Размерность и базис векторного пространства.

Вектор называетсялинейной комбинацией векторов , , …,, если для любых чисел,, …,, не равных нулю одновременно, выполняется равенство:

= ·+·+ … +·

Векторы ,, …,, называютсялинейно зависимыми, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору.

· +·+ … +· = (1)

В противном случае векторы называются линейно независимыми, т. е. равенство (1) выполнится только для == … == 0.

Совокупность линейно независимых векторов векторного пространства R называется его базисом, а их количество называется размерностью векторного пространства.

Если в векторном пространстве Rимеется nлинейно независимых векторов, то размерность этого пространства обозначается dimR = n, dim – размерность (dimension).

Векторное пространство размерности n обозначается .

Теорема. Если векторы ,, … ,образуют базис векторного пространства, то любой вектор, можно единственным образом разложить по этим векторам:

= ++ … +.

Линейная оболочка и ее свойства.

Линейной оболочкой L (x₁, x₂) двух векторов x₁ и x₂, принадлежащих линейному пространству W, называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов

а = ·x₁ + β · х₂,где , β ϵR.

Иначе говоря, линейная оболочка состоит из бесконечного множества векторов а, представимых в виде линейных комбинаций векторов x₁ и x₂. В общем случае линейной оболочкой множества X векторов, принадлежащих линейному пространству W, называется совокупность всех линейных комбинаций этих векторов

Свойства линейной оболочки

1) Линейная оболочка содержит само множество X.

2) Если линейное пространство W содержит множество X, то:

а) пространство W содержит и его линейную оболочку L(X);

б) L(X) ‒ линейное подпространство пространства W.

Пример: Найти линейную оболочку множества решений системы уравнений:

Решение: Ранг матрицы коэффициентов системы уравнений равен 2. Выберем свободными переменными х₂ и х₄. Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

где c₁ , c₂ ϵ R .

Векторы £ = (‒1, 1, 0, 0) и η = (1, 0, ‒1, 1) образуют фундаментальный набор решений однородной системы. Любое решение системы является их линейной комбинацией. Значит, линейная оболочка векторов £ и η является множеством решений однородной системы уравнений,

т.е. L(£,η) =где,ϵR.

Евклидово пространство.

Введем в пространстве R метрику, т.е. операции нахождения длины вектора и угла между векторами.

Для этого определим операцию скалярного произведения векторов и .

Если = (,, …,),= (,, …,), то·=++ … + +. Обозначается следующим образом:

· = (,).

Следовательно, ·= (,)││² = ++ … +,

т. е.

││= ‒ длина (норма) вектора.

Обозначим = (,).

Тогда

Линейное векторное пространство Rназывается евклидовым, если в нем задана метрика.

Ортогональный и ортонормированный базис.

Система векторов e₁, е₂, …, е_n называется ортогональной, если (е_i ,е_j) = 0 при i  j, и нормированной, если │е_i│ = 1 для всех i = 1, 2,..., n.

Если векторы системы ортогональны и нормированы, они называются ортонормированными.

Пример:чтобы нормировать ненулевой вектор, необходимо разделить его на норму.

Пусть задан вектор x = (1, –1, 2, 0).

Его норма |x| = . Нормированный вектор имеет вид

. Его длина │е│= 1.

Теорема 1. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Теорема 2. Во всяком n‒ мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.