- •7.1. Излучение земной поверхности
- •7.2. Излучение атмосферы
- •7.3. Полуэмпирические формулы для расчета излучения атмосферы и эффективного излучения земной поверхности
- •7.4. Влияние облачности на встречное и эффективное излучение
- •7.5. Суточный и годовой ход эффективного излучения
- •Глава 8
- •8.1. Радиационный баланс земной поверхности
- •Глава 9
- •9.1. Ламинарное и турбулентное состояние атмосферы
- •9.2. Простейшие характеристики турбулентности
- •9.3. Конвективный и турбулентный потоки тепла
- •Глава 11
- •11.1. Уравнение
- •Глава 12
- •12.1. Распределение температуры в тропосфере и нижней стратосфере
- •12.2. Инверсии температуры в атмосфере
- •Глава 14 Влажность воздуха
- •14.1. Уравнение переноса водяного пара в турбулентной атмосфере
- •14.2. Испарение
- •Глава 15
- •15.2. Зависимость теплоты фазового перехода и давления насыщенного водяного пара от температуры
- •Глава 16 Туманы
- •16.1. Физические условия образования и классификация туманов
- •Глава 17 Облака
- •Глава 18 Осадки
- •18.1. Классификация осадков
- •18.2. Процессы укрупнения облачных элементов и образования осадков
- •18.3. Наземная конденсация и осадки
- •Глава 19
- •19.1. Силы, действующие в атмосфере
- •19.2. Уравнения движения турбулентной атмосферы
- •Глава 21
- •21.1. Ветер в пограничном слое атмосферы
- •21.2. Местные ветры
- •Глава 22
- •22.1. Яркость небесного свода
- •22.3. Оптические явления в облаках, туманах и осадках
- •Глава 23
- •23.1. Ионизация атмосферы
- •23.3. Механизм образования электрических зарядов в грозовых облаках
- •23.4. Структура грозового облака. Рост града
- •23.5.. Полярные сияния
3.3. Барометрические формулы
Уравнение статики является одним из важнейших уравнений метеорологии, на основе которого устанавливаются закономерности распределения давления, плотности и массы воздуха по высоте. В своем дифференциальном виде уравнение статики (3.2.4) позволяет выполнить расчет изменения давления лишь для малых приращений высоты dz.
На практике всегда необходимо иметь данные о распределении давления в слоях атмосферы конечной толщины или определить толщину таких слоев по измеренным значениям давления. Для этой цели уравнение статики следует записать в конечном (интегральном) виде, т. е. найти его интегралы. Интегралы уравнения статики атмосферы, полученные при разных предположениях относительно изменения температуры и плотности воздуха с высотой, носят общее название барометрических формул. На основе барометрических формул решаются такие важные практические задачи, как расчет распределения давления и плотности по высоте, определение высоты различных летательных аппаратов по измеренному давлению, приведение давления к уровню моря и др.
Для получения интегральной формы уравнения статики проинтегрируем левую и правую части (3.2.4) в пределах от уровня моря 2=0 (или земной поверхности), где давление р0, до произвольной высоты г, где давление р. Имеем
Откуда
Здесь ρ = ρ(z) – функция высоты
Другую интегральную форму уравнению статики можно придать, если воспользоваться уравнением состояния влажного воздуха (1.4.12) из главы 1. Подставив найденное отсюда значение р, перепишем (3.2.4) в виде
.
Интегрируя в пределах от 0 до z и от р0 до р, получаем:
Интегральные формы (3.3.1) и (3.3.3) уравнения статики в дальнейшем широко используются для получения различных барометрических формул. Заметим, что p0 в формулах (3.3.1) и (3.3.3) может обозначать давление как на уровне моря, так и на поверхности Земли. Различие будет состоять лишь в начале отсчета высоты г. В общем случае температура, а вместе с ней и плотность воздуха являются достаточно сложными функциями высоты, установить аналитический вид которых не всегда представляется возможным. Поэтому прежде чем перейти к общему случаю, рассмотрим несколько частных случаев, отличающихся один от другого различными предположениями относительно вида функций Т = T(z) или р = р(z), с помощью которых описывается распределение температуры или плотности по высоте.
Однородная атмосфера. Предположим, что плотность воздуха в пределах всей атмосферы
не изменяется с высотой, т. е.
Здесь р0— плотность воздуха при z = 0. Такая атмосфера носит название однородной. Пренебрежем зависимостью ускорения свободного падения от высоты. Тогда на основании (3.3.1) получаем барометрическую формулу однородной атмосферы:
Согласно этой формуле, давление в однородной атмосфере убывает с высотой по линейному закону (рис. 3.2).
Отметим, что в приложении к атмосфере формула (3.3.5) дает заведомо далекое от реальных условий распределение давления. Однако для гидросферы, плотность которой изменяется в очень узких пределах (плотность воды близка к 1 г/см3), формула (3.3.5) дает вполне удовлетворительные результаты. Поэтому ее можно назвать барометрической формулой гидросферы (высота в этом случае отсчитывается от дна моря или океана).
Поставим вопрос о высоте однородной атмосферы, т. е. такой высоте, на которой давление обращается в нуль (р = 0).
Обозначим ее через Н. Согласно (3.3.5), имеем
Поскольку в соответствии с уравнением (1.3.8) р0/ρ0 = RcT0 (T0— температура воздуха при z = 0), формула (3.3.6) принимает вид
Отсюда следует, что высота однородной атмосферы конечна и зависит только от
температуры воздуха на поверхности Земли. При Т = О °С она составляет
Поскольку плотность в однородной атмосфере постоянна, а давление быстро убывает с высотой, температура ее, равная в соответствии с уравнением состояния
должна понижаться. Если взять производную по высоте от левой и правой части (3.3.8), то получим:
Привлекая (3.2.5), находим следующее выражение для вертикального градиента температуры
уА в однородной атмосфере:
Таким образом, в однородной атмосфере температура убывает с высотой по линейному закону:
при этом скорость понижения температуры (градиент) значительно больше среднего значения у в пределах тропосферы.
Изменение плотности воздуха с высотой. Рассмотрим вопрос об изменении плотности воздуха с высотой в общем случае. С этой целью сначала прологарифмируем, а затем продифференцируем по высоте левую и правую часть уравнения состояния (1.3.8):
Заменив dp/dz в соответствии с (3.2.5) и подставив в полученное выражение р из уравнения (1.3.8), найдем:
Формула (3.3.11) справедлива для любого распределения температуры воздуха по высоте. На основе ее можно сделать выводы относительно изменения плотности воздуха с высотой. Возможны три различных случая.
1. Если γ > γА= 3,42 oС/100 м, то dρ/dz > 0, т. е. плотность воздуха возрастает с высотой. Вертикальные градиенты температуры γ, превышающие 3,42 oС/100 м, в реальных условиях атмосферы могут наблюдаться лишь в дневные часы (летом) в приземном слое атмосферы. При таких условиях плотность в этом слое увеличиваетсяс высотой.
2. Если γ = γА, то dρ/dz = 0, т. е. плотность воздуха не изменяется с высотой (постоянна): ρ = ρ0 = const. Это случай однородной атмосферы.
3. Если γ < γА, то dρ/dz < 0, т. е. плотность воздуха убывает с высотой. Этот случай является абсолютно преобладающим в условиях атмосферы. Прежде всего, выше приземного слоя γ < γА при любых состояниях атмосферы. В приземном слое случаи γ < γА наблюдаются также значительно чаще, чем случаи γ > γА. Таким образом, наиболее характерным состоянием атмосферы является такое, когда плотность воздуха убывает с высотой.
Изотермическая атмосфера. Атмосфера называется изотермической, если температура не изменяется с высотой, т. е.
Т = То = const,
где То — температура на уровне моря или поверхности Земли. Изотермическая атмосфера по своим свойствам во многом противоположна однородной атмосфере. Считая атмосферу сухой и пренебрегая зависимостью ускорения свободного падения от высоты, на основании (3.3.3) и последнего соотношения получаем барометрическую формулу изотермической атмосферы:
Давление в изотермической атмосфере убывает с высотой по экспоненциальному (показательному) закону
Графически зависимость давления р от высоты z в изотермической атмосфере представлена на рис. 3.3. Рисунок 3.3 а поясняет вытекающую из формулы (3.3.12) закономерность: если высота возрастает в прогрессии арифметической, то давление убывает в прогрессии геометрической. Кривые на рис. 3.3 б соответствуют различным температурам атмосферы (постоянным по высоте): T′′0 > T′0. Из этого рисунка и анализа формулы (3.3.12) следует, что при одном и том же давлении у земной поверхности давление на высотах (например 5, 10, 15 км) при температуре T′′0 больше, чем при T′0. Одно и то же значение давления наблюдается при температуре T′′0 на более высоких уровнях, чем при температуре T′0. Это означает, что при более высокой температуре давление в изотермической атмосфере убывает с высотой медленнее, чем при более низкой температуре.
Абсолютное значение убывания давления в слоях равной толщины в нижней части атмосферы больше, чем в верхней. Так, в слое от О до 5 км давление при средних условиях падает на p0 - p0/2 = p0/2, т. е. примерно на 500 гПа (при р0 = 1000 гПа); в слое от 5 до 10 км падение давления составляет р0/2 - р0/4 = р0/4 т. е. около 250 гПа, а в слое от 20 до 25 км давление уменьшается всего лишь на р0/16 - р0/32 = р0/32, т. е. примерно на 31—32 гПа. Таким образом, чем выше расположен слой атмосферы определенной толщины, тем меньше падение давления в этом слое.
Рис. 3.3. Распределение давления по высоте в изотермической атмосфере.
а — общая закономерность падения давления, б — падение давления при разных температурах (T′′0 > T′0).
Высота изотермической атмосферы равна бесконечности, т. е. р → 0 только при z → ∞.
Формула для плотности воздуха может быть получена, если обратиться к уравнению состояния, согласно которому
Поскольку в изотермической атмосфере Т/Т0 =1, то на основании (3.3.12) получаем
Величина δ = ρ/ρо носит название относительной плотности.
Политропная атмосфера. Политропной называют такую атмосферу, которая характеризуется линейным изменением температуры с высотой (или постоянным значением вертикального градиента температуры):
Считая атмосферу сухой (Tυ = Т) и подставляя Т в соответствии с (3.3.14) в формулу (3.3.3), получаем:
Выполнив интегрирование (в предположении g — const), приходим к барометрической формуле политропной атмосферы:
Графически зависимость р от z изображена на рис. 3.4. Кривые соответствуют одним и тем же значениям р0 и T0, но различным значениям вертикального градиента температуры: γ1 и γ2. Давление при большем значении вертикального градиента температуры (γ1) убывает с высотой быстрее, чем при меньшем (γ2). Для сравнения на рис. 3.4 приведены кривые изменения давления в однородной и изотермической атмосферах (штриховые кривые). Высота политропной атмосферы конечна. В самом деле, согласно (3.3.15), давление обращается в нуль на такой высоте z = Нγ, на которой
Высота политропной атмосферы изменяется в широких пределах; при Т0 = 288 К и γ = 0,65 К/100 м значение Нγ составляет 44,3 км.
Формула для плотности воздуха в политропной атмосфере имеет вид
Полная барометрическая формула (формула Лапласа).
Рассмотрим общий случай, т. е. случай произвольного распределения температуры по высоте. Учтем также, что реальный воздух влажный, а ускорение свободного падения — функция широты и высоты. Привлекая соотношение (3.1.2) и учитывая, что
уравнение (3.3.2) перепишем в виде
Поскольку
(вследствие малости слагаемых а1 cos 2φ> и a2z по сравнению с единицей), то формулу (3.3.18) приведем к виду
где H0 = 273Rc/g0 — высота однородной атмосферы при t = 0 °С.
Проинтегрируем (3.3.19) в пределах от высоты z1, где давление равно p1, до высоты z2, где давление равно р2. Для величин t, s и z в правой части (3.3.19) при интегрировании введем средние значения (на основании известной теоремы о среднем). Выполнив интегрирование, получим:
Поскольку
полная барометрическая формула (формула Лапласа) окончательно принимает вид
Величина В = 2,30Н0 ≈ 18 400 м называется барометрической постоянной, а средние значения иносят название средних барометрических (температуры и доли водяного пара соответственно).
В таком полном виде барометрическая формула на практике используется лишь при барометрическом нивелировании. При решении подавляющего большинства метеорологических задач такой высокой точности, какую может обеспечить формула Лапласа, не требуется. К тому же следует иметь в виду, что точность измерения исходных данных (температуры, влажности, давления), необходимых для выполнения расчетов по формуле (3.3.21), как правило, значительно меньше тех уточнений, которые дает формула Лапласа по сравнению с приводимой ниже барометрической формулой реальной атмосферы. Последняя получается из формулы (3.3.21), если считать воздух сухим (s = 0) и пренебречь зависимостью ускорения свободного падения от широты и высоты:
Возвращаясь к натуральным логарифмам и абсолютной температуре, формулу (3.3.22) можно переписать в виде
где = 273(1 + a) — средняя барометрическая температура слоя воздуха, заключенного между уровнямиz1 и z2. Из сравнения последней формулы с формулой (3.3.3) следует, что средняя барометрическая температура связана с температурой воздуха следующим образом:
Средняя барометрическая температура — это такая постоянная в пределах слоя температура, которая обеспечивает значения давления на границах его, наблюдаемые при реальном распределении температуры по высоте. Практически Т нередко отождествляют со средней арифметической температурой, т. е. полагают
где Т1 и Т2 — температуры воздуха на нижней и верхней границах слоя. Если уровень z1 совпадает с поверхностью Земли (z1 = 0), а уровень z2 — произвольный (z2 = z), то формула (3.3.23) принимает вид
Эта формула имеет такой же вид, как и барометрическая формула (3.3.12) изотермической атмосферы. Принципиальное различие состоит в том, что формулы (3.3.20), (3.3.23) и (3.3.25) всегда справедливы лишь для слоя заданной конечной толщины, для которого температура должна быть каждый раз определена прежде, чем по формулам можно начинать выполнять расчет. Вместе с изменением толщины слоя изменяется и величина. В случае же изотермической атмосферы температура является независимой (задаваемой) величиной. Поскольку барометрическая формула реальной атмосферы является показательной функцией, на основе ее анализа можно сделать такие же выводы относительно закономерностей изменения давления с высотой, какие были сделаны в случае изотермической атмосферы. Роль температуры T0 в реальной атмосфере играет средняя барометрическая температура . Все выводы в случае реальной атмосферы относятся к слою конечной толщины. Поэтому вывод о бесконечной протяженности атмосферы, сделанный на основе формулы (3.3.12), здесь отпадает.
Если необходимо учесть влияние влажности на плотность воздуха и распределение давления по высоте, то в формулах (3.3.22) — (3.3.25) средняя барометрическая температура должна быть заменена средней виртуальной барометрической температуройυ.