- •Мультимедийные лекции
- •Содержание
- •Основные сведения о матрицах.
- •Виды матриц
- •Операции над матрицами и их свойства.
- •Правило Саррюса (правило треугольника).
- •Теорема Лапласа
- •Свойства определителей.
- •Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица.
- •Решение матричных уравнений.
- •Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.
- •Элементарные преобразования матрицы.
- •Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
- •Методы решения систем линейных уравнений.
- •1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
- •2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
- •Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли, базисные решения.
- •Системы линейных однородных уравнений. Исследование решений. Фундаментальная система решений.
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Продуктивные модели Леонтьева.
- •Балансовые соотношения
- •Линейная модель многоотраслевой экономики
- •Векторы (основные понятия и определения).
- •Сложение векторов
- •Разность векторов
- •Линейные операции над векторами. Направляющие косинусы.
- •Прямоугольный базис.
- •Декартова прямоугольная система координат в пространстве.
- •Прямоугольные координаты вектора (точки).
- •Разложение вектора по базису.
- •Формулы для нахождения длины вектора, расстояния между точками и угла между векторами.
- •Векторное произведение векторов (геометрический смысл, свойства).
- •Свойства векторного произведения.
- •Выражение векторного произведения через координаты.
- •Смешанное произведение векторов (геометрический смысл, свойства).
- •Выражение векторного и смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
- •Понятие векторного (линейного) пространства. Вектор вn‒ мерном пространстве.
- •Размерность и базис векторного пространства.
- •Линейная оболочка и ее свойства.
- •Свойства линейной оболочки
- •Евклидово пространство.
- •Ортогональный и ортонормированный базис.
- •Переход к новому базису.
- •Линейные операторы.
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
- •Квадратичные формы.
- •Линейная модель обмена (международной торговли).
- •Уравнения прямой (различные виды). Параметрические уравнения прямой.
- •Уравнение прямой проходящей через две данные точки.
- •Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором (нормалью).
- •Общее уравнение прямой.
- •Формула угла между прямыми.
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •Формула расстояния от точки до прямой.
- •Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
- •Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Квадратичные формы.
Пусть L = () ‒ симметричная матрицаn‒ го порядка, т.е. =.
Определение. Выражение
называется квадратичной формой переменных x1, x2, …, xn.
Выражение (1) есть сумма всех квадратов переменных плюс сумма всех удвоенных произведений разных переменных, причем каждый член суммы взят с некоторым коэффициентом. Матрица L называется матрицей квадратичной формы.
Построим квадратичную форму. Введем матрицу ‒ столбец переменных
матрицу ‒ строку этих переменных Xm = (x1, x2, …, xn) и найдем произведение матриц:
После перемножения получим
Следовательно, в матричной форме квадратичная форма может быть представлена в виде
= XT ·L ·X .
Матрице ‒ столбцу переменных можно поставить в соответствие вектор х, координатами которого в ортобазисе e1, е2, …, еn, будут элементы матрицы ‒ столбца. Тогда выражение (1) можно интерпретировать как числовую функцию векторного аргумента х: (х).
Пример: Найти матрицу квадратичной формы
(x)= ‒ +6‒ 3+4+‒3
Решение: Общий вид заданной квадратичной формы
(x)= +++++
Поэтому
= .
Пусть оператор переводит векторв вектор. Поскольку действие линейного операторана векторсводится к умножению некоторой матрицыP = () на матрицу ‒ столбецY, составленную из координат вектора , запишем линейное преобразование в матричном виде:
Х = P· Y.
Выясним, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов х → у:
(x) = где=.
Пусть дополнительно выполняется условие невырожденности матрицы оператора | Р| 0 и квадратичная форма является числовой функцией вектора :(y) = .
Найдем, как изменяется матрица квадратичной формы при линейном преобразовании векторов у → х. Решим матричное уравнение
Х = P · Y,
умножив обе части равенства слева на .
Тогда
(y) = =
где .
Пример: Как изменится матрица квадратичной формы
(x) = ‒+ 2+ 3при линейном преобразовании векторов
.
Решение:Матрица заданной квадратичной формы равна
матрица линейного оператора при линейном преобразовании векторовх = (у) имеет вид .
Под действием линейного оператора матрица квадратичной формы станет равной ,
а квадратичная форма примет более простой вид:
(y) = .
Линейная модель обмена (международной торговли).
Пусть имеется n ‒ стран ,, …,, национальный доход которых обозначим соответственно,, …,.
Обозначим – долю национального дохода, которуюj – страна тратит на закупку товаров у i –страны. (i = ;j= )
Предположим, что весь национальный доход тратится либо на закупку товаров внутри страны, либо на импорт их из других стран.
Получим структурную матрицу торговли:
Из равенства (1) следует, что сумма элементов любого столбца матрицыАравна единице.
Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли будет находиться по формуле:
= ++ … +.
Для сбалансированной торговли нужна бездефицитность торговли каждой страны , т.е. выручка от торговли должна быть не меньше ее национального дохода:
(2)
Запишем неравенство (2) в виде системы линейных неравенств:
(3)
Сложив левые и правые части неравенств системы, получим:
(++ … +)+ (++ … +)+ … + (++ … +)++ … +.
Учитывая равенство (1) получим, что левая часть неравенства равна правой части, и система неравенств (3) станет системой уравнений.
A · X = XA · X – X = 0; (A – E) · X = 0
Задача свелась к нахождению собственного вектора матрицы A при = 1.
Пример: Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:
Найти бюджеты этих стран, удовлетворяющие сбалансированной бездефицитной торговле при условии, что сумма бюджетов задана:
Решение: Необходимо найти собственный вектор , отвечающий собственному значению λ = 1 заданной структурной матрицыА, т.е. решить уравнение, которое в нашем случае имеет вид:
Поскольку ранг этой системы равен трем, то одна из неизвестных является свободной переменной и остальные выражаются через нее. Решая систему методом Гаусса, находим компоненты собственного вектора :
Подставив найденные значения в заданную сумму бюджетов, найдем величину с: с = 1210, откуда окончательно получаем искомые величины бюджетов стран при бездефицитной торговле (в условных денежных единицах):